林哲明，赵 磊,b，朱道立,b

(上海交通大学 a. 中美物流研究院； b. 安泰经济与管理学院，上海 200030)

0 引言

电能被广泛应用在动力、交通、化学、通信等各个领域，是科学技术进步、国民经济发展的主要动力。制定安全可靠、成本可控的电力生产计划是政府规划制定者面临的主要挑战之一。在诸多电力生产风险中，电力成本的波动是影响电力生产稳定安全的主要风险因素之一。在考虑环境因素和经济波动的前提下，制定低风险、成本可控的电力生产计划尤为重要。此外，由于发电所需的基础设施建设时间成本和经济成本巨大，制定具有鲁棒性的电力生产计划对于人口较多、电力需求高速增长的发展中国家来说更为重要。

国际上对电力生产计划的研究通常定义这一问题为在一定风险水平约束下，求解最小期望发电成本的问题。通常以均值—方差投资组合模型来刻画这一问题，以不同发电技术发电成本之间的协方差矩阵来刻画风险。均值—方差的投资组合模型最早被Markowitz(1959)提出，他用投资组合的回报均值表示收益，投资组合的收益方差表示风险，并将均值—方差模型分为风险最小化问题和收益最大化问题[1]。Sharpe(1994)将均值—方差优化模型转化为夏普比率最小化问题[2]。由均值—方差模型得到的最优投资策略对输入参数的扰动非常敏感，而目前投资组合优化方法在电力计划中的应用研究主要集中于对确定情形的研究，较少考虑参数变动的风险，使用鲁棒优化方法的研究则更少。Huang和Wu(2007)提出了以最小化总发电成本现值为目标的效用函数，并在其中以规避因子为权重引入风险，规避因子的大小可以根据投资者风险偏好的大小进行调节[3]。Delarue等人(2010)提出了考虑最小化成本和风险两个目标函数的二次规划优化模型，并引入每种发电方式的技术约束，以寻求某一特定发电量和成本下的电力技术组合[4]。Zhu和Fan(2010)将投资组合理论应用在中国2020年中期电力生产规划的问题中，考虑在几种确定的情景下电力生产组合的帕累托最优，其中包括考虑碳排放约束的情景[5]。Gao等人(2014)利用投资组合方法对中国的能源系统进行优化，考虑了清洁能源的学习曲线效应，化石能源成本增长的特点以及煤炭燃烧的环境成本等[6]。Doherty等人(2008)提出了求解发电组合中每种发电技术装机容量的最小成本算法，在投资组合方法中引入香农—维纳指数以增强模型的鲁棒性，避免了对未来变化预测的不准确性[7]。Costa等人(2017)在电力生产规划中引入鲁棒投资组合优化的方法，提出了3种鲁棒电力生产组合模型，以达到平准化成本和风险的最小化，并在求解巴西电力组合规划的问题上得到实际的应用[8]。

本文考虑成本风险的不确定性，设计了一种鲁棒电力生产计划模型，并给出了多项式时间求解的鲁棒表达和算法，以国家《电力发展“十三五”规划》和实际电力数据为基础进行了计算实验。实验结果表明，本文提出的方法能有效解决电力生产计划问题，能够给出更具有鲁棒性的风险控制和合理的成本估算。本文的方法和结果对政府规划者制定电力生产计划有重要的参考价值。文章的结构如下：第一节构建了鲁棒电力生产计划问题的数学模型；第二节对鲁棒电力生产计划模型的可求解的鲁棒表达进行推导，并设计了一种多项式时间算法对该鲁棒表达进行求解；第三节通过计算实验说明了本文提出方法的有效性；第四节是总结全文。

1 问题描述与数学模型构建

本文研究的电力生产计划问题是在一定风险水平约束下，以得到最小期望发电成本为目标的最优电力生产组合问题。该问题满足如下假设条件：

(1)现有发电设施均继续投入使用，不移除或停产，模型得到电力生产组合均来自于新建的发电设施；

(2)只考虑煤电和气电的碳排放成本，其他发电技术的碳排放成本忽略不计。

根据以上描述，该问题的数学模型可表示如下：

(1)

(2)

〈1n,ω〉=1

(3)

