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多维路径与整体沟通
——梯形面积公式推导

2019-05-10何朝勇

教学月刊(小学版) 2019年11期
关键词:梯形平行四边形公式

□何朝勇

【课前思考】

单元教学序列调整,使学生在探索三角形、平行四边形面积公式推导过程中积累了转化经验,充分感知并掌握了图形面积公式推导的两种策略——剪拼和倍拼。学生能根据图形转化前后的内在联系学会公式的推理表达。当学生具备这些知识基础与数学活动经验后,能否自主将其转化为推导梯形的面积计算公式呢?在推导过程中,学生可能会使用哪些转化策略,能否实现梯形面积公式的意义性建构?如何帮助学生沟通梯形、三角形、平行四边形之间的联系,进一步形成面积公式推导的整体方法意识?

一、激活经验,明确基本思路

学生在三角形、平行四边形面积公式推导过程中积累的经验和策略,为其自主推导“梯形面积公式”创造了条件。在教学中可通过对三角形、平行四边形面积公式推导过程的回顾(如图1),凸显图形之间的联系,点击图形转化的两种策略,激活学生已有的活动经验,明确推导“梯形面积公式”的基本思路为:转化图形—寻找联系—推导公式。

图1

二、操作交流,实现意义建构

梯形面积公式的意义性建构是本课教学的重点,也是教学的难点。教学中,教师可把梯形视为一个组合图形(如图2)来探索解决,为学生提供充分的探究材料(一个或多个梯形,告知四边及高的长度),鼓励学生用个性化思维探索梯形面积计算方法。呈现多种转化方法并非目的,更重要的是通过操作、交流、比较、概括等数学活动,归纳梯形面积计算的方法,实现梯形面积公式的意义建构。

图2

三、沟通比较,形成方法意识

作为单元面积公式推导序列教学的最后一个公式,本课除了实现梯形面积公式的意义建构外,还有必要对梯形、平行四边形、三角形的面积计算公式进行整体沟通,通过三者间的变化关系(如图3),实现面积公式的整体架构。

图3

通过沟通,力求让学生进一步形成面积公式推导的整体方法意识:推导图形面积计算公式时,都可以将新图形转化成旧图形,将未知转化成已知,进而解决新问题。

【教学实践】

一、回顾旧知,激活化归思想

师:我们已经研究了三角形、平行四边形的面积,还记得我们是怎么推导它们的面积公式的吗?

(学生回答略)

师:研究的思路都是把新图形转化成已经学过的有公式的旧图形,根据图形之间的联系推导出面积公式。今天我们来研究“梯形面积公式”,你打算怎么研究?

生:用剪拼、倍拼、分割等方法,转化成学过的图形。

二、自主探索,体验化归思想

师:请你尝试用某一种方法,把梯形转化成学过的图形,并计算它的面积。

(为每一位学生提供1 个梯形,已知上底3cm,下底7cm,高4cm)

学生独立探索或组内合作,教师巡视、搜集学生作品。

三、反馈交流,展示不同方法

学生使用的主要有三类方法:

(1)分割,求面积和。如图2中的①,列式:7×4÷2+3×4÷2=20cm2

(2)补拼(含倍拼),求面积差。如图2中的⑥,列式:7×4-4×4÷2=20cm2

(3)剪拼,等积变形。如图2中的⑨,列式:(7+3)×4÷2=20cm2

小结:方法不同,相应的算式也不同,但计算的结果是一致的。

四、方法比较,尝试表征公式

师:请仔细观察这些算式中,你有什么发现?

生:都用到了上底、下底、高这几个数据,和腰无关。

师:如果用字母a表示上底,b表示下底,h表示高,请你根据自己的转化方法,表示梯形面积计算公式。

学生独立表示梯形面积计算公式。

五、反馈交流,概括提炼公式

生:我觉得“S梯形=a×h÷2+b×h÷2”。

生:根据我的方法,应该这样求梯形面积,“S梯形=a×h+(b-a)×h÷2”。

生:我认为“S梯形=(a+b)×h÷2”。

师:方法不同,公式也不同,你们觉得哪个最简洁?

生:S梯形=(a+b)×h÷2。

师:其实,其他公式运用运算定律后也可以转化成“S梯形=(a+b)×h÷2”。比如“S梯形=a×h÷2+b×h÷2”,运用乘法分配律就可以转化成“S梯形=(a+b)×h÷2”,其他的方法也都可以,大家可以在课后尝试一下。

多媒体课件呈现三个梯形,讨论:这几个梯形是否也可以采用刚才的方法计算面积?

生:它们也可以用刚才的方法进行转化,都可以用“S梯形=(a+b)×h÷2”进行计算。

六、比较沟通,把握内在联系

(多媒体课件逐个呈现图4 中的图形,并让学生计算各自的面积。单位:cm)

图4

出示①②两个梯形后,提问:想一想,下一个图形可能是怎样的?

