赵晓宁 任熙俊 新乔

x定量分析：万有引力的三个验证  牛顿的万有引力理论提出后，在18世纪受到三次重大检验：它被运用于确定地球的形状、月球的运动和哈雷彗星的返回等问题[9]41。

牛顿的万有引力体系仅在它通过精确的计算证明它同自然现象完全一致时，才能被看作是正确的，否则牛顿的假设与笛卡儿的涡旋理论相比就没有任何优势。涡旋理论能对行星的运动做出很好的解释，但在方式上是不完全的、不严谨的，它们只有在方式相同时才能很好地更圆满地解释。牛顿的万有引力体系不允许有任何这一类的假象，否则否认这种计算的一篇文章或者一次观察，都可能将牛顿的理论降低到想象已经创立而分析又将其毁灭的如此众多的那一类中。[9]40

当18世纪的数学家试图从他们形而上学的误区中抽提出力学原理时，也深入探索牛顿万有引力以求获得定量的新结果。天体力学为新理论提供了理想的试验基础，因为天体力学表明理论预测可以被精确验证。达朗贝尔在笛卡儿涡旋定量理论的基础上解释了牛顿万有引力定量理论的进展。理性力学赖以建立的物理问题大多是关于理论、无摩擦状态下的“思想”问题，这些依地球上的条件是无法实现验证的，但是天体运动却是理想状态下的运动并能够被精确计量和测算，也正因如此，就为运动定律和万有引力理论提供了最终的验证。[9]40

对地球形状的争论始于莫佩尔蒂的《论天体的形状》（1732年）。在《原理》中，牛顿早已断定地球绕轴自转，使得它在赤道附近膨胀而在两极则扁平。而且作为例证，他引用了琼·里克（1630—1696）于1672年在赤道附近的卡宴（Cayenne）所做的摆线测验。里克发现同样长度的摆在赤道附近要慢于在巴黎。牛顿是这样解释的：赤道上的地方比法国的地方更远离地心，所以所受的万有引力就小，因而摆线就摆得慢。根据笛卡儿的观点，万有引力是由绕地球旋转的一种物质涡流产生的，所以导致地球在赤道扁平而在两极则拉长。[9]41

为了更加精确地确定地球的形状，就必须在曲率差异最大的地方测量，即在赤道和两极。1733年，夏尔-马里·德·拉·孔多米纳（1701—1774）建议去赤道考察。经过法国政府批准，考察队在孔多米纳的带领下于1735年出发前往厄瓜多尔。1736年，由莫佩尔蒂和克莱罗带领的另一支极地考察队由海路前往北极圈，成员包括天文学家皮埃尔-夏尔·勒·莫尼耶（1715—1799）、钟表匠夏尔-艾蒂安-路易·加缪（1699—1768）、瑞典天文学家安德斯·摄尔修斯（1701—1744）和其他一些有特殊技能并能吃苦耐劳的研究者。[9]42

因为两支考察队的久居巴黎测绘室的科学家对这些人迹罕至的地区不熟悉，要取得成功就必须有不同寻常的坚毅和韧性。莫佩尔蒂的考察队原指望能在冰上或从波的尼亚湾的岛上进行测量，但是在测置点之间却找不到足够高的支点进行观测，被迫把信号放在拉普兰的山上。赤道考察队则把信号放在安第斯山脉的顶峰上。这两支考察队在克服了所遇到的难以想象的困难之后，北极考察队于1737年完成工作并返回巴黎，而当赤道考察队返回巴黎时，那已是10年后了。两支考察队的考察结果都证实了牛顿的理论：地球像个洋葱，而不是像個柠檬。从此，万有引力定律被确立。[9]42

1747年11月，当亚历克西·克莱罗在法国科学院的一次公开会上宣布牛顿的定律不能解释已观测到的月球运动时，万有引力定律经过了它的第二次验证。精确的月球运动表具有极为重要的实用性，因为它们提供了在海上测定经度的一种方式，但制作这样的图表特别困难。牛顿曾告诉约翰·梅钦，计算月球的运动是他唯一头痛的问题，而且他知道原因所在：月球因为受到地球和太阳两个物体的强烈吸引，在不同的角度互相吸引——而行星只受到太阳的吸引。计算月球的运动，就要解决三个物体相互吸引的问题。随着微积分的进步，对这种“三体吸引”问题首先获得答案的竞争异常激烈，特别是巴黎的达朗贝尔和克莱罗及在柏林科学院的欧勒，都提出与答案近似的方法。[9]42-43

