李星占，董兴建，岳晓斌，黄 文，彭志科

(1.中国工程物理研究所 机械制造工艺研究所，四川 绵阳 621900；2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)

振动响应传递率是一种描述测点响应之间振动传递特性的物理参数，与结构的频率响应函数一样，振动响应传递率与结构的动力学特性紧密相关。基于振动传递率的动力学特性，近年来传递率已经在多个领域得到了广泛的应用，如结构响应估计[1]、损伤检测[2]、工作模态分析[3]、频率响应函数的估计[4]、力辨识[5]和传递路径分析[6]等。特别是在工作模态分析领域，基于振动响应传递率的工作模态分析方法得到了深入的研究和广泛的应用。

Devriendt等[7-8]最早提出基于单参考点传递率的工作模态分析方法。这种方法依赖于传递率的动力学特性。在极点处，结构的传递率趋近于结构的振型比，且不受激励位置和激励类型的影响，两个不同激励状态下的单参考点传递率的曲线在极点处交叉。通过对多次不同激励下的传递率矩阵进行奇异值分解，即可辨识出结构的模态。之后，Devriendt等[9-10]又将这种方法推广到基于多变量传递率和伪传递率的工作模态分析方法。结果证明，在多输入的情况下，仍然可以利用振动响应传递率辨识结构的模态。基于传递率工作模态分析方法的根本在于极点处传递率对于输入的独立性。当输入增加时，传递率在极点处的特性会发生变化。Weijtjens等[11-12]提出了一种针对多输入对输出系统的工作模态分析方法。该方法提出利用多参考点传递率，通过分析获得一组与不同激励状态下多参考点传递率正交的向量，将系统极点的求解转换为一个非线性特征值问题。采用多参考点复频域最小二乘方法求解特征值，获得系统极点的稳定图。周思达等[13]提出了一种改进的基于多参考点响应传递率的仅输出模态参数辨识方法，建立了传递率的左矩阵分式多项式的参数化模型，通过矩阵伪逆解决了之前方法中载荷工况数与响应点数和参考点数的约束问题。张永年等[14]利用两种不同载荷情况下的传递率构造有理函数，通过有理分式Forsythe正交多项式法对其进行拟合，得到模态参数，并将该方法在机翼模型中得到了应用。

为更好的应用振动响应传递率进行工作模态分析，需要对振动响应传递率的概念和动力学特性进行研究。Lage等[15]从力传递率和响应传递率对比的角度出发，对传递率的概念进行了详细的分析。张昱等[16]对多自由度系统中标量传递率的不变性进行了分析，证明在多激励作用下多自由度系统中标量传递率在某些条件下具有不变性。

在以上研究的基础上，本文对传递率的动力学特性进行了更加系统深入的分析。首先对振动响应传递率的概念进行了介绍；然后对传递率在不同输入情况下在系统零极点处的特性和对系统输入的依赖性进行解析推导分析；随后通过数值算例对以上特性进行验证，并最终将振动传递率应用于非白噪声激励下梁结构的工作模态参数辨识。

1 振动传递率的基本概念

对于一个多自由度的振动系统，其运动微分方程可以表示为

(1)

式中，M、C、K分别表示系统质量、阻尼和刚度矩阵，F(t)为Ni×1的系统输入向量，x(t)为No×1的系统响应向量。

假定系统的初始位移和速度为零，对式(1)两边进行Laplace变换，转换到频域为

X(s)=H(s)F(s)

(2)

其中，H(s)=(Ms2+Cs+K)-1为传递函数。

按照公分母模型，传递函数可表示为

(3)

式中，B(s)为传递函数的公分母模型中的分子多项式，A(s)为分母多项式。任意输入点i和输出点o之间的传递函数Hoi(s)为

(4)

式中，φor为第r阶模态向量，Lir为第r阶模态参与因子。系统的极点可以通过A(s)的根求得，而结构的模态振型和模态参与因子可通过对留数矩阵进行奇异值分解得到。

已知系统Ni个激励的载荷向量为F(s)，将系统所有的输出分为两类，一类为Nr个参考输出xR(s)，其它(No-Nr)≥1个输出为非参考输出xL(s)。根据以上对传递函数的分析，建立输出与输入之间的关系式

(5)

式中，HL(s)为激励到非参考输出的(No-Nr)×Ni的传递函数矩阵，HR(s)为激励到参考输出的Nr×Ni的传递函数矩阵。定义参考输出和非参考输出之间振动传递率为

xL(s)=TLR(s)xR(s)

(6)

(1)Nr=1

系统中参考输出的个数只有一个，式(6)简化为单参考点的传递率

(7)

