段君义，杨果林，林宇亮，邱明明，申权

(1.中南大学土木工程学院，湖南长沙，410075；2.延安大学建筑工程学院，陕西延安，716000；3.湖南工业大学土木工程学院，湖南株洲，412007)

填方边坡是一种非常普遍、常见的土工构筑物，广泛存在于公(铁)路、机场、水利、市政等基础设施建设中[1]。为了保证实际工程中的填方边坡能够在各类服役环境下长期稳定与安全，研究者从不同角度[2−10]进行了相关研究，并提出了采取不同加筋方式[5−6]、垫层[7]、地基加固[8−10]等防护措施。这些研究成果与提出的防护措施极大地促进了填方边坡朝着更高、更大以及使用更广的方向发展，也保证了填方边坡对复杂服役环境的适应能力。但在不同地区，填方边坡面临着土石方填料多种多样、地形起伏大、地基地质条件复杂等问题，所采用的坡体结构也不相同。人们结合工程实际情况进行了相关研究[3,11−14]，发现坡体结构、地基类型及其土体参数会影响边坡稳定性及其滑动面形状。极限分析上限法能够构建符合土层结构的机动许可速度场，是一种被广泛认可与采用的边坡稳定性分析方法[15−16]。黄茂松等[17]基于转动−平动组合式破坏机构，提出了适用于降雨入渗条件下带软弱夹层边坡稳定性分析方法。王根龙等[18]结合上限法和有限元法，针对非均质边坡推导了边坡稳定性的刚体单元上限法。NIAN 等[19−20]分析了土体黏聚力随深度线性变化对非均质边坡稳定性的影响。夏元友等[21]假定非均质边坡的土体参数随深度呈线性分布，指出非均质边坡高度范围内土体黏聚力的非均质分布可以用其平均值代替计算。唐高朋等[22]开发了边坡稳定性上限法分析程序，指出边坡稳定性及其滑动面位置与边坡坡角及土体参数有关。年廷凯等[23]针对多阶多层复杂边坡，推导了相应的通用性上限法公式。目前，通过极限分析上限法涉及边坡方面的研究成果大多数是针对天然开挖形成的边坡，考虑了天然边坡坡体或坡体与地基作为一个整体的非均质、分层性[24]。而填方边坡填方部分的土体(填料)一般是按照设计要求配制，并压实到规定的压实度，其地基(尤其是软土地基)一般需要进行一定深度的加固处治，形成“新”地基。填方部分与地基部分都是按照相应的规定标准进行施工，两者土体可分别视为均质土，但由于两者的处理措施和施工工艺不同，两者土体存在差异性，应在填方边坡稳定性分析中予以考虑。为此，本文作者基于上限法，考虑地基土体与填方填料性质的不同推导填方边坡上限法计算式，并分析填方与地基两者土体参数差异性对填方类边坡稳定性的影响。

1 填方边坡特征

填方(路堤)边坡是在原有地基之上修建的构筑物，一般来说，填方区域土体(填料)可取当地料场、挖方路段土体，当本地填料缺乏，需要从其他地区选取运送时，地基部分与填方部分的土体力学参数一般不同。当填方部分填料来自当地时，由于地基一般需要进行地基加固处理，而填方区域也需要进行压实、强化等处理，地基与填方部分的加固处理方式往往并不相同，导致地基土与填方部分填料的强度不同，使得两部分土体表现出不同的力学参数。此外，针对加筋土边坡已有研究成果，从极限法角度分析时，大多数研究者均是直接考虑筋材强度计算筋材引起的能量耗散[25]。加筋土边坡也属于填方边坡，其地基常采用换填、夯实等加固处理措施。由准黏聚力理论可知，加筋土在宏观上表现为黏聚力增大，而内摩擦角不变，这也会造成加筋区域(填方部分)土体强度与地基土的强度不同。上述分析表明，填方路堤边坡表现出明显的“两层土结构”特征，即地基土与填方部分填料具有不同的力学参数，应区别对待。为此，本文针对填方边坡的“两层土结构”特征，基于极限分析法，研究“两层土结构”特点对填方边坡稳定性及其相关参数的影响。

2 填方边坡稳定性上限分析

2.1 填方边坡破坏机构的建立

在采用极限分析上限法对边坡稳定性进行分析时，进行如下假设：1)边坡纵向视为无限长，可以当作平面应变问题[4]；2)边坡土体视为理想刚塑性体，服从线性M-C 破坏准则，且遵循相关联流动法则；3)考虑填方边坡填料与地基土的差异性，将填方边坡视作“两层土结构”。

