曾旭，罗清松

(1.四川自力建筑勘测设计有限公司，四川 泸州 646005； 2.四川化工职业技术学院信息工程系，四川 泸州 646005)

1 引 言

随着测绘新技术的不断发展，房产测绘中不能仅局限于实地量距法，具有测算速度快、精度可靠的房屋面积测算方法是房产测绘中所需要的。鉴于免棱镜全站仪不需要棱镜即可采集对象点位目标坐标，且速度快、效率高，因此探讨其应用在房屋面积测算中的可靠性。通过文献查阅发现，全站仪坐标解析法量算房屋面积精度分析资料较少，文献[1]计算了全站仪坐标解析法面积测算限差，并比较了与实地量距法测算房屋面积的精度，得出了因房屋面积大小的不同，应交替使用两种方法，以期测算精度最高；文献[2]探讨了免棱镜全站仪在房产测绘中的应用，得出免棱镜全站仪测设的界址点精度能够满足规范要求。两篇文献对面积测算精度可靠性的探讨并未涉及。因而本文基于不同精度等级的免棱镜全站仪采集房屋各个房角点坐标，分析使用坐标解析法测算房屋面积的精度是否满足现行规范要求。

2 全站仪坐标解析法面积计算

坐标解析法是指按房屋用地界址点(界线拐点)坐标计算地块面积的方法。各拐点坐标可通过全站仪在测站点上直接实地施测获取。有了各拐点坐标，就可以组成闭合的多边形，从而根据面积计算公式计算出多边形面积，此结果即为房屋用地面积或房屋首层建筑面积。下面推导面积计算公式的形式。

图1 坐标解析法面积计算

图1中是由五个房屋用地界址点组成的五边形房屋用地面积SABCDE，每个界址点的坐标都可通过实地测量得出，分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)、E(x5，y5)。从图中可以看出：

SABCDE=SaABb+SbBCc-SaAEe-SeEDd-SdDCc

可以看出，上式等号的右边每一项都代表一个梯形的面积。其梯形的底为各界址点的纵坐标，分别为x1、x2、x3、x4、x5；其高分别为横坐标的差的绝对值，即(y2-y1)、(y3-y2)、-(y3-y4)、-(y4-y5)、-(y1-y5)，所以有：

上式中，1、2、3、4、5是按顺时针编号的。如果扩展到一般形式，则有：

(1)

式(1)都是坐标解析法面积计算公式。但需要注意的是当i+1>n时xi+1=x1，yi+1=y1；当i-1=0时，xi-1=xn，yi-1=yn；实践操作中，两公式可各计算一次，加以检核。

3 坐标解析法面积量算精度分析

通过式(1)可以看出，面积计算公式是关于xi、yi的非线性函数，则分别求S关于xi、yi的偏导数后可得：

根据平面两点间距离公式，则可将上式改写为：

(2)

其中Di-1：i+1为第i-1号界址点到i+1号界址点距离。

4 不同精度等级全站仪测算房屋面积精度分析

4.1 矩形房屋面积计算精度公式

房地产行业中，常见的房屋形状以矩形居多，则选取矩形房屋讨论房屋面积计算精度。如图2所示，矩形ABCD是一矩形房屋平面图，令边长AB=CD=a，AC=BD=b，则AD2=BC2=DA2=CB2=a2+b2。则由式(2)，可知：

(3)

图2矩形房屋示意图

4.2 界址点精度分析

使用免棱镜全站仪极坐标法采集房屋界址点坐标，是指将仪器安置在房屋周围已布设好的控制点(假设无误差)上，通过直接采集房屋拐点处的水平角和距离从而测算出房屋界址点的坐标。此时，界址点相对临近控制点的平面位置方差为[2]

(4)

其中：ms为测距标准偏差；mβ为测角标准偏差；ρ=206265″；s为界址点到测站点的平均距离/m。

文献[2]中提到，使用免棱镜全站仪不能那么准确地测出建筑物的角点，总是存在 ±0.015 m的误差。需对式(4)加以改正，得到免棱镜全站仪采用极坐标法获取界址点坐标的精度：

(5)

4.3 不同精度等级免棱镜全站仪在坐标解析法面积计算中的精度分析

结合式(3)和式(5)，可得

(6)

按照测量误差理论[5]“绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%”，则工程实践中常取2倍中误差为测量误差的限差。则式(6)，可整理为

(7)