单参考点传递率可由频域响应的比值直接获得。

(2)Nr≥2

系统中参考输出有多个，式(6)表示多参考点的传递率。由式(5)，消除外载荷向量，建立参考输出和非参考输出之间的关系式

(8)

其中，(·)+表示矩阵的伪逆。

结合式(5)和(8)，定义多参考点的传递率为

(9)

如果Nr

2 振动传递率的特性研究

2.1 输入的分类

在对传递率的性质进行研究之前，首先需要对系统的输入进行分类。根据各输入之间是否相关，可以将输入的类型分为离散输入和分布式输入。离散输入的激励位置与激励之间一一对应，不同激励位置之间的激励不相关。此时，激励的个数Ni与激励源的个数Ns相同，载荷向量可以表示为

(10)

分布式输入的不同激励之间空间相关，同一激励位置可能对应多个激励，因此，激励的个数Ni要大于激励源Ns的个数。此时，载荷向量可以表示为不相关激励源线性组合的形式

(11)

式中，Fi表示第i个激励源对应的空间分布向量，μi(s)表示第i个激励源的激励谱值，Fμ表示激励的空间分布矩阵，μ(s)表示激励谱矩阵。

图1给出了包含两个激励源的离散输入和分布式输入的激励分布示例。可以看出，分布式输入是离散输入的广义推广。当分布式输入每一个Fi中只含有一个非零元素时，各个激励之间不存在空间相关性时，分布式输入蜕化为简单的离散输入。

图1 离散输入(左)与分布式输入(右)Fig.1 Discrete inputs (left)and distributed inputs (right)

2.2 对输入和系统零极点的依赖性

由式(9)所示，传递率定义为参考输出和非参考输出的之间的关系。响应是激励作用在系统上的结果，由激励和传递函数获得，而传递函数包含了系统的动力学特性。基于此，研究在不同的输入情况下激励和系统动力学特性对传递率的影响。

2.2.1Nr=1，Ni=Ns=1

考虑单参考点振动传递率在单个离散输入下的情况。假设在k点处激励系统，激励力为Fk(s)。由式(3)和(7)，任意一个非参考输出点与参考输出点之间的振动传递率为

(12)

式中，A(s)的根为系统的极点，B(s)的根为系统的零点。传递率在运算的过程中消掉了系统的极点，而传递函数HRk(s)的零点成为传递率的极点。

由式(12)可知，此时传递率独立于系统的输入幅值和系统的极点，受系统零点和激励位置的影响，传递率的极点与系统的极点不重合。

2.2.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考虑单参考点振动传递率在多个离散输入下的情况。为方便推导，以Ni=Ns=2为例进行证明。假设在k、l两点分别受到激励Fk(s)和Fl(s)，由式(7)，任意一个非参考输出点与参考输出点之间的振动传递率为

(13)

此时，激励Fk(s)和Fl(s)不能直接消掉。将输出点的响应表达为矩阵形式

(14)

对式(14)中的矩阵求逆，消掉激励力矩阵，此时传递率表示为

(15)

进一步，将式(3)中传递函数的公分母模型代入式(15)，可得

(16)

由式(16)可知，对于多个离散输入情况，传递率同样不受系统输入幅值的影响，独立于系统的极点，与系统的零点相关。

2.2.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考虑单参考点振动传递率在单个分布式输入下的情况。假设系统受到单个分布式激励Fk(s)，作用在Ni≥2个点上，由式(11)

(17)

由式(7)，任意一个非参考输出点与参考输出点之间的振动传递率为

(18)

分布式输入中，Fμ表示激励源对应的空间分布向量，决定了各点激励的幅值和位置的关系，μi(s)表示激励源的激励谱值。对式(18)进行运算，并代入公分母模型

(19)

从式(19)可以看出，单个分布式输入下的单参考点传递率独立于系统的极点，与系统的零点有关；独立于激励内部的相关性，与激励的位置有关。

2.2.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考虑多参考点振动传递率在多个分布式输入下的情况。此时，由式(5)和(11)，系统的响应可以表示为

(20)

假设HR(s)F可逆，消掉μ(s)，式(20)可以转化为

xL(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1xR(s)

(21)

由此，根据式(9)传递率的定义，可得

TLR(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1

(22)

同样，将式(3)中传递函数的公分母模型代入，可得

TLR(s)=BL(s)Fμ(BR(s)Fμ)-1

(23)

由式(22)和(23)可知，当HR(s)F可逆时，多个分布式输入下的多参考点传递率独立于系统的极点，与系统的零点有关；独立于激励内部的相关性，与激励的位置有关。在考虑多参考点振动传递率时，需要首先判断互不相关的输入的个数Ns，然后据此选择参考点的个数Nr，使得HR(s)F可逆，才能使传递率独立于输入谱μ(s)。