ω∈[l,u]

(4)

式中：〈·,·〉表示Rn空间中两向量的内积；1n表示各元素均为1的n维向量。

1.1 集合

I={1,…,n}：发电技术种类集合。

1.2 参数

c=(c1,…,cn)T：其中ci,i∈I表示新建发电技术i的期望成本；

θ2：允许的风险水平，θ表示标准差，可根据求解需要自由调节；

u=(u1,…,un)T：其中，ui,i∈I表示新建发电技术i的投产比例上界；

l=(l1,…,ln)T：其中，li≥0,i∈I表示新建发电技术i的投产比例下界。

1.3 变量

ω=(ω1,…,ωn)T：其中，ωi,i∈I表示新建发电技术i的投产比例，属于连续决策变量。

1.4 目标函数

目标函数为最小化电力生产组合的总期望成本〈c,ω〉。

1.5 约束条件

式(2)～(4)为电力生产计划模型的约束条件，分别为风险约束、比例约束和投产界限约束：

(1)风险约束：如式(2)所示，发电技术组合的成本波动风险必须保证在一定水平以下。

(2)投产比例约束：如式(3)所示，各种发电技术在投产组合中的比例之和为1。

(3)投产界限约束：如式(4)所示，各种发电技术的投产比例必须满足相关政策文件给出的限制。

2 电力生产计划模型的可求解鲁棒表达与求解算法设计

2.1 电力生产计划模型的可求解鲁棒表达

(5)

或：

(6)

‖g(ω)‖≤θ2

(7)

因为g(ω)≥0，故当且仅当存在非负向量x使g(ω)≤x成立时，对所有xj≥gj(ω)，使得‖g(ω)‖≤‖x‖。因此，式(7)可转化为下面的(8)-(10)式。

‖x‖-θ2≤0

(8)

(9)

x≥0

(10)

得到可求解的鲁棒模型：

s.t. ‖x‖-θ2≤0

〈1n,ω〉=1,ω∈[l,u]

x≥0

2.2 求解算法设计

可求解的鲁棒电力生产计划问题(P)是一个带二次非线性约束的数学规划问题，可在O(1/ε)的时间复杂度下得到该模型的ε近似最优解。

首先，对模型(P)进行增广Lagrangian松弛，得到原问题等价于如下鞍点问题：

φ1(x,p1)+φ2(x,ω,p2)+φ3(ω,p3)

其中：

(11)

(12)

(13)

根据一阶原始对偶的分解协调算法，可用如下原始对偶过程对(SP)进行求解：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

算法1：鲁棒电力生产计划问题(P)的求解算法

输入：1.1中的发电技术种类集合；1.2中所有参数；最大迭代次数K。

输出：电力生产组合方案，即允许风险水平下求得的ω；电力生产组合方案的期望成本，风险以及碳排放成本。

Step 2：设置k=0。

Step 3：如果‖ωk+1-ωk‖<ε或k=K，进入Step 7，否则进入Step 4。

Step 4：投影计算：

Step 5：

计算原始问题(ω和x的子问题求解)：

计算对偶问题(乘子调整计算)：

Step 6：准备输出值：

k=k+1。

返回Step 3。

Step 7：输出平均值：

算法结束。

3 计算实验

3.1 数据来源与预处理

本实验所研究的发电种类根据《电力发展“十三五”规划》中涉及的我国7种主要发电技术获得，其中包括气电、煤电、水电、核电、风电、太阳能发电和生物质能发电，即n=7。

本文以平准化成本c计算每种发电技术的成本，平准化成本由投资成本cI、运维成本cO、燃料成本cF和碳排放成本cE4部分组成[9]，即：

c=cI+cO+cF+cE

(19)

并考虑3种情景下的发电成本协方差矩阵。数据来源与预处理方法如表1所示。

(20)

(21)

本文考虑煤电和气电的碳排放成本，其他清洁能源的碳排放成本忽略不计。2016年我国煤电机组平均二氧化碳排放强度为890 g/kW·h，燃气机组二氧化碳排放强度为390.4 g/kW·h[10]。按30元/t CO2的全国平均碳交易价格计算得煤电的碳排放成本为0.026 7元/kW·h，气电的碳排放成本为0.011 7元/kW·h，分别计入煤电和气电的平准化成本。

