曲可佳，张 奇



算术运算规则单双内容样例学习效果的比较

曲可佳1，2，张 奇1，2

（1．辽宁师范大学 心理学院，辽宁 大连 116029； 2．辽宁师范大学 儿童青少年健康人格评定与培养协同创新中心，辽宁 大连 116029）

为了比较小学生数学运算规则的单内容样例与双内容样例的学习效果，分别以乘法运算规则、四则混合运算中的“无括号”运算规则和算术平均数运算规则的单、双内容样例为学习材料，以小学一、二、三年级的学生为被试，进行了3项实验研究．实验结果表明：低年级小学生通过单内容样例学习乘法运算规则、“无括号”四则混合运算规则的计算题和应用题以及平均数运算规则的计算题的效果明显优于双内容样例的学习效果，但通过双内容样例学习平均数运算规则的应用题的效果优于单内容样例的效果．

小学生；样例学习；运算规则；单内容样例；双内容样例

1 引言

近年来，样例学习的研究取得了可喜进展，主要表现为样例学习应用领域的扩大和样例类型的不断丰富[1]．单内容样例（single-content examples）与双内容样例（double-content examples）是近年出现的一种样例类型划分．一般来说，只有一种学习内容（content level）的样例（如所要学习的原理和规则等）被称为“单内容”样例，而包含两种内容的样例被称为“双内容”样例．双内容样例包含“学习域”（learning domain）和“示例域”（exemplifying domain）两方面知识．以数学应用题的内容为例，一个是应用题的解题规则，即学习域的知识；二是应用题主题的背景知识，即示例域知识．具体来说，学习域指的是样例中所包含的概念、原理和规则等知识（这是样例学习的主要内容）；示例域指的是样例中所涉及的具体内容（例如问题的知识领域）[2-3]．学习者必须进行双内容的加工，并整合两方面的知识，才能真正掌握双内容样例的学习内容．

目前，关于双内容样例的研究主要是考察和验证双内容样例在不同领域中的有效性，主要体现在新知识、技能和策略的学习中．首先，有研究考察了双内容样例在知识获得中的作用．Hilbert等人考察了双内容样例在几何证明题策略学习中的作用，发现了双内容样例能有效促进几何证明题策略的学习，且完整样例的效果更好[4]．Krause等探讨了双内容样例在相关分析统计方法学习中的效果，同样表明了双内容样例能够促进该种知识的习得，且反馈与合作学习为双内容样例学习提供了有力的支持[5]．王宇的研究也表明，双内容样例在解二元一次方程应用题的学习中有较好的效果，而且相比于包含不熟悉示例域知识的样例，被试学习包含熟悉示例域知识的样例的迁移成绩明显更好[6]．其次，研究者也探究了双内容样例在新技能学习中的效果．Rummel等考察了双内容样例在合作技巧学习中的应用，发现双内容样例促进了应用阶段中的合作过程和合作方案的质量[7]．还有研究探讨了双内容样例在辩论技巧学习[2]、英文写作技巧[8]和演示文稿制作技能[9]中的作用，均获得了积极效果．最后，研究表明，双内容样例能够有效促进学习策略的获得[10-13]．例如，Hilbert等[10]考察了双内容样例在概念关系图学习策略习得中的应用，并未发现双内容样例的促进作用．后续实验中，在被试进行双内容样例学习时，加入自我解释的提示，其学习结果好于没有自我解释的学习组．还有研究探讨了样例学习在获得“学习日志”这一学习策略中的作用[11]．结果表明，与只学习文本材料的被试相比，样例学习组的被试更能对所学知识进行精细加工，从学习材料中获得更多信息．

通过上述研究可见，双内容样例能够有效促进新知识、技能和策略的获得．双内容样例使学生在具体的问题情境（示例域知识）中学习学习域的知识时，不会感到枯燥和抽象．而且，学生对示例域知识的了解有助于学习域知识的理解，双内容样例有助于学习域知识的应用和迁移，这些都是双内容样例的优点．不过，在双内容样例的学习中，学习者涉及对两方面知识内容的认知加工以及两者之间的整合加工，需要更多的心理资源，可能会加重学生的学习负担．在双内容样例的学习中，只有设法降低学习者的认知负荷，才会取得较好的学习效果，因此，研究表明，在双内容样例的学习中，完整样例效果好于不完整样例[4]、熟悉样例效果好于不熟悉样例[6]、有反馈和自我解释的样例效果好于无反馈和无自我解释的样例[5，10]．