由以上四种情况下的讨论，可以得出以下结论:①振动传递率独立于系统本身的极点，与系统的零点相关；②在离散输入情况下，振动传递率独立于系统的输入幅值；在分布式输入情况下，当HR(s)F矩阵可逆时，振动传递率受到系统输入位置的影响，独立于系统的输入谱。

2.3 在系统极点处的特性

由2.2节的分析可知，振动传递率的极点与系统的极点不重合，不能直接用振动传递率幅值的峰值估计系统的极点。本节将对传递率在系统极点处的特性进行研究。

2.3.1Nr=1，Ni=Ns=1

首先，对最简单的单参考点振动传递率在单个离散输入下的情况进行研究。由式(12)可知，此时两点之间的传递率取决于系统的传递函数，将式(4)代入，可得

(24)

当趋近于系统某一阶模态时，s趋近于此阶的系统极点λm，式(24)转化为

(25)

由上式可知，振动传递率在系统极点处收敛于系统的模态向量的比值，且不受激励位置和激励幅值的影响。

2.3.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考虑单参考点振动传递率在多个离散输入下的情况。以Ni=Ns=2为例进行证明。由式(13)可得

(26)

当趋近于系统某一阶模态时，s趋近于此阶的系统极点λm，式(26)转化为

(27)

由上式可知，在多个离散输入下，单参考点振动传递率在系统极点处仍收敛于系统模态向量的比值。

2.3.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考虑单参考点振动传递率在单个分布式输入下的情况。由式(5)和(17)

(28)

当趋近于系统某一阶模态时，s趋近于此阶的系统极点λm，式(28)可以转化为

(29)

将式(4)代入，可得

(30)

(31)

由式(31)，在单个分布式输入下，单参考点振动传递率在系统极点处仍收敛于系统的模态向量的比值。

2.3.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考虑多参考点振动传递率在多个分布式输入下的情况。将式(5)和(11)代入式(8)

TLR(s)=HL(s)Fμμ(s)[HR(s)Fμμ(s)]-1

(32)

TLR(s)是一个(No-Nr)×Nr的矩阵，当s趋近于此阶的系统极点λm时，传递率在系统的极点处不再趋近于模态向量的比值。因此，需要建立一种多维的矩阵运算去研究传递率在极点处的特性。

对于式(6)，当s趋近于此阶的系统极点λm时

(33)

将模态模型式(4)代入，可得

ΦLm=TLR(λm)ΦRm

(34)

由上式可知，在系统的极点处，传递率将参考输出的模态振型与非参考输出的模态振型联系在一起。将上式进行变换

(35)

∀l=1,2,…,Nl

(36)

其中

(37)

对于Nl个不同的激励状态，可以组成矩阵形式

(38)

由此，可以将极点λm和模态振型向量Φm的求解转换为式(38)的非线性特征值的求解问题。在系统的极点处，传递率将参考输出的模态振型与非参考输出的模态振型联系在一起，因而可以利用此特性重新构建传递率与系统的模态参数之间的关系，实现系统模态参数的辨识。

由以上四种情况下的讨论，可以得出以下结论:①单参考点传递率在系统极点处趋近于该阶模态向量的比值；②多参考点传递率在系统极点处不趋近于模态向量的比值，需要重新构造传递率矩阵与模态向量矩阵的正交关系，实现系统模态参数的辨识。

3 数值验证

基于图2所示的4自由度的弹簧-阻尼-质量系统对传递率的特性进行验证。

图2 四自由度系统Fig.2 Four DOFs system

四自由度系统中，m=1 kg，k=1 000 N/m，c=0.5 N/(m/s)，采用Newmark方法计算梁的响应，系统的固有频率分别为3.11、5.92、8.14、9.57 Hz。

首先考虑不同输入下的单参考点传递率。图3(a)为单个离散输入情况下单参考点的传递率。深色和浅色的曲线分别表示系统在第1和第2点受到白噪声激励下的传递率T12。由图中可知，传递率连续光滑，表示其独立于系统的输入；传递率的峰值与系统的极点不重合，表示其独立于系统的极点。两种不同激励位置下的传递率相交于系统的极点，但交点的个数多余实际的系统极点。在系统辨识时，可通过增加激励状态或求解奇异值的方法剔除多余的计算极点。