运用微分写出三个相互吸引物体的等式没有什么问题，但直接解出这些等式是不可能的，所以答案只能一步一步地近似才能获得。而达朗贝尔、克莱罗和欧勒有他们各自偏爱的方法，但三人却得出同一个令人吃惊的结论：月球的远地点（月球的轨道离地球最远的那一点）每月的运动和以前的预测值有两个因数之差异。这引起的反响非常强烈，特别是因为克莱罗为了证明牛顿的万有引力定理，在10年前就已开始拉普兰之行。博物学家德·布丰伯爵从形而上学的基础出发，宣称只有牛顿的表述才是正确的。争论依然在继续，直到1749年5月17日，克莱罗又作了同样令人吃惊的宣布，他说牛顿最终还是对的。数学家们都犯了一个共同的错误。数学的简化乍看之下对结果并无影响，可是克莱罗经仔细分析，发现这正是在计算月球远地点的运动时产生大的差异的原因所在。[9]43

尽管克莱罗只公布了他的计算结果，还没有公布他所采用的方法，但达朗贝尔很快地便赞同了他的说法。欧勒更是迫不及待地想知道答案，并劝说俄国科学院宣布把1752年的奖项授予论月球远地点运动的最佳论文。这才使得克莱罗把答案公之于世。[9]43-44

1758年11月14日，克莱罗又一次在法国科学院的公众大会上公布了又一个令人震惊的消息，他预测到了哈雷彗星的返回日期，并宣称误差只有一个月。埃德蒙·哈雷（1656—1743）早就预测了如今以他的名字命名的1682年的彗星将于1758年或1759年初返回，但它返回的精确日期难以预算，因为彗星每经过一颗大的行星，都会受到强烈的引力干扰。克莱罗在约瑟夫·拉朗德（1732—1807）和一个著名钟表匠的妻子妮科尔·勒波特的帮助下，采用新的摄动理论开始计算更加精确的返回日期。1759年，哈雷彗星按预计日期（或是在30天的误差之内）准时返回近日点，克莱罗受到公众的高度称赞，并被称为新牛顿。[9]44

三个著名的数学方法的验证，验证了牛顿是正确的，也表明当时天体力学的日益精确以及公众对科学的兴趣日益增长。这些理论在18世纪下半叶得到拉格朗日和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749—1827）的继续发展，拉普拉斯最终解决了曾经困扰牛顿的一个难题，即关于太阳系的稳定性问题。[9]44

5 方法论和数学形式

有关力学的数学思维  近代力学科学的历史，是由一组关于运动新概念的详尽表述组成的，而运动的新概念由伽利略所说明。第一个阐释出自笛卡尔之手。当伽利略专注于哥白尼天文学提出的问题时，笛卡尔已将注意力集中到对新自然哲学的阐释上。的确，这种集中帮助他向前迈进了一步，他用同样的方式处理所有的运动，而这是伽利略从未成功运用过的。在伽利略的脑海中，围绕一个中心的惯性（圆周）运动一直与被他称为“固有运动”即朝着一个中心的运动相区别，但对笛卡尔的普遍性而言，这种区别完全消失了：所有的运动，只要是运动，就应当选择在同样的条件下处理，所有的运动变化都应归于相同的原因，即物质的一个微粒对另一个微粒的影响。在這祌情况下，很容易对伽利略的设想——惯性运动是围绕万有引力中心的圆周运动——提出疑问。笛卡尔得出结论：任何运动的物体将总是沿着直线轨迹运动，只有当某物体使其转向时，它才做曲线运动。由于自然界中充满各种各样的物体，事实上每个物体都在不断地改变运动方向;但惯性运动是直线的。[2]128-129

为证明这一结论是正确的，笛卡尔首次尝试对圆周运动中的机械元素进行分析。笛卡尔对碰撞问题分析的尝试，是他试图将精确的定量力学引入自己的机械论哲学中的仅有的几次尝试之一。笛卡尔的分析建立在动量守恒的基础之上。所谓动量，他指的是一个物体的体积和它的速度的乘积。这一概念与现在的动量概念相似，但不同的是他的“体积”不同于现在的“质量”，并且他对“速度”的处理也不是按一个矢量对待。笛卡尔推理道：上帝是产生运动的最终原因，而上帝是永恒的，因此，宇宙中总动量必然保持恒定;但每一物体的动量不一定要维持恒定，在碰撞中，动量可以从一物体转移到另一物体。笛卡尔把碰撞的两个物体看作一个整体，碰撞后它们的总动量必定与碰撞前相等。[2]129-130