另一方面，作为传统样例学习方式的单内容样例，其研究成果更为丰富．以往研究发现，单内容样例在数学、物理、化学等多个学科的知识学习中有很好的促进作用．单内容样例只包括一种学习内容，且逐步呈现解题步骤的形式，有助于个体学习新的规则．相比于双内容样例，单内容样例的优点很突出，即所涉及的认知加工少于双内容样例，认知负荷相对较少．有研究表明，单内容样例在诸多数学运算规则，如四则混合运算、比例运算、平方差、完全平方、指数对数转换规则、概率原理、平均数差异检验、一元一次方程、等比数列等知识的学习中[14-19]均有良好效果．例如，邢强等[20]的研究发现，单内容样例在数学概率原理、乘法原理、加法原理、互补原理的学习中有较好效果，其结果受到样例的多重性和自我解释的影响．郭建鹏等的研究也表明，单内容样例在解一元一次方程的学习中有很好的效果[19]．

综上，虽然以往研究考察了单、双内容样例的学习效果，但对于两者在数学学习中的效果比较仍停留在理论分析的层面，缺乏相应的实证研究．由此，研究拟考察单、双内容样例在小学生算术运算规则学习中的效果．查阅小学教材可知，“数运算”和“简单的统计”是小学数学的两种主要内容，因此，选择乘法、四则混合运算作为“数运算”知识的代表，选取算数平均数运算规则作为“简单统计”的代表．此外，之所以选择3种学习材料同时考察单、双内容样例的效果，是考虑到仅以1种学习材料考察两种样例的作用，说服力较差．为更好地揭示不同样例的效果，研究拟以一、二、三年级小学生为被试，分别以乘法运算、“无括号”四则混合运算和算术平均数运算规则的单、双内容样例为学习材料，通过3个实验考察单、双内容样例在3种运算规则学习中的效果．通过前面的分析可知，虽然双内容样例能够促进一些新知识、技能和策略的获得，但是在数学运算规则的学习中，其效果可能不如单内容样例．此外，在目前的小学教育中，无论是教师采取的教学方式、教材中的知识呈现方式，还是学生惯有的学习习惯，单内容样例都是主要的形式，这也可能会导致单内容样例的学习效果更佳．据此，研究假设为：单内容样例在学习乘法、“无括号”四则混合运算和平均数运算的规则时，其效果优于双内容样例．

2 乘法运算规则单双内容样例学习效果的实验

2.1 实验目的

考察一年级小学生乘法运算规则单、双内容样例的学习效果．

2.2 实验方法

2.2.1 被试选取

从某城市普通小学的一年级学生中随机抽取被试75名，排除未通过“前测”的学生，共筛选出有效被试60名，将其编号随机分成两个样例学习组：单内容样例学习组和双内容样例学习组，每组30人，每组中男女生人数大致相等，平均年龄=6.60岁，=0.84．

2.2.2 实验设计

采用单因素被试间随机分组实验设计．样例类型包括单内容和双内容样例两个水平；因变量是样例学习后的测验成绩，由3道计算测题和3道应用测题组成．

2.2.3 实验材料

（1）前测材料：共有6道题目，前3道是加法计算题，后3道题目是乘法计算题．选择答对3道加法计算题而不能正确计算3道乘法计算题的学生为正式被试．

（2）样例学习材料：样例包括3道乘法运算规则样例．一种是单内容样例，即乘法计算题样例；另一种是双内容样例，即乘法应用题样例．两种样例题一一对应，每一对样例只有样例形式不同，所涉及的运算规则和解题方法完全一样．为确保所有学生能够读懂题目，所有题目均在课本中有所涉及，且实验前和有多年教学经验的小学数学教师共同确定．

（3）测验材料由3道乘法计算题和3道乘法应用题组成．被试每答对一道题记1分，答错记0分，满分为6分．

2.2.4 实验程序

（1）前测阶段：事先将指导语和“前测”题用4号宋体字、1.5倍行距打印在A4白纸上．组织待选被试安静地坐在自己的座位上．两名被试的前后左右各空出一个座位．被试拿到测题纸后即可答题．答完题交卷走出教室．指导语为：“同学你好，请认真计算下面的题目，并写下详细的运算步骤．自己独立完成，越准确越好．不会的题可以不答．10分钟后收卷．”