依次对图3(b)中多个离散输入，图3(c)中单个分布式输入，图3(d)中多个分布式输入下单参考点的传递率分析，可以得出单参考点传递率在任意输入形式下都相交于系统的极点，但交点的个数可能多于极点数；除多分布输入外，其它输入下的单参考点传递率独立于系统的输入。

图3 不同输入情况下的单参考点传递率及其与系统极点(虚线)的关系

Fig.3 Transmissibility under different input and the system poles (dotted line)

为进一步验证传递率对输入的独立性，计算有色噪声激励下系统的传递率。图4为系统在包含有单个有色噪声输入下的响应频谱。有色噪声中包含频率为4 Hz的信号分量，在其激励下，系统的响应中4 Hz信号分量的幅值大于第二、三、四阶固有频率的幅值。计算在此激励下的单参考点传递率，图5所示为在点1和2两个位置激励下传递率T12的曲线。可以看出，最终获得的传递率不受有色噪声成分的影响，且仍相交于系统的极点。

图4 有色噪声激励下响应的频谱图Fig.4 Spectrum of response under colored noise excitation

为验证多参考点传递率的特性，计算在多个分布式输入下的多参考点传递率。图6为系统在两个分布式输入下的多参考点传递率。选取1和2为参考点，3和4点即为非参考点，采用H1估计方法计算两参考点的传递率。由图6可知，计算获得的多参考点传递率连续光滑，表明此时其独立于系统的输入。但多参考点传递率的交点与系统的极点不再重合，因此无法直接通过不同输入情况下的传递率相交获得系统的极点，且传递率的峰值与系统的极点也不重合。

图5 单个有色噪声输入下的单参考点传递率:Nr=1,Ni=Ns=1Fig.5 Single reference trans-missibility under single colored noise input: Nr=1,Ni=Ns=1图6 两个分布式输入下的多参考点传递率:Nr=2,Ni=3,Ns=2Fig.6 Multiple reference trans-missibility under two distributed inputs: Nr=2,Ni=3,Ns=2

4 在梁结构中的应用

在以上对振动传递率特性研究和分析的基础上，应用振动传递率对梁结构进行工作模态分析。图7所示为梁结构的工作模态实验装置。使用两个由弹性绳悬吊的激振器对两端固支的梁结构进行激励，7个加速度传感器均布在固支梁上。由信号发生器产生激励信号，通过两个功率放大器分别驱动两个激振器；由LMS数据采集前端采集产生的加速度信号，通过测试软件LMS Test.Lab获得时域响应信号。

图7 梁结构工作模态实验Fig.7 Operational modal analysis of beam structures

为验证振动传递率的特性，选择两种不同的激励信号，第一种情况下采用白噪声激励，第二种情况下采用有色噪声激励。每种激励情况下，考虑两种不同的激励状态，第一种激励状态下，只开启图7中左边的激振器；第二种激励状态下，只开启右边的激振器。采样频率为2 048 Hz，采样时间为50 s。

图8所示为在白噪声激励情况下，第4个传感器测试获得加速度响应的频谱图。可以看出，在1 000 Hz内，梁结构的响应谱中清晰可见有5个峰值。估算响应的振动传递率，如图9显示的是第3个和第4个响应之间的传递率T34在两次不同激励状态下的曲线，虚线表示梁结构的前五阶实验模态频率。可以看出，曲线光滑，表明没有受到输入幅值的影响；两条曲线在每一阶模态频率处存在交点，表明此时不同的输入下单参考点振动传递率在系统极点处都收敛于模态向量的比值；除了极点处之外，两条曲线还存在冗余的交点，表明仅依靠两条曲线进行模态参数辨识会产生虚假模态。

图8 梁结构在白噪声激励下响应的频谱图Fig.8 Spectrum of response of beam under white noise excitation

为提高辨识的准确度，采用Devriendt等提出的方法构建基于单参考点传递率的伪逆矩阵。首先，基于多次激励的响应，构建矩阵如下

(39)

式中，Nl表示激励的次数，k为矩阵的参考点。经证明，该矩阵的伪逆矩阵的极点与系统的极点一致，因此，通过对该矩阵进行奇异值分解，由矩阵的奇异值即可指示系统的极点。

图10所示为白噪声激励下梁结构的系统极点指示图。由于有两次激励，获得矩阵的奇异值曲线有两条，其中数值最大的第一条奇异值曲线指示出梁结构的工作模态频率。可以看出，此时辨识出在该频率内结构存在5阶固有频率，与实验模态分析的结果一致。

图9 不同激励点白噪声输入下的单参考点传递率T34Fig.9 Single reference trans-missibility T34 under different white noise input图10 白噪声激励下梁结构的极点指示图Fig.10 Poles indicator of beam structure under white noise input