生:上底1,下底9,高4。

师:继续变,下一个又会是怎样的图形?

生:上底是0,变成三角形了。

师:你会计算三角形的面积吗?

生:10×4÷2=20。

生:我们可以把三角形看作是上底为0的特殊

梯形,(0+10)×4÷2=20。

(出示⑤号图形)

师:你会求它的面积吗?

生:(4+6)×4÷2=20。

师:想一想,继续变化,会变成什么图形?怎样求它的面积?

生:会变成平行四边形,5×4=20(出示⑥号图形)。

生:也可以把平行四边形看作特殊的梯形,(5+5)×4÷2=20。

师:梯形的面积公式很厉害,用它还能求三角形、平行四边形的面积。

七、梳理总结,形成方法意识

师:这个单元我们研究了三角形、平行四边形、梯形的面积计算公式,在研究方法上有什么共同点?

生:都是把新图形转化成旧图形,根据它们之间的联系推导公式的。

师:把新知转化成旧知是一种非常重要的思想方法。如果今后遇到一种新图形或更加复杂的图形,你打算怎样求它的面积?

生:把新图形转化成学过的图形,根据联系推导公式,再运用公式求面积。

生:也可以用分割、剪拼、补拼等方法,求面积和或面积差。

【教学反思】

在面积公式推导新序列的课程中,学习的关键在于把梯形视为组合图形进行自主探究、沟通联系,实现面积公式的意义性建构。学生在此过程中进一步感受转化、极限、等积变形等数学思想方法,感知研究图形面积问题的一般路径。

一、顺延思路,悟思想方法

在之前的探究过程中,学生较好地积累了研究图形面积问题的基本方法和策略。本课通过对三角形、平行四边形面积公式推导过程的回顾,有效激活学生已有的知识基础和活动经验,顺延研究图形问题的思路,引导学生自主推导梯形面积公式。在我区两所学校的教学实践中,我们发现按照这一序列,95%以上的学生能把梯形视为一个组合图形,采用一种甚至多种策略进行“转化“,并能根据图形间的内在联系,实现梯形面积公式的个性化建构,统计如表1。

表1

从表1 可以看出,学生已初步形成“把新图形转化成旧图形”这一意识,并较好地掌握了剪拼、倍拼等转化方法。其中采用“把梯形分割成2个三角形”“2个梯形倍拼成平行四边形”这两种方法的人数较多,说明学生首选的转化目标就是三角形、平行四边形。采用剪拼法进行转化的比例看似不高,但实际上却是很多学生的首选方法,只不过有一部分学生因为不会找中位线而改变方法。更可喜的是,部分学生具备了策略调整意识,当他们发现在梯形上方拼补三角形,虽然实现了图形的转化,但却难以计算梯形面积时,他们会调整在右侧拼补三角形,把梯形转化成平行四边形。可见,学生能顺延研究三角形、平行四边形面积的思路探究梯形面积公式,更利于转化思想的落地。

二、多维路径,促意义建构

把梯形视为组合图形,让学生自主探究其面积公式的过程亦是开拓学生思维的过程。用不同的方法进行探究,不仅有助于提升学生的创新意识,还能发展学生的分析问题能力。我们选择1 个梯形作为材料,让学生尝试计算它的面积,学生的转化思路不同,相应的计算方法也不同。学生介绍个性化的方法,不仅是对自己探究成果的梳理,更开阔了他人的思维。

多维路径,看似给公式的提炼增加了难度,实则非常有必要。其一,学生能完成对梯形面积公式的个性化意义建构,远比“用一个冰冷的公式求面积”更具价值;其二,不同方法相同结果,虽然殊途同归,但解决问题过程的繁杂程度差异很大,这恰恰凸显了公式提炼的必要性。

三、整体沟通,强方法意识

将梯形和三角形、平行四边形的面积公式及研究方法进行整体沟通,有助于学生对公式的内化理解,进一步形成图形面积公式推导的方法意识。我们在教学中安排了两次沟通:首先,通过以题组练习的形式,对梯形、平行四边形、三角形的面积计算公式进行沟通,帮助学生感知三角形、平行四边形都可以看成特殊梯形的理念,打通三者之间的联系。其次,通过“在研究方法上有什么共同点?”“遇到一种新图形或更加复杂的图形,你打算怎样求它的面积?”这两个问题,帮助学生进一步形成整体方法意识,即探究不同图形的面积公式时,都可以将新图形转化成旧图形,将未知转化成已知。

教学中,将三者的面积公式进行沟通,有助于学生感知极限思想,可以使单元课之间有所呼应。同时,通过推导面积公式过程的沟通,有助于学生进一步感知研究图形面积问题的一般路径,为后续探索组合图形面积及圆面积公式做准备。

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