（2）样例学习阶段：事先将指导语和样例用4号宋体字、1.5倍行距打印在A4白纸上．两组被试分别在不同的教室内同时学习不同的样例学习材料10分钟．指导语为：“同学你好，请你认真观察和思考这些例题，尽量看懂并记住它的运算规则，10分钟后收卷．”如对题目有不懂之处，学生可以随时举手提问，实验者予以解答．

（3）测验阶段：主试收回样例学习材料后即发给被试测验材料．材料用4号宋体字、1.5倍行距打印在A4白纸上．测验时间15分钟．指导语为：“同学你好，请认真解答下面的题目，并写下详细的解题步骤．15分钟后收卷．”

2.3 结果分析

分别以乘法计算题和应用题的后测成绩为因变量，以样例的类型为自变量，进行单因素方差分析．结果显示，计算题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=14.01，<0.001，应用题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=5.83，<0.05．通过单内容样例学习乘法计算题和应用题的效果均好于双内容样例的效果．被试后测成绩的平均分与标准差见表1．

表1 被试后测成绩的平均分与标准差

3 “无括号”四则混合运算规则单双内容样例学 习效果的实验

3.1 实验目的

考察二年级小学生“无括号”四则混合运算规则单、双内容样例的学习效果．

3.2 实验方法

3.2.1 被试选取

从某城市普通小学的二年级学生中随机抽取被试77名，排除未通过“前测”的学生，共筛选出有效被试60名，并将其编号随机分成两个样例学习组：单内容样例学习组和双内容样例学习组，每组30人，每组中男女人数大致相等，平均年龄=7.80岁，=0.65．

3.2.2 实验设计

采用单因素被试间随机分组实验设计．样例类型包括单内容样例和双内容样例两个水平．因变量是样例学习后的测验成绩，由3道计算测题和3道应用测题组成．

3.2.3 实验材料

（1）前测材料：共有7道题目，前4道是加法、减法、乘法和除法计算题，后3道题目是“无括号”四则混合运算计算题．选择答对4道加法、减法、乘法和除法计算题而不能正确计算3道“无括号”四则混合运算计算题的学生为正式被试．

（2）样例学习材料：样例包括3道“无括号”四则混合运算规则样例．一种是单内容样例，即“无括号”四则混合运算计算题样例；另一种是双内容样例，即“无括号”四则混合运算应用题．

（3）测验材料由3道“无括号”四则混合运算计算题和3道“无括号”四则混合运算应用题组成．被试每答对一道测题记1分，答错记0分，满分为6分．

3.2.4 实验程序

（1）前测阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语为：“同学你好，请认真计算下面的题目，并写下详细的运算步骤．自己独立完成，越准确越好．不会的题可以不答．10分钟后收卷．”

（2）样例学习阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语如下：“同学你好，请你认真观察和思考这些例题，尽量看懂并记住它的运算规则，10分钟后收卷．”

（3）后测阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语为：“同学你好，请认真解答下面的题目，并写下详细的解题步骤．15分钟后收卷．”

3.3 结果分析

分别以“无括号”四则混合运算规则的计算题和应用题后测成绩为因变量，以样例的类型为自变量，进行单因素方差分析．结果表明，样例类型的主效应显著，计算题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=4.41，<0.05；应用题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=6.42，<0.05．通过单内容样例学习“无括号”四则混合运算规则的计算题和应用题的效果均好于双内容样例的效果．被试后测成绩的平均分与标准差见表2．

表2 被试后测成绩的平均分与标准差

4 平均数运算规则单双内容样例学习效果的实验

4.1 实验目的

考察3年级小学生平均数运算规则单、双内容样例的学习效果．

4.2 实验方法

4.2.1 被试选取

从某城市普通小学的3年级学生中随机抽取被试73名，排除未通过“前测”的学生，筛选出有效被试60名，并将其编号随机分成两个样例学习组：单内容样例学习和双内容样例学习组，每组30人，每组中男女人数大致相等，平均年龄=8.10岁，=0.74．