在第二种情况下，采用有色噪声激励梁结构。激励信号中带有60 Hz的谐波信号，在图11所示的响应谱图中可以看出，响应中存在60 Hz和960 Hz两个比较明显的谐波成分。估算响应的振动传递率，图12显示的是传递率T34的曲线。可以看出，此时传递率曲线依旧光滑，相交于系统的极点，且存在冗余的交点。

图11 梁结构在有色噪声激励下响应的频谱图Fig.11 Spectrum of response of beam under colored noise excitation

同样对响应进行工作模态参数辨识，图13显示的是系统极点的指示图，可以看出此时的辨识结果没有受到有色噪声成分的影响，辨识结果仍然只有五个峰值。表1对实验模态分析和两次不同输入情况下的工作模态分析辨识的模态频率进行了对比，结果表明两次工作模态分析的模态频率辨识结果非常准确。表2对实验模态分析和两次工作模态分析辨识的模态阻尼进行了的对比。首先，工作模态分析无法建立频响函数，模态阻尼的辨识不够精确；其次，实验模态分析中锤击时激振器静止悬吊，而工作模态分析时激振器发生振动，两种情况下系统的刚度和阻尼发生变化，且阻尼受到的影响更大，导致阻尼辨识结果存在差异。表3和表4分别展示了两次工作模态分析获得的模态振型，并对实验模态分析和工作模态分析辨识的振型进行了对比，由振型的MAC值可以看出，两次工作模态分析中振型的辨识结果都非常准确。

图12 不同激励点有色噪声输入下的单参考点传递率T34Fig.12 Single reference transmissibility T34 under dif-ferent colored noise input图13 有色噪声激励下梁结构的极点指示图Fig.13 Poles indicator of beam structure under colored noise input

表1 模态频率辨识结果对比Tab.1 Comparison of natural frequencies using different methods

表2 模态阻尼辨识结果对比Tab.2 Comparison of modal damping using different methods

表3 白噪声激励下的模态振型及与实验模态振型的对比Tab.3 Comparison of modal shape between EMA and white noise excited OMA

模态1模态2模态3模态4模态5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.98MAC=0.99MAC=1.001.000 02.975 34.533 54.821 04.049 02.496 00.827 41.000 02.152 11.735 00.069 9-1.542 8-2.053 4-0.965 61.000 01.076 0-0.681 4-1.517 4-0.439 81.211 50.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.402 5-0.264 61.148 30.881 51.000 0-0.076 8-1.541 80.261 41.412 5-0.923 0-1.815 4

表4 有色噪声激励下的模态振型及与实验模态振型的对比Tab.4 Comparison of modal shape between EMA and colored noise excited OMA

模态1模态2模态3模态4模态5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.96MAC=0.99MAC=1.001.000 02.974 64.533 54.821 24.049 02.485 10.815 11.000 02.150 01.740 00.069 9-1.542 2-2.051 2-0.963 91.000 01.078 8-0.681 4-1.516 4-0.439 11.211 00.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.401 9-0.267 01.147 90.880 91.000 0-0.076 9-1.540 80.260 91.412 0-0.922 4-1.816 5

在传统的工作模态分析中，通常需要额外的方法剔除辨识结果中的谐波模态[17]。实验结果表明单参考传递率没有受到输入成分的影响，可以很好的解决谐波模态对工作模态辨识结果的影响。

5 结 论

从系统研究振动响应传递率动力学特性的角度出发，本文对振动传递率的定义进行了详细的推导，介绍了单参考点振动传递率和多参考振动传递率的概念；对系统的输入类型进行了分类，研究了在不同输入类型、输入个数下振动传递率对输入和零极点的依赖性，以及在极点处的特性；通过数值仿真对解析推导获得特性进行分析验证，并将其应用在梁结构的工作模态辨识中。结论如下：

(1)在离散输入情况下，单参考点振动传递率独立于系统的输入幅值；在分布式输入情况下，振动传递率受到系统输入位置的影响，在一定条件下，可独立于系统的输入谱。

(2)单参考点传递率在系统极点处趋近于该阶模态向量的比值；多参考点传递率在系统极点处不趋近于模态向量的比值，需要重新构造传递率矩阵与模态向量矩阵的正交关系，实现系统模态参数的辨识。

(3)数值仿真和实验应用的结果显示，基于振动传递率的工作模态辨识方法无需其它附加的模态验证算法，本质上即可避免系统输入中谐波成分的影响，剔除虚假模态，提高辨识结果的准确性，获得非白噪声激励下结构的模态参数，但目前该方法需测得多个不同激励状态下结构的响应，在实际工程应用中受到了一定的限制。