路广霖，罗亚军，张希农，李录贤，马驰骋

(1.西安交通大学 航天航空学院 机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049；2.山东理工大学 力学部，山东 淄博 255000)

美国戈达德空间飞行中心曾对早期发射的57颗卫星作过统计，统计结果表明：在卫星发射第一天星上发生的事故中，有30%～60%是由发射飞行过程中的振动环境所引起的[1]。作为整个箭体结构的动力装置，火箭发动机工作时引起的箭体振动问题无法忽视，发动机振动剧烈时可能会导致机械损伤和破坏、产品功能下降或失效以及对宇航员身体造成影响，因此研究火箭发动机振动机理具有重要意义。

火箭发动机振动问题的公开研究资料大多集中于定性分析。例如，研究表明[2]，火箭发射时特别是当发动机燃料燃烧不稳定时会对箭体产生较强的随机形式的推力脉动。由于二级和三级发动机距离卫星较近，其随机振动的影响将会相当显著，通常频率范围为20～2 000 Hz。然而考虑到发动机结构、工作环境的复杂性，在对发动机实施振动抑制之前，还需要定量分析发动机上各个振源对关心位置的振动影响大小，即发动机的振动传递路径分析。Christensen等[3]利用振动响应等效方法研究了火箭发动机多源随机载荷的识别问题，但试验操作要求较高、需要多次测试，在振动传递路径分析方面需要加强。为了克服上述不足，本文通过引入传递路径分析技术(Transfer Path Analysis，TPA)，定量分析火箭发动机的主要振动传递路径，以便为发动机的振动抑制提供依据。

传递路径技术的核心难题是确定振动传递路径界面间的动载荷，而这些地方的动载荷往往测不到、测不准[4-8]。围绕着载荷识别这一难题，近年来涌现多种TPA方法，比如经典传递路径分析法、工况传递路径分析法(Operational Transfer Path Analysis,OTPA)[9]和基于模型传递路径分析法(Operational-X Transfer Path Analysis,OPAX)[10]。其中，应用最为广泛和发展最早的传统TPA所用的频响函数(Frequency Response Function，FRF)矩阵求逆法[11]。受频响函数矩阵条件值和数据测量误差的影响，载荷识别是不适定问题，所以基于矩阵求逆法的传统TPA可能会有较大分析误差。为了提高发动机多源激励载荷识别精度以提供可靠的振动传递路径分析结果，本文提出一种基于加权正则化的改进传递路径分析技术。

相对于基于频响函数矩阵求逆法的传统传递路径分析技术，本文所提出的方法主要优势在于：通过引入加权正则化理论，提高了多源载荷识别精度，进而能提供更加可靠的振动传递路径分析结果。某火箭发动机试验结果证明了所提方法的准确性、可靠性。

1 基于逆矩阵法的传统TPA理论及误差分析

1.1 传统TPA理论

传递路径分析的目的是研究不同振源到目标点的振动贡献量，以确定主要传递路径，分析时把包含振源激励的部分称为主动端，包含目标点响应的部分称为被动端。然而由于振源一般位于系统结构内部而很难对其进行定量分析，因此在传递路径分析中经常用等效载荷(力或力矩等形式)替代振源进行研究。试验中等效载荷一般位于靠近振源的结构表面上，以便等效载荷和真实振源在目标点的响应能充分接近，并利于测量频响函数。考虑到实际试验中目标点响应数量往往比较少并且远离等效载荷位置，因此常常在等效载荷周围布置足够多的参考点，利用参考点响应和频响函数进行等效载荷识别。设等效载荷力谱为F(f)∈M×1，目标点、参考点响应谱分别为X(f)∈N×1、Y(f)∈K×1，f表示频率，传递路径分析示意图见图1。

系统在振源激励作用下，目标点和参考点响应可以用等效载荷表示为

(1)

式中，HX(f)∈N×M、分别表示等效载荷到目标点和参考点响应的频响函数矩阵。

图1 传递路径分析示意图Fig.1 Schematic diagram of method of TPA

在传统传递路径分析中，一般通过频响矩阵求逆进行等效载荷识别

F=HY,+Y

(2)

其中，

HY,+=(HY,HHY)-1HY,H

(3)

为频响函数矩阵的广义逆矩阵，(·)H为矩阵的共轭转置。

在贡献量分析中，一般用下式计算各载荷所对应路径在目标点的振动贡献量

(4)