填方边坡滑动面形状接近于对数螺旋线形式，且当边坡坡角小于60°时，边坡的滑动面可能会从坡趾下方通过[16]。为此，本文以通过坡趾下方的对数螺旋线破坏机构为推导依据，边坡外部边界由按设计要求的折线段构成，如图1所示。对数螺旋曲线方程为

式中：r为角度θ对应的极半径；r0为θ=θ0时的极半径；θ和θ0分别为描述对数螺旋破坏面的任一和初始角度；w为破坏机构角速度；φi(i=1,2)为土体内摩擦角，φ1和φ2分别为地面线CC′以上填方区填料、地面线CC′以下地基土的内摩擦角；α为坡顶斜面倾角；β为坡角角度；H为边坡高度；θ1为破坏面上点E对应的角度；θh为描述破坏面的终止角度；β′为AC′与地面线夹角(滑面出口角度)；v为破坏面上任一点的间断速度；v1对破坏面上E处的间断速度；γ1为破坏面在点E处对应的极半径；γ为破坏面上任一点对应的极半径；γh为破坏面上C′点对应的极半径；L为坡顶AB的长度；D为C′C的长度。对数螺旋线破坏机构由角度θ0，θh和β′确定。

图1 填方边坡对数螺旋线破坏机构Fig.1 Logarithmic spiral failure mechanism of fill slope

根据图1所示破坏机构几何关系可得到H/r0，L/r0和D/r0与角度θh，θ0和β′之间的关系：

2.2 能耗计算

2.2.1 外力功率

本文重点分析填方边坡“两层土结构”效应的影响，故外力功率仅考虑土体重力所做的外功率。由于考虑地基土与路堤填土特性不同，即两者分别具有不同的黏聚力、内摩擦角和土体重度，此时，不同土层的对数螺旋线滑动面函数也不相同。如图1所示，点E为两段滑动面曲线BE和EC′的分界点，其对应的旋转角度为θ1。对于角度θ1，这里分2 种情况进行考虑：1)当θh>φ2+π/2 时，滑动面会穿过地面线C′C以下土层，应按照2层土进行处理，此时，θ1存在；2)当θh≤φ2+π/2 时，滑动面始终在地面线C′C以上土层内，此时，可按照单层土进行处理，滑动面通过坡趾，且θ1不存在。当θ1存在时，其应符合

由于地面线CC′以上、下层的土体特性不同，故土体重力功率应分别求得。滑动土体重力总功率由地面线上下土层的重力功率组成，即

式中：为地面线CC′以上滑动土体重力功率；为地面线CC′以下滑动土体重力功率。

对于地面线CC′以上滑动土体，重力功率为区域BACEB的土体重力所做功率，该块体形状不规则，不便于直接求出。如图1所示，先延长对数螺旋面曲线BE至与OC′延长线相交于N点，分别求出区域OBNO，OABO，OC′AO，AC′CA，OENO和OEC′O土体重力所做功率。Wsoil_1为

式中：γ1为地面线CC′以上的土体重度。

对于地面线CC'以下滑动土体，其重力功率为弓形体区域EC'E的土体重力所做功率。分别求出扇形区域OEC'O及三角形区域OEC'O土体重力所做功率，则弓形体区域EC'E的土体重力功率为

式中：γ2为地面线CC'以下土体重度。f7表达式为

2.2.2 内部能量耗散率

沿间断对数螺旋线滑动面上土体能量耗散率D可沿滑动面积分得到：

式中：ci为滑动面BE和EC'所在土层的黏聚力；v为滑动面上间断速度；ri(θ)为对数螺旋线滑动面BE和EC'上的极半径；i取值为1和2。

由式(17)可知：滑动面上土体的能量耗散率与土体重度无关，与黏聚力和内摩擦角有关。

整个滑动面上土体的能量耗散率由滑动面BE及EC'两部分能量耗散率构成，即

式中：r1(θ1)为角度θ1对应的极半径，

2.3 填方边坡稳定性计算式

根据上限法原理，令外力功率与内部能量耗散功率相等，可得

式中：λ2为γ2/γ1。

将上述极值求解转化为数学规划问题，即将H视作目标函数，并以变量参数θ0，θh和β´以及其他参数量的实际取值情况为约束条件。通过MATLAB 软件编写相应的优化程序[4,22]，便可用于分析填方边坡“两层土结构”的影响。