由上式可知免棱镜全站仪在坐标解析法面积计算中的主要误差来源于全站仪的测角标准偏差mβ，测距标准偏差ms，测站点到界址点间的平均距离s以及房屋的长a和宽b。

我国相关标准中，将全站仪等级分为四级[6]，各等级全站仪测角、测距标准偏差如表1所示。

各精度等级免棱镜全站仪精度指标 表1

备注：测距标准偏差格式为“A+Bppm×s”，A为固定误差，B为比例误差系数，ppm为1×10-6，s为测量距离。

考虑房产测绘的特殊情形，一般控制点与界址点间距离一般在 500 m以内，且极坐标法极距控制在 300 m内比较适宜[7]。则界址点间的平均距离s取最大值为 300 m进行面积测算误差计算，根据免棱镜全站仪不同，则可形成不同精度等级全站仪面积测算误差表，如表2所示。

不同精度等级免棱镜全站仪面积测算误差 表2

《房产测量规范》[8]中，对房屋面积测算限差有具体的要求，如表3所示。

房屋面积测算误差限差 表3

备注：S指房屋的面积/m2，矩形房屋面积S=a(长)×b(宽)

表2中给出了不同精度等级的全站仪测算矩形房屋面积的误差计算公式；表3中给出了各精度等级的房屋面积误差限差计算公式。两者都是关于矩形房屋长和宽的函数，使用MATLAB软件编写程序对不同精度等级免棱镜全站仪面积测算误差与房屋面积测算误差限差较差进行图形分析，若较差≤0，则输出a(长度)、b(宽度)的取值范围，具体的MATLAB程序代码如下(以一级全站仪面积测算误差与一级房屋面积测算误差限差较差代码为例)：

clear；clc；

f=@(a，b)2*(1/2*(a.^2+b.^2).*(0.00000169+90000/(206265^2)+0.000225)).^(1/2)-(0.02*(a.*b).^(1/2)+0.0006*a.*b)；)

t=linspace(0，100，5000)；

[a，b]=meshgrid(t，t)；

contourf(a，b，-f(a，b)，[0 0])

xlabel('a(长度)')；ylabel('b(宽度)')

各精度等级全站仪面积测算误差与各等级房屋面积测算误差限差较差的图形分析结果如图3、图4、图5、图6(每图从左往右分别是全站仪房屋面积测算误差不大于一级、二级、三级房屋面积测算误差限差时，房屋长a和房屋宽b的取值范围(阴影部分)，单位：m)。

备注：图中标注精度为1 mm。

图3一级全站仪面积测算误差不大于各等级房屋面积测算误差限差下房屋长宽取值范围

图4 二级全站仪面积测算误差不大于各等级房屋面积测算误差限差下房屋长宽取值范围

图5 三级全站仪面积测算误差不大于各等级房屋面积测算误差限差房屋长宽取值范围

图6 四级全站仪面积测算误差不大于各等级房屋面积测算误差限差房屋长宽取值范围

鉴于房屋修建、使用的合理性和舒适性，假设矩形房屋的长宽一般都不小于 3 m时，不大于 100 m，则根据以上图形，可作出以下结论：

(1)各精度等级免棱镜全站仪坐标解析法测算矩形房屋面积的精度能够满足三级房屋面积测算精度要求。

(2)使用一级全站仪，若房屋长宽不小于 5.868 m；使用二级全站仪，若房屋长宽不小于 6.158 m；使用三级全站仪，若房屋长或宽不小于 7.286 m；使用四级全站仪，若房屋长宽不小于 9.045 m。则测算房屋面积精度可以达到二级房屋面积测算精度要求。若房屋长宽不满足上述条件，则需通过计算检验是否满足二级测算精度要求。

(3)使用一级全站仪，若房屋长宽不小于 21.121 m；使用二级、三级全站仪，若房屋长宽不小于 22.194 m；使用三级全站仪，若房屋长或宽不小于 26.472 m；使用四级全站仪，若房屋长不小于 50.972 m，宽不小于 34.927 m。则房屋面积测算精度可以达到《房产测量规范》中一级房屋面积测算精度要求。若房屋长宽不是上述讨论范围，则需通过计算检验是否满足一级测算精度要求。

5 结 语

(1)本文对坐标解析法房屋计算公式进行了详细地推导，对基于免棱镜全站仪的坐标解析法房屋面积量算精度进行了分析。表明了量算精度与房屋的相隔界址点连线长度和界址点精度有关，即面积量算精度与界址点连线长度成反比，与界址点精度成正比。

(2)采用MATLAB软件的图形分析功能，验证了不同精度等级免棱镜全站仪使用坐标解析法量算房屋面积，其精度完全满足《房产测量规范》中三级房屋面积测算精度限差要求。在房屋长宽约束条件下，还可以达到一级、二级房屋面积测算精度限差要求。

(3)本文仅是按矩形房屋所作的讨论，得出的结论仅适用于矩形房屋。