而伽利略认为撞击“力”的观念表明了它自身。一个物体作用在另一物体上的作用力，或反抗它的作用的力，只在于每一物体竭尽全力保持自身原来的运动状态。从这一前提推得一个惊人的、意料之外的结论，即碰撞定理——笛卡尔的第三定律：如果一个运动中的物体遇到比它强的另一物体，它的动量不减少;而如果遇到比它弱，能使之移动的另一物体，它减少的动量全部传递给另一个物体。[2]130

对于力学，这种分析具有明显的缺陷。伽利略的意大利弟子托里拆利认为这完全不正确。站在机械论哲学范畴之外，托里拆利能将一套简明的动力学概念运用于伽利略的运动学。尽管他的动力学与现在的完全不同，但是在伽利略的动力学解释中，固有的基本数学联系立刻出现了。托里拆利从伽利略关于撞击力的问题开始研究：如果打破一张桌子需要1000磅的重量，那么怎样才可能使重一百磅的物体从足够高的地方落下，也能打破桌子呢？他回答说物体的重力是内部要素，这种要素在毎一瞬间产生与物体重力相等的推动力。他使用了—个喷泉的例子。[2]131-132

重力便是喷泉，冲击或动量不断从喷泉中流出。如果一个喷泉每分钟产生一加仑的水，把水注入一加仑壶中100次，就可收集100加仑的水，与称之为重力的喷泉相似。如果收集了一些瞬间产生的动量，就能够增加所谈物体的力量了。那么，怎么收集动量？通过让物体下落。当100磅的物体静止在桌子上时，桌子的阻力对抗并抵消了每一瞬间产生的动量;当物体下落时，没有阻力抵消动量，每一瞬间产生的动量与前一瞬间产生的动量相累积，物体的力量不断增强。因此，当100磅的物体从足够高的地方落下时，它就获得了打破桌子所需要的1000磅的力量。[2]132

显然，托里拆利在使用看起来是任何别的东西而实际上是熟悉的一组概念，正是他给自己出了这样一个试图用静力学的重量来衡量动力学行为的看起来很奇怪的问题，也只有他在这种情况下把重力看作喷泉喷出的与物体重力相等的一股动量。“瞬间”一词对他来说有着特别的意义，它是最终的时间单位，无限小，不能再分。托里拆利正在解释中世纪的动力学的观点，并用内力来说明抛物运动。他将动力学运用到伽利略的运动学中，并且在他那些不为人们熟知的表述后面有着一些近代动力学的基本定量关系。通过用动力学观点来看待垂直下落和倾斜下落，并把重力作为推动力，他认识到力和加速度之间的比例关系。同样地，他也看到了恒力与其作用时间的乘积和物体从静止开始下落所产生的总动量相等。[2]132

更重要的是他能将由自由落体运动得来的认知推论运用到其他情况，其中就包括碰撞本身。如果与物体重量相等的冲击力每一瞬间都在增加，并且假定瞬间无限短，那么一个物体在有限的时间内获得的力量必然是无限的，托里拆利同意这一点。但问题是只有这个力在瞬间全部得到应用，力的效果才是无限的，实际上这永远不可能。由于物体的弹性，碰撞存在于一段时间内，而且时间越长，所产生的力量越小。托里拆利认识到在动力学上动量的破坏与动量的产生是同等的，对这两者他运用了一个明确的等式：

即恒力与作用时间的乘积和动量的变化相等。他也把这个公式运用到弹性反弹，而且最令人印象深刻的是，他使用这一原理成功地分析了一个完全不同的问题：设想一条大船和一艘轻舟停泊在离码头20英尺的地方，如果一个人拉着大船驶入码头，他所做的一切努力几乎不能给该船以任何速度，但如果大船撞击了码头，码头会摇晃;相反，他能马上使小船快速行驶，但是如果小船撞击了码头，那么它的效果几乎等于零。[2]132-133

人们只需要将托里拆利分析的概念框架与笛卡尔的加以比较，就能理解为什么伽利略运动的动力学表达没有轻易出现在机械论哲学家身上。事实上，托里拆利的讲稿到了18世纪尚未出版，但是认为在它们一被提出时就出版，会受到广泛的接受，那是不客观的。同时，在他的出版的其他几何学著作中，的确也提出了对力学科学产生了很大影响的另一个概念：两个连在一起的重物不能够使它们自己运动，除非它们共同的重心下降。[2]133-134

