摘 要：2018年高考数学全国卷Ⅱ（理科）21题是压轴题，考查的是导数的知识，应该说这道题受到关注最多。对于学生而言挑战高考题又可以让同学们感受到当下所学知识的重要，还能和高考拉近距离。整节课利用探究的方式得到了不同的方法，最后用几何画板让同学们直观地感受了两个函数的图象的关系。

关键词：微课；高考；导数；直接法；构造法；分离参数法

2018年高考落下帷幕已经有一段时间，但是那些不论经历过高考还是即将经历高考的人，都在密切地关注着有关高考的一切。笔者所执教的高三学生已经进入了第一轮的复习阶段，非常需要来一次大练兵。于是在进行导数复习的时候选择了学生最为关心的压轴题进行赏析，这样既让学生感受到高考并不可怕，更能感受到平时学习中积累的重要性。

2018年高考数学全国卷Ⅱ（理科）21题：已知函数f（x）=ex-ax2。

（1） 若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2） 若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a。

当2018年高考题出现在电子屏幕上时，同学们士气高涨！第（1）小题同学们很快就有了答案，第二问激发了同学们挑战的热情，同学们一致表示，骨头虽然难啃，但还是要挑战！最终通过师生共同合作，得到了以下解法。

一、 解法一：（直接法）

因为f′（x）=ex-2ax，则令g（x）=f′（x）=ex-2ax，则g′（x）=ex-2a，

①当2a≤1，即a≤12时，g′（x）≥0，此时g（x）单调递增，则有g（x）>g（0）=1>0，进而f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x）>f（0）=1>0，没有零点；

②当2a>1，即a>12时，令g′（x）>0，得x>ln（2a），此时g（x）单调递增；

令g′（x）<0，得0

则g（x）min=g（ln（2a））=eln（2a）-2aln（2a）=2a（1-ln（2a）），

当120，从而f′（x）>0，没有零点。当a>e2时g（x）min<0，

又g（0）=f′（0）=1>0，g（1）=f′（1）=e-2a<0，则存在x1∈（0，1），使g（x1）=f′（x1）=0，

又g（2a）=f′（2a）=e2a-4a2>（2a）2-4a2=0，则存在x2∈（ln（2a），2a），使g（x2）=f′（x2）=0，

这就是说：x∈（0，x1）时f（x）单调递增；x∈（x1，x2）时f（x）单调递减；x∈（x2，+∞）时f（x）单调递增。那么f（x）的零点就完全取决于f（x2）的值。

f（x2）=ex2-ax22，又f′（x2）=ex2-2ax2=0，则f（x2）=2ax2-ax22=ax2（2-x2），

当x2<2时，f（x2）>0，无零点；当x2=2时，f（x2）=0，此时a=e24，仅有一个零点；当x2>2时，f（x2）<0，但f（4a）=e4a（1-16a3e4a）=e4a（1-16a3（e2a）2）>e4a（1-16a3（2a）4）=e4a（1-1a）>0，故有两个零点，不合题意。综上可知，a=e24为所求。

二、 解法二：（分离参数法）

f（x）=ex-ax2在（0，+∞）有一个零点，即ex-ax2=0只有一个正根

相当于a=exx2只有一个正根，即直线y=a与y=exx2只有一个交点。

令h（x）=exx2，则h′（x）=（x-2）exx3，

當x∈（0，2）时，h′（x）<0；当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）单调增减，在（2，+∞）单调递增，

故h（2）=e24是h（x）在（0，+∞）的最小值，所以当a=e24时只有一个交点。

三、 解法三：（构造法）

设函数h（x）=1-ax2e-x。

f（x）在（0，+∞）只有一个零点当且仅当h（x）在（0，+∞）只有一个零点。

（i）当a≤0时，h（x）>0，h（x）没有零点；

（ii）当a>0时，h′（x）=ax（x-2）e-x。

当x∈（0，2）时，h′（x）<0；当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增。

故h（2）=1-4ae2是h（x）在[0，+∞）的最小值。

①若h（2）>0，即a

②若h（2）=0，即a=e24，h（x）在（0，+∞）只有一个零点；

③若h（2）<0，即a>e24，由于h（0）=1，所以h（x）在（0，2）有一个零点，

由（1）知，当x>0时，ex>x2

所以h（4a）=1-16a3e4a=1-16a3（e2a）2>1-16a3（2a）4=1-1a>0。

故h（x）在（2，4a）有一个零点，因此h（x）在（0，+∞）有两个零点。

综上可知a=e24为所求。

最后同学们又踊跃的发表了自己的看法，分析几种方法的优劣以及自己的喜好，有人觉得构造法更好，有人觉得分离参数法更快捷。其实从方法本身来讲，没有好坏之分，因为对学生而言，将来还会碰到很多题目，这几种方法一定都有他的用武之地。

一节课很快结束了，同学独立思考、热烈讨论和通力合作，进行了思想和思想的碰撞，让这个导数问题已经超过了它本身的意义。对于这个高考题引起的思考，对于笔者来讲，不仅仅让学生学会了这个数学题，更多的是让学生增加了对数学学习的兴趣，以及对高考的进一步的认识，同时还增强同学间的友谊以及师生间的和谐。

参考文献：

《2018年高考数学全国卷Ⅱ》.

作者简介：

卞蕾，中级职称，甘肃省兰州市，兰州市五十一中。