以上即是基于FRF矩阵逆矩阵法的传统传递路径计算分析流程。虽然基于逆矩阵法的载荷识别法虽然原理简单、容易计算，但实际操作时载荷识别结果可能有较大的误差，下节推导分析基于逆矩阵法进行载荷识别时的误差界限。

1.2 逆矩阵法TPA的误差分析

在试验中，考虑模型误差和测量误差的影响，则测量的频响函数矩阵和参考点响应与实际值有偏差

(5)

此时载荷与参考点响应之间的关系为

(HY+△HY)(F+△F)=Y+△Y⟺

(6)

其中，△F表示实际载荷与利用逆矩阵法求得载荷之间的差异。

由式(6)可得

(7)

所以

(8)

对式(8)取范数，得

(9)

由于

(10)

(11)

(12)

式(12)表明，利用逆矩阵法进行载荷识别时，频响函数矩阵的条件数、误差及响应数据的测量误差均会降低载荷识别精度。试验中为了尽可能降低频响函数矩阵的误差，可以采取提高建模精度和多次测量等方法；而对于频响函数矩阵的条件数和响应误差，下节将分别通过加权矩阵和贝叶斯理论以降低二者对载荷识别的不利影响。

2 基于加权正则化的TPA分析理论

2.1 加权矩阵

现在通过引入加权矩阵W来降低频响函数矩阵的广义条件数，同时也尽可能的去抑制频响函数误差和响应误差的扩大[12]，以达到降低载荷识别误差的目的。

在式(6)中引入加权矩阵，此时系统方程为

(13)

其中，根据文献[12]，加权矩阵应满足以下条件

(14)

根据式(14)，加权矩阵W可以选为

(15)

其中，

(16)

2.2 基于贝叶斯理论的载荷识别

对于式(13)，假设频响函数误差足够小，则可以将其与响应误差结合，此时系统方程为

(17)

式中，N是加权矩阵、频响函数误差、响应误差等的函数，统称为噪声。

根据式(17)，利用贝叶斯理论[13]进行载荷识别的公式为

(18)

(19)

从式(19)可以看出，载荷识别的准确性依赖于似然函数和先验分布的准确性，接下来对这二者进行分析。

首先分析响应的似然函数。如前所示，似然函数是对噪声N的不确定性的刻画，因此可以写成

(20)

(21)

假设噪声N各成分之间独立同分布，将其假定为均值为0、方差为α2的多变量高斯分布，即

(22)

由式(20)、(21)、(22)，似然函数可写为

(23)

接下来分析载荷的先验分布。假设要识别的载荷为高斯分布，则载荷的先验分布为

(24)

将式(23)、(24)代入到式(19)中，可得

(25)

其中，λ=α2/β2>0表示正则化参数，可以通过L曲线准则[14]、交叉验证准则[15]等方法取得。

通过求解式(25)即可得到载荷值。式(25)即为Tikhonov正则化[16-17]方法进行载荷识别的公式，可见Tikhonov正则化方法是对噪声和载荷进行特定假设下的结果。

2.3 路径振动贡献量计算方法的改进

利用式(4)计算的各路径振动贡献量为复数，无法进行直观的比较。因此综合幅值与相位影响，提出一种实数域上的量——综合振动贡献量Rcontri，其中第m个振源载荷在第n个目标点综合振动贡献量计算公式如下

(26)

3 某火箭发动机的振动传递路径分析

3.1 试验描述

火箭发动机热试车试验操作复杂、成本高昂，在实行热试车试验前应先对发动机进行地面常温振动可控试验，以便初步验证所提方法适用于发动机的振动传递路径分析。为此利用某火箭发动机搭建动力载荷振动测试平台，利用激振器对发动机进行单源和多源随机激励，测量关心点的振动加速度响应。

试验中，以发动机机体到涡轮泵方向为+Y向、竖直向下为+Z向，将发动机机架部位固定在基座上。结合发动机所受载荷特点和试验条件，选择发动机表面推力室头部-Z向、涡轮泵+X向、气体发生器-Z向三个位置作为载荷源(激励点)，用激振器激励并在其顶杆一端布置力传感器以测量激励值；在每个载荷源周围布置三个载荷计算参考点(X、Y、Z三向)，选择关心位置处作为目标点(X、Y、Z三向)，利用三向加速度传感器测量载荷计算参考点和目标点振动响应。试验中共有3个路径载荷(分别为推力室头部-Z向、涡轮泵+X向、气体发生器-Z向)、9个载荷计算参考点和19个目标点(分别为发生器氧化剂入口单向阀、燃料剂入口单向阀等)，见图2。