3 算例验证与影响因素分析

3.1 算例验证

为了验证上述推导公式的可靠性，以文献[16]中某实例为对象，将本文公式计算的结果与文献[16]中的上限法分析结果进行比较。实例参数如下：地面以上的回填土的重度为20 kN/m3，黏聚力为95 kPa，内摩擦角为5°，边坡坡角为30°，坡顶倾角为0°；地面以下的地基土除黏聚力与回填土黏聚力不同外，其他参数均相同。两者的优化结果如图2所示(注意：本文中定义黏聚力比为地基土黏聚力与回填土(填料)黏聚力的比值；稳定性系数Ncr=γ1Hcr/c1；γ1和c1分别为填方区土体重度和黏聚力；Hcr为填方边坡临界高度)。

图2 稳定性系数Ncr随黏聚力比的变化Fig.2 Stability coefficient Ncr varies with cohesive ratio

由图2可知：随着黏聚力比增大，稳定性系数Ncr呈非线性增大；当黏聚力比较大时，所推导公式优化的稳定性系数与文献[16]中稳定性系数非常接近(略小于或等于文献[16]中稳定性系数)；当黏聚力比较小时，本文公式所得Ncr更小。根据上限法规则可知，本文推导的结果具有较强的准确性和可靠性。此外，还得到了其他优化参数随黏聚力比的变化关系，如图3所示。由图3可知：随着黏聚力比增大，θ0逐渐增大，而θh逐渐减小，但两者的变化速率均呈减小趋势。这是由于随着黏聚力比增大，地基土的抗剪强度提高，潜在滑动面进入地基土内部的深度逐渐变小。图3(b)与图3(c)反映了这一特点，β′也随着黏聚力比增加而呈非线性增大，其增大速率变缓，且β′最后趋近于边坡坡角，但D/H则随着黏聚力比增大而减小，最后D/H趋于0。这说明当地基土强度小于填方土体强度时，潜在滑动面从坡脚下方穿过并在坡脚前方滑出，但当地基土强度超过填方土体强度时，潜在滑动面会从坡脚处滑出。图3(c)反映了其他优化参数与黏聚力比的关系。由图3(c)可知：随着黏聚力比增大，L/H和L/r0呈非线性减小，H/r0则呈现出非线性增大。

图3 优化参数随黏聚力比的变化Fig.3 Variations of optimization parameters with cohesive ratio

3.2 不同内摩擦角时黏聚力比对填方边坡稳定性的影响

仍以上述实例为对象，其中，内摩擦角变化范围为5°～20°，其他参数均与3.1节中的相同。黏聚力比与内摩擦角变化对填方边坡临界高度及其他相关参数的影响如图4所示，其中，临界高度比Hcr/Hcr0定义为某黏聚力比对应的临界高度Hcr与黏聚力比为1时的临界高度Hcr0之比。

图4 填方边坡临界高度比随抗剪强度参数的变化Fig.4 Variations of critical height ratio of fill slope with shear strength parameters

由图4(a)可知：随着黏聚力比增大，填方边坡临界高度比Hcr/Hcr0增加；当内摩擦角为20°和5°时，Hcr/Hcr0增长速率更大。由图4(b)可知：当黏聚力比小于1时，随着内摩擦角增大，Hcr/Hcr0呈现先增加后减小的非线性变化规律，而当黏聚力比大于1时，Hcr/Hcr0呈现先减小后增大的非线性变化规律，该非线性变化规律均随着黏聚力比远离1而更加显著。

不同土体内摩擦角时参数θh随黏聚力比的变化见图5。由图5 可知：随着黏聚力比增大，θh呈先快后慢呈非线性减小，具体来说，当黏聚力比较小时，θh减小速率更大；当内摩擦角较小时，θh的非线性减小速率更快，但随着内摩擦角增大，该非线性特征逐渐变小；当内摩擦角增大至20°时，θh几乎不随黏聚力比变化而变化；此外，θh随着内摩擦角的增大而减小，且当黏聚力比较小时，θh减小幅度更明显；而当黏聚力比增大至1.4时，不同内摩擦角时的θh趋于某一相同的稳定值。

图5 不同内摩擦角时θh随黏聚力比的变化Fig.5 Variations of parameter θh with cohesion ratio at different internal friction angles

