【摘 要】路径最短问题是初中数学的重要题型，也是中考中的重点和难点.近年来中考中出现一类由胡不归问题改编的“PA+kPB”（k>0）型最短路径问题，普通方法求解可能就会失效，学生普遍感到困难。

【关键词】胡不归；路径最短；三角变换

【中图分类号】G610 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）10-0294-01

一、典型问题

如图，某人在A地工作，家位于C地（公路AB旁的沙漠里）.某日C地家中父亲病危，他急着赶路回家，在公路AB上行进的速度是在沙漠里行进速度的2倍.谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），那么，从A至C怎样行进才能最快到达？[1]

〖XC70.JPG；%30%30〗

分析：设沙漠里行进的速度为v，则在公路上行进的速度为2v.则所需的时间为1/v（AP/2+CP），要求时间最短即求AP/2+CP最小.由sin30°=1/2，考虑作∠BAE=30°，PE⊥AE，构造Rt△AEP可得PE=AP/2，故AP/2+CP=PE+CE.当C、P、E三点共线时，PE+CE=CE'最小.

步骤总结：

第一步：将所求线段和改写为PC+kPA的形式（0

第二步：在PA的一侧（PC的异侧），构造一个角度α，使得sinα=k；

第三步：过C作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段的长度即为所求最小值；

二、例题解析

例1（2018年江苏无锡市）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2.过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD//OY交OX于点D，作PE//OX交OY于点E.设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是〖CD#2〗.

〖XC71.JPG；%30%30〗

解：过点P作PQ⊥OY交OY于点Q.

∵PD//OY，PE//OX

∴四边形EODP是平行四边形，∠QEP=∠XOY=60°.

∵EP=OD=a

∴在直角三角形PQE中，∠PEQ=60°，EQ=EP/2=a/2.

∴a+2b=2（a/2+b）=2（EQ+EO）=2OQ.

当P在AC边上时，Q与C重合，此时OQ的最小值=OC=OA/2=1，即a+2b的最小值是2.

当P在B点时，OQ的最大值是1+3/2=5/2，即a+2b的最大值是5.

∴2≤a+2b≤5.

注：本题中所要求的a+2b中k>1，解题之初要将a+2b改写为2（a/2+b），考虑a/2+b的取值范围.

例2（2017年徐州二模）二次函数y=ax2-2x+c图象与x轴交于A、C两点，点C坐标为（3，0），与y轴交于点B（0，-3）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值。

〖XC72.JPG；%30%30〗

解：（1）抛物线解析式为y=x2-2x-3.

（2）作PH⊥BC于H.

∵OB=OC=3，∠BOC=90°

∴∠PCH=45°.

当D、P、H共线时，PD+PH最小，此时，PD+PH为DH'，

例3.如图，已知AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D.若DE=3，CE=2，点G为AE上一点，求OG+EG/2最小值.

解：过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP//AB交EH于P，过点P作PQ//OG交AB于Q，∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形，∴∠EPG=90°，PQ=OG.

∵BC/AE=2/3∴设BC=2x，AE=3x，∴AC=AE+CE=3x+2.

∵∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BEC∽△ABC，∴BC/AC=BE/BC，

∴BC2=AC·CE，即（2x）2=2（3x+2），解得：x1=2，x2=-1/2（舍去）

∴BC=4，AE=6，AC=8，∴sin∠BAC=1/2，∴∠BAC=30°.

∴∠EGP=∠BAC=30°，∴PE=EG/2，∴OG+EG/2=PQ+PE.

∴當E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE=EH最短.

∵EH=AE/2=3，∴OG+EG/2的最小值为3.

参考文献

[1]孙晋芳.也谈“胡不归”问题[J].初中数学教与学，2016（12）：32-33.

作者简介：赵欢欢（1988-），女，山东济宁人，主要从事数学教育与初中数学教学研究.