如果天平两臂的运动没有降低它们共同的重心时，天平将保持平衡。当用通过滑轮的绳子连接两个物体时，一物下降，而使另一物上升，是否可假设在这个过程中就是两个物体的共同重心下降了呢？托里拆利抓住这样一个事实，即没有受到外界影响的两个物体可看作集中在它们的重心上的一个物体。用这种方法，伽利略关于重物的运动学可以延伸到包括多个物体的体系。在进一步研究这个问题时，力学科学获得了17世纪的影响整个18世纪的又一个伟大成就。[2]134

数学分析法一直用来解决较为棘手的力学问题，例如：扩张的坚硬物体回转仪或陀螺的运动;在不同的管道和容器中水的流动;弹性表面或固体表面的振动，以及通过杆、绳或其他捆绑物连接成的复杂系统的运动。所有这些复杂的运动都被分析法所征服，因为分析法只需笔和纸，理性力学唯一所需的器械是大脑，正如狄德罗所做的，因为利用这些伟大的理论才能设计出真正的抽水机、纺纱机和架桥。也可以说数学物理学家就是数学实验领域的科学家。[9]31

拉普拉斯的精确实验  皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯（1749—1827）重视将精细的实验测量作为他的数学物理理论的重要补充，他认为实验方法和数学理论并重。J.B.毕奥（1774—1862）把数学方法和实验方法都看作物理学的范例，认为定量描述才是物理理论的目标。他在分析拉普拉斯的影响深远的著作《论实验物理和数学物理》（1816年）时曾强调指出，拉普拉斯认为通过采用新的仪器设备和新的实验方法，提高实验精度，减小误差，亦即物理量的精确数值测量是极端重要的。[4]15-16

拉普拉斯的研究工作不完全都是从零开始的。A.C.克莱奥特在18世纪30年代和40年代在他的论光的折射和毛细作用的论著中，讨论过短程分子力的数学理论。拉普拉斯在1805年发表的《论天体力学》中阐述了折射和毛细作用，在两年后出版的补充材料中又用分子力的术语对这些现象作了系统的用数学式表示的說明。拉普拉斯坚持认为，对粒子间短程力规律的深入研究，可使地球物理的研究工作像牛顿的万有引力定律在研究天体物理时那样，达到高度完美的水平。粒子间相互作用力理论和不可称量流体的理论，经过拉普拉斯和他的学派研究之后，在19世纪的最初20年里达到最美妙的顶峰。拉普拉斯证明，光的折射、固体附着力、毛细管的作用、化学反应等，都是与物质粒子所施加的吸引力密不可分的。[4]15-16

拉普拉斯设想了一种包括不可称量流体理论在内的定量化的物理学。他的热理论和气体理论都是建筑在推想的基础上的：热作为一种不可称量的流体，渗透在物质粒子的周围。拉瓦锡及其同事把这种流体称为热素，热素的性质随着它同物质混合时的状况的改变而改变。气体的弹性要比液体、固体好，是因为气体粒子间渗进了比液体、固体粒子间更多的热素之故。而拉普拉斯认为，普通物质粒子间的吸引力和热素粒子间的排斥力之间的关系是气体性质的决定因素。热素说加上拉普拉斯的定量物理学，使拉普拉斯的气体理论达到相当完美的程度。[4]17

图3所示为拉瓦锡和拉普拉斯采用的“冰量热器”。该装置高约三英尺，由三个颈部套在一起的同轴金属圆筒组成。外圆筒里盛着碎冰块，使内圆筒与外界隔热;最里面的圆筒是内中悬挂着金属网篮（网篮内装上待测物质样品）的容器，由于网篮中的物质产生热量，使紧贴着的一层冰融化;冰融化所产生的水流到下端的容器，称出水的重量，融冰的重量与物质释放的热量成正比。拉瓦锡和拉普拉斯测出多种物质的比热，亦即测出各种等量物质上升相同温度所需要吸收的热量（以水的比热为标准值，并取为1）。[4]18

拉普拉斯对分子力理论的研究，包括对有关重大问题的定量实验测量和数学运算研究，得到多方面的支持和鼓励。毕奥和F.阿拉戈（1786—1853）对光在气体中的折射现象做了实验研究，认为自己的观测提出了对分子力的一种量度办法。E.L.马吕斯（1775—1812）对双折射现象的拉普拉斯谱线提出一种解释办法。这就证实了这样一个问题：拉普拉斯用他的分子力的理论来解释光学现象是适当的。[4]17

（未完待续）