张芳

[摘   要]解析几何是高考数学重点考查内容之一，解析几何问题的本质是直线与圆锥曲线联立后方程组的根，而求解时往往伴随参数，不易直接求出点的坐标，且运算量大.利用方程同解，不仅将点的坐标完美避开，还绕开韦达定理，大大减少了运算量，提升了解题效率.研究解析几何典型问题解法，可以开阔学生视野，提高学生的解题能力.

[关键词]解析几何;典型问题;解答;拓展

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0033-02

解析几何是高中数学中几何部分的重点内容，也是高考数学重点考查内容之一，其核心本质就是通过坐标将几何的问题转化为代数问题，从而运算求解相应的结论.高考常会考查曲线与直线交点的问题，而该问题的本质其实就是直线与圆锥曲线联立后方程组的根.而求解方程组的根往往会伴随参数，不易直接求出点的坐标.多数学生（特别是文科生）在遇到解析几何问题时头脑中的第一感觉就是运算量大，常常会出现“方法思路都懂，可算算就错”的现象.其实在具体运算中有时也会有些小“技巧”，可以避开烦琐的运算，减少“无效运算”.下面笔者对一类解析几何问题进行深入探讨.

一、典型例题解答分析

[例1]已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为[32].不过A点的动直线[y=12x+m]交椭圆O于P、Q两点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过点A、P、Q 的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点的坐标.

分析：本题的困惑之处主要是在第（2）问中如何求出圆方程，从而解决圆过定点问题.三个点的圆方程，往往是设一般式，通过待定系数将圆方程表示出来.可本题的P、Q两点是直线与椭圆的交点，如若要求出此两点坐标则必须要利用求根公式来处理，这样会使运算非常复杂，在有限时间内学生往往是不能完成的.

搜寻记忆，思路再探索.其实本题与2008年江苏高考卷18题如出一辙.

2008年江苏高考卷18题：在平面直角坐标系xOy中，设二次函数[f（x）=x2+2x+b（x∈R）]的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.（1）求实数b的取值范围;（2）求圆C的方程;（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

该题的第（2）问同样需要求出圆方程，由于本题x轴上的两交点易于算出，且结构相似，所以直接利用求根公式即可求出两点坐标，通过待定系数也能轻松求解.

上述解题方式，虽然在求解D、E、F时运算较为复杂，但由于等式结构类似，所以通过两式相减，就可求出D，运算并没有想象中那样复杂.但是通过仔细观察可发现，二次函数与x轴的交点同圆C与x轴的交点完全一致，即x2+2x+b=0与x2+Dx+F= 0方程同解，這样就可以得到D=2，F=b，所以圆C的方程为x2+y2+2x+Ey+b = 0，再代入D（0，b），可知E = -（b+1）.同样也可得圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b = 0.但这样运算量就大大降低了.那么能否通过这样的方程同解法来解决之前的问题呢？

二、类似问题的拓展运用

三、对问题的再思考

由于在解题过程中其运算量相对较大，所以每年高考所涉及的解析几何问题，学生想拿满分变得很困难.而且现阶段教师的课堂教学也往往较为功利化，解题方式也变得机械化、固定化.教师在解题教学中常常会给学生灌输这样的思想：解析几何的解答题实在不会做就将直线与椭圆联立，韦达定理写一下，基本上该有的分就到手了.殊不知，这样的教学使得学生思维能力不断弱化，导致学生遇到解析几何问题也不会动脑思考了.

解析几何中所谓的“韦达定理”可以解决直线与圆锥曲线的交点问题，往往运算量较大.其实这样的固定模式并不能解决所有的问题，上面设计的解题方案就可以避开韦达定理，巧妙运用方程同解来处理相应交点的坐标，从而提高运算效率，达到事半功倍的效果，让解题不再成为“煎熬”.

解题时不能“慌不择路”，教师要让学生明白，需要“先谋而后定”，急急忙忙制订解题计划，往往并不是好的思路，需要通过仔细地分析观察，要做到“不发则已，一发必中”.解题的模式也不能固定，需要根据实际情况灵活改变，不能拘泥，通过问题的表面信息，抓住核心内容，深挖问题的本质，这样才能逐步提升学生解题的能力.在学生遇到困难，束手无策时，教师也可以给予适当的提示，然后让学生继续按照提示步骤继续思考.当然，教师的提示也不可过度，过细、过多的提示也会让学生产生依赖性.

四、反思总结

解题有四重境界：会解（有思路，有方法）、解对（遵循思路方法将问题解决）、最优法（在若干思路中寻找最简洁的解题方式）、学会反思归类（总结经验将问题进行归类）.学习数学一定要追求最高的境界——学会反思归类.上面所涉及的方程同解的方法，如果学生平时能够做好积累的工作，对经典的题型能够做到归类总结的话，那么遇到这类难题就能够快速地找到解题的突破口了.

面对生疏而又复杂的问题，首先要把问题的实质弄清楚，将一个复杂生疏的题目弄清楚，往往比做十多个普通的、熟悉的问题更有意义.数学教育的目的就是教会学生会思维，经常解题、思考，头脑会越来越灵活;反之，若解题不思考，头脑容易固化、僵化.当然所谓的难题往往是将若干个小题“混搭”而成的，学生如果要能够处理这类问题，则需要基本功训练扎实到位，于平时的学习中注重细节.如果忽视了这些细节，学生要提升数学运算能力自然就有困难.

解析几何需要运算，但是如果能够通过一些小的“技巧”，绕开烦琐的运算，从而提高解题效率，减少运算过程中的错误环节，这不正是教师所期盼的么？

（责任编辑 黄桂坚）