图2 火箭发动机振动试验传递路径示意图Fig.2 A schematic diagram of the transmission path of the rocket engine vibration test

按照图3安装好发动机振动测试系统并进行振动试验。首先分别单独在激励点推力室头部-Z向、涡轮泵+X向、气体发生器-Z向施加随机激励进行单源激励试验，以便计算激振载荷到载荷计算参考点和目标点信号间的相干函数和频响函数；然后3个激励点同时激励，测量激振器处激振载荷、载荷计算参考点和目标点的振动响应，以便传递路径分析并比较各方法优劣。

图3 火箭发动机振动试验系统框图Fig.3 Block diagram of vibration test system for rocket engine

3.2 试验分析

利用单源激励试验得到的激励、响应数据计算各载荷源与载荷计算参考点、目标点信号之间的相干函数与频响函数，其中推力室头部到氧化剂主导管中部的计算结果如图4所示。

(a)相干函数——推力室头部到氧化剂主导管中部

(b)频响函数——推力室头部到氧化剂主导管中部

在图4(a)中，整个频域上相干函数小于0.6，部分频率处相干函数极低，可能原因是在测试中由于发动机结构复杂、体型庞大，激振器激振能量不足，引起响应测量处响应较小，传感器测量误差较大所致，这提高了准确识别载荷的难度。在图4(b)中，频响函数较大共振峰值点对应的频率主要在1 000 Hz以后，这说明当振源频率较高时氧化剂主导管处比较容易发生幅值较大的共振。

引入加权矩阵前后频响函数矩阵条件数见图5，可以看出加权矩阵可以显著降低矩阵条件数。

图5 矩阵和条件数对比Fig.5 Comparison of the condition number between and

为了说明加权正则化方法在载荷识别准确性方面具有优势并进而能更准确地进行传递路径分析，接下来分别利用逆矩阵法和加权正则化方法对三个振源(推力室头部、涡轮泵、气体发生器)进行路径载荷识别。以振源涡轮泵处载荷为例进行对比分析，见图6。

图6 涡轮泵激励载荷测量与计算结果Fig.6 Measurement and calculation of excitation load of the Turbopump

从图6可以看出：(1)当频率大于800 Hz时，两种方法识别出的激励载荷与测量值吻合较好，即识别精度较高；(2)当频率小于800 Hz时，相对于测量值，两种方法在部分频率上识别误差较大(如在250 Hz以下、400～450 Hz等，加权正则化方法激励载荷识别结果不理想)，但与广义逆矩阵法识别结果相比，加权正则化方法识别精度相对较高。

计算各路径在目标点的综合振动贡献量和总综合振动贡献量，现以目标点氧化剂主导管中部为例进行分析，如图7、8所示。

图7 氧化剂主导管中部振动响应测量值与计算值比较Fig.7 Comparison between measured and calculated values of vibration response of the oxidant main conduit’s central section

图8 各路径在氧化剂主导管中部的振动贡献量Fig.8 The contribution of each path to the middle of the oxidant main conduit’s central section

从图7中可以看出，在整个频域上目标点测量值与计算值吻合的较好。结合图6、图7，基于加权正则化的传递路径分析技术具有较高的可靠性。

从图8可以看出，对于目标点氧化剂主导管中部：路径推力室头部在350～600 Hz频段内振动贡献量较大，且在550 Hz左右处振动贡献量极大；涡轮泵在1 000～1 250 Hz频段内振动贡献量较大；气体发生器在830～900 Hz频段振动贡献量较大。需要注意的是，图8中在某些频率处(如涡轮泵振源在500 Hz处)，振源对应的振动路径所对应的综合振动贡献量在数值上为负，这是因为该路径的振动贡献量与目标点响应间的相位差大于90°，即该路径引起的振动部分抵消了其他路径引起的振动。

4 结 论

为了提高火箭发动机的振动传递路径分析结果可靠性，本文推导了利用频响函数逆矩阵法时载荷识别误差上界，然后利用加权矩阵和贝叶斯理论改善了载荷识别精度，提出了基于加权正则化理论的传递路径分析技术，最后以某一火箭发动机为对象进行振动试验与分析。本文以目标点氧化剂主导管中部为例，进行了传递路径分析。分析结果表明，相对于利用逆矩阵法进行载荷识别的传统传递路径分析法，本文所提方法载荷识别结果更加准确、振动传递路径分析结果因而更加可靠，并得到了不同频域上的主要传递路径。确定出主要传递路径后，接下来的工作是对发动机进行相应的振动抑制以检验分析结果的正确性。