4.2.2 实验设计

采用单因素被试间随机分组实验设计．样例类型包括单内容样例和双内容样例两个水平．因变量是样例学习后的测验成绩，由3道计算测题和3道应用测题组成．

4.2.3 实验材料

（1）前测材料：共有7道题目，前4道是连加法和除法计算题，后3道题目是平均数计算题．选择答对4道连加法和除法计算题而不能正确计算3道平均数计算题的学生为正式被试．

（2）样例学习材料：样例包括3道平均数运算规则样例．一种是单内容样例，即平均数计算题；另一种是双内容样例，即平均数应用题．

（3）测验材料由3道平均数计算题和3道平均数应用题组成．被试每答对一题记1分，答错记0分，满分为6分．

4.2.4 实验程序

（1）前测阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语为：“同学你好，请认真计算下面的题目，并写下详细的运算步骤．自己独立完成，越准确越好．不会的题可以不答．10分钟后收卷．”

（2）样例学习阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语如下：“同学你好，请你认真观察和思考这些例题，尽量看懂并记住它的运算规则，10分钟后收卷．”

（3）后测阶段：同乘法运算规则单双内容样例学习效果实验．指导语为：“同学你好，请认真解答下面的题目，并写下详细的解题步骤．15分钟后收卷．”

4.3 结果分析

分别以平均数规则的计算题和应用题后测成绩为因变量，以样例的类型为自变量，进行单因素方差分析．结果表明，样例类型的主效应显著，计算题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=9.62，<0.01；应用题后测成绩在样例类型之间差异显著，(1, 59)=5.72，<0.05．通过单内容样例学习平均数的计算题的效果均好于双内容样例的效果．不同的是，通过双内容样例学习平均数的应用题的效果好于单内容样例．被试后测成绩的平均分与标准差见表3．

表3 被试后测成绩的平均分与标准差

5 讨论

实验结果表明，低年级小学生在乘法运算规则和无括号四则混合运算规则的计算题和应用题以及平均数运算规则的计算题学习中，单内容样例的学习效果显著优于双内容样例的学习效果，但双内容样例在平均数运算规则的应用题学习中，效果优于单内容样例的学习效果，即实验结果部分验证了研究假设．

首先，与双内容样例相比，小学生用单内容样例学习算术运算规则之所以效果更好，主要原因有3点．一是单内容样例比双内容样例的信息量少，可以使工作记忆容量有限的低年级小学生集中主要认知资源领会运算规则，掌握正确的运算步骤，减少后测中的运算错误．而双内容样例的信息量比单内容样例的信息量大，占用的认知资源更多[1]，影响了对运算规则的正确理解和运算步骤的准确掌握．因此，单内容样例的学习成绩显著优于双内容样例的学习成绩．二是对双内容样例中示例域知识的学习占用了学生的认知资源．研究中，学生所学的双内容样例中的示例域知识都与小学生的生活经验密切相关．小学生对应用题中的示例域知识比较熟悉，比较容易将正确理解和准确掌握的运算规则运用于应用题解题中．然而，尽管对示例域知识比较熟悉，但毕竟要或多或少地分散一些认知资源用于加工示例域信息，使加工运算规则和运算步骤的认知资源减少，从而使正确理解运算规则和准确掌握运算步骤的质量有所下降，后测成绩也因而下降．三是实验中学习的运算规则都是比较简单的运算规则，通过单内容运算样例就能学会这些规则，学习时对示例域知识的依赖较小．也就是说，仅依赖运算样例的学习就可以正确理解和掌握运算规则．以往研究对此提供了佐证，如，一些数学运算规则样例学习的实验结果[14，17-22]均表明，用单内容样例学习算术和代数运算规则都取得较好的学习效果．