不同土体内摩擦角时参数β′随黏聚力比的变化见图6。由图6 可知：随着黏聚力比增大，β′呈非线性增大，且最终稳定在边坡坡度，这说明随着黏聚力比提高，地基土的黏聚力提高，潜在滑动面出口从坡脚前方逐渐移至边坡坡脚处。结合图5进行分析发现θh随着黏聚力比提高而减小，说明潜在滑动面进入地基土中的深度减小，此时，若边坡需要进行地基加固处理，则地基土的处置深度可以相应地减小；当黏聚力比相同时，内磨擦角越小，β′越小，且β′趋于稳定值时对应的黏聚力比越大。

图6 不同内摩擦角时β′随黏聚力比的变化Fig.6 Variations of parameter β′with cohesion ratio at different internal friction angles

3.3 不同边坡坡角时黏聚力比对填方边坡稳定性的影响

为分析不同边坡坡角时的黏聚力比对边坡稳定性的影响，仍以前述实例为对象，其中，边坡坡角为20°～60°，其他参数均与3.1 节的相同，结果如图7所示。

由图7(a)可知：随着黏聚力比增大，Hcr/Hcr0均呈不同程度增加，具体来说，当边坡坡角较小时，Hcr/Hcr0呈近似线性增加，而随着边坡坡角增大，Hcr/Hcr0的非线性增加趋势逐渐显著；当边坡坡角大于45°时，随着黏聚力比增大，Hcr/Hcr0增长速率逐渐变小，当黏聚力比大于0.8 时，Hcr/Hcr0增长幅度较小，基本趋于稳定。这说明当边坡坡角较大时，地基土的黏聚力提高使得潜在滑动面上移且最后稳定在边坡填方区域。这也进一步说明当黏聚力比大于1时，Hcr/Hcr0随着边坡坡角增大而减小并最终趋于1，而当黏聚力比小于1 时，Hcr/Hcr0随着边坡坡角增大而增大，如图7(b)所示。

不同边坡坡角时参数θh随黏聚力比的变化见图8。由图8 可知：θh随着黏聚力比的增大而减小，且该变化规律受边坡坡角影响；随着边坡坡角增大，θh不同程度地减小。具体来说，当黏聚力比较小时，θh受边坡坡角影响较小，但随着黏聚力比逐渐增大，边坡坡角对θh的影响增大。

图7 填方边坡临界高度比随黏聚力比和边坡坡角的变化Fig.7 Variations of critical height ratio of fill slope with cohesion ratio and slope angle

图8 不同边坡坡角时参数θh随黏聚力比的变化Fig.8 Variations of parameter θh with cohesion ratio at different slope angles

不同边坡坡角时参数β′随黏聚力比的变化见图9。由图9 可知：β′随着黏聚力比增大而增大，但对于不同边坡坡角，其增大规律不同；当边坡坡角小于45°时，β′以减缓的增长速率呈非线性增大，但始终小于边坡坡角；当边坡坡角超过45°时，β′呈现出先慢后快再慢速率增大的规律，且当黏聚力大于1时，β′基本等于边坡坡角。这也能够解释图8 中θh以边坡坡角45°为界表现出不同规律的原因。此外，当边坡坡角增大，β′增大，且当黏聚力比越大时，β′增长速率越大，这进一步说明地基土具有较高强度时对边坡稳定性影响较大。结合图8和图9可知：随着黏聚力比增大，边坡潜在滑动面滑出口逐渐移至坡脚处，且在地基土中的深度逐渐变小。

图9 不同边坡坡角时β′随黏聚力比的变化Fig.9 Variations of parameter β′with cohesion ratio at different slope angles

4 结论

1)采用本文公式计算得到的稳定性系数更小，验证了所推导公式的可靠性，且当黏聚力比越小时，计算的稳定性系数更小。

2)随着黏聚力比增大，临界高度比Hcr/Hcr0呈非线性增大，且黏聚力越小时，其增长速率越快。当黏聚力比大于1时，Hcr/Hcr0随内摩擦角增大呈先减小后增大的非线性变化，黏聚力比越大，该非线性变化特征越明显；当黏聚力比小于1 时，Hcr/Hcr0随内摩擦角增大呈先增大后减小的非线性变化；当黏聚力比大于1时，Hcr/Hcr0随着边坡坡角增大而减小，而当黏聚力比小于1时，Hcr/Hcr0随着边坡坡角增大而增大。

3)β′随着黏聚力比增大呈非线性增大，并最终趋于边坡坡度。在相同黏聚力比时，内摩擦角、边坡坡度越大，β′越大。此外，随着黏聚力比增大，θh呈减小变化，且其变化速率随着内摩擦角减小、边坡坡度增大而增大。