然而，为何在平均数的应用题成绩上，学习双内容样例的学生测验成绩显著优于学习单内容样例的学生成绩呢？经分析可能是如下原因．首先，如前所述，一、二年级的小学生处于数学学习的初期，双内容样例包含较多的信息量，势必会增加学生的认知负荷，影响了样例中学习域知识的学习效果．而三年级学生经过两年的学习，数学学习能力和信息加工能力有了较大的提高，能够更好地整合及加工双内容样例中的学习域和示例域知识．其次，乘法运算规则单双内容样例学习效果实验和“无括号”四则混合运算规则单双内容样例学习效果实验里，“双内容”样例中的示例域知识占用了一定的认知资源，影响了学习域知识的掌握．双内容样例中的示例域知识，如“每组”“每棵树”“2倍”“贵4元”等，对该年级的学生来说，可能是不易理解的词汇．对这些词汇的理解正是掌握学习域知识的关键．随着年级的提升和语言文字理解能力的发展，平均数运算规则单双内容样例学习效果实验双内容样例中的示例域知识，如“平均每人”“平均每周”等重要词汇不仅没有阻碍学习域知识的获得，反而成为学习学习域知识的有利背景信息，促进了学生对运算规则的理解和掌握．

综上，虽然上述实验结果表明低年级小学生用单内容样例学习乘法、无括号四则混合运算等简单算术运算规则的效果比学习双内容样例的效果更好，但并不意味着所有知识水平或年龄水平的学生学习任何运算规则的单内容样例学习效果都比双内容样例的学习效果好，这一现象在平均数规则的学习中有所体现，即在平均数运算规则的应用题学习中，双内容样例的学习效果更佳．这可能与学生的数学能力、认知加工能力、文字理解水平等因素有关．若要进一步了解不同样例类型在数学规则学习中的作用，应开展更多的实证研究进行验证和探讨．此外，有些运算规则，诸如在解决“逆水行舟/顺水行舟问题”和“追及问题”时，尽管其解题规则和运算步骤也不十分复杂，但在解决具体问题时，规则的正确运用对示例域知识的正确理解依赖性较大，以至于不能正确理解双内容样例的示例域知识就不能正确地运用解题规则．在这种情况下，双内容样例的学习效果就可能比单内容样例的学习效果更好．再比如，即使是掌握了同样运算规则的学生，示例域知识丰富的学生在解决新颖应用题时的成绩也可能比示例域知识贫乏的学生成绩更好．因此，不能根据一两个实验结果得出以偏概全的结论．

单、双内容样例的学习效果既受学习内容的制约，也受学科知识领域的影响，更受学习者自身因素的影响．不同学科领域、不同知识内容和不同知识水平的被试的单、双样例学习效果可能有明显的不同．开展两种样例学习效果比较研究，意义在于探究制约和影响单、双样例学习效果的具体因素和因素组合，使两种样例学习各自发挥其优势作用，同时避免消极作用．如此得出的实验结果用于指导学生的自主样例学习才会获益．

6 结论

低年级小学生通过单内容样例学习乘法运算规则、“无括号”四则混合运算规则的计算题和应用题以及平均数运算规则的计算题的效果明显优于双内容样例的学习效果，但通过双内容样例学习平均数运算规则的应用题的效果优于单内容样例的效果．

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Comparison of Learning Effect between Single-Content Examples and Double-Content Examples on Arithmetic Operation Rules

QU Ke-jia1, 2, ZHANG Qi1, 2

(1. College of Psychology, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China; 2. Collaborative Innovation Center for Healthy Personality Assessment and Training of Children and Adolescents, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China)

In order to compare the learning effects of “example type” (single-content examples vs. double-content examples) on arithmetic operation rules, a single-factor design was used in three experiments. Totally, 180 children in grades 1-3 participated in the study and learned single-content and double-content examples on multiplication, four fundamental admixture operations and arithmetic mean rules. Results showed that effects of single-content examples on learning calculation problems of the rules of multiplication, four fundamental admixture operations and arithmetic mean were obviously better than the effects of double-content examples; however, effects of double-content examples on learning word problems of arithmetic mean was obviously better than the effects of single-content examples.

elementary school students; worked-examples learning; operation rules; single-content examples; double-content examples

2019–01–06

教育部人文社会科学研究青年基金项目——双内容样例的学习效果及促进研究（15YJC190017）；辽宁省教育厅人文社会科学基地研究项目——双内容样例在小学数学学习中的效果及促进研究（W201683602）

曲可佳（1980—），女，黑龙江阿城人，副教授，硕士生导师，主要从事学习与教学心理学研究．

G623.5

A

1004–9894（2019）02–0041–05

曲可佳，张奇．算术运算规则单双内容样例学习效果的比较[J]．数学教育学报，2019，28（2）：41-45．

[责任编校：张楠、陈汉君]