表1 数据来源与预处理

利用同样的方法可计算得到2011—2015年7种发电技术的平准化成本。同时，利用拟合函数扩大样本量，以防止标准差过小影响模型的计算。

如图1所示，通过描点可观察到成本和年份之间大致呈线性关系。假设发电技术i的平准化成本ci和年份y之间的函数关系式如下：

ci=aiy+bi+ei

(22)

式中：系数ai和bi是未知数；ei是误差。定义一个损失函数：

Qi=∑ei2=∑(ci-aiy-bi)2

(23)

利用最小二乘法使Qi达到最小，解得ai和bi的值，即可得到ci和y之间的函数关系式，以此求得2017—2020年发电技术i的成本数据。将2011—2020年7种发电技术的平准化成本输入MATLAB软件，利用std函数即可求得情景1下的标准差σ1。

图1 2011—2016年平准化成本

根据表1中的数据来源与处理方法，得到七种发电技术的平准化成本c和情景1下的标准差σ1如表2所示。

表2 平准化成本c(元/kW·h)和情景1下的标准差

目前尚未在已有研究中找到国内发电技术平准化成本统一的计算方法，但找到了将全球发电平准化成本数据用于电力管理的方法。在本文中建立了发电技术平准化成本的计算方法，并计算出中国的发电平准化成本(见表2)，与2016年全球发电平准化成本的平均水平作比较，两者基本接近，如表3所示。

表3 实验计算结果与全球平均水平对比(元/kW·h)

同时，利用MATLAB软件的corrcoef函数计算得到7种发电技术的成本相关系数矩阵r如表4所示。根据《电力发展“十三五”规划》在2020年的电力工业发展目标和对不同发电技术投产比例的限制，得到约束：l≤ω≤u，其中，l=[0.093 6 0 0 0.066 0.168 1 0.144 7 0]T,u=[1 0.425 5 1 1 1 1 1]T。

将表2中的标准差σ1和相关系数矩阵r代入式(24)可计算得情景1下发电成本的协方差矩阵ψ1，如表5所示。

ψ1=(σ1Tσ1)r (24)

表5 情景1下发电成本的协方差矩阵

以情景1为基准，以10%～15%为轻微变化，以20%～25%为中等变化，以30%～40%为剧烈变化，结合实际定性分析得到其他两种情景下的标准差变化情况，从本文角度反映了中国电力发展的一些可能趋势：

(1)情景2的标准差σ2变化情况：“十二五”期间，我国页岩气勘探开发取得重大突破，为“十三五”产业化大发展奠定了坚实基础，我国将进一步扩大天然气的自产比例和发电比例，天然气的价格也将更少受到国际燃气价格波动的影响[11]。因此考虑气电的成本标准差将出现剧烈的变化，下降30%；2017年，因为很多省市小水电站开发强度过大和无序开发问题突出，中央环保督查组为减少河道减水或断流的生态影响，关停了多地小水电[12]。水电虽然符合清洁能源的需求，但其隐藏的生态治理成本在逐渐提高，因此考虑水电的成本标准差将出现中等程度的变化，上升20%，其他不变。

(2)情景3的标准差σ3变化情况：2017年下半年以来，随着电力、化工、建材等高耗煤行业的复苏推高煤炭需求，整体煤炭市场供需处于“紧平衡”的状态，由此导致煤炭价格有所回升，并维持高位震荡。煤炭价格作为影响煤电成本的重要因素，必将引起煤电成本的不稳定性。因此考虑煤电的成本标准差将出现中等程度的变化，上升25%；中国政府提出，2020年全社会用电量中的非水电可再生能源电量比重指标要达到9%，2016年风力发电量只占全部发电量的4.5%，距离目标还有较大的发展空间，同时基于电力产能过剩和限电难题，预计未来三年，中国风电市场将保持理性的规模增长，兼顾增量规模与存量效益。同时，我国在风力发电技术方面已拥有了100%自主的知识产权和独立研发的机组，风力发电的技术成本将趋于稳定[13]。因此考虑风电的成本标准差将出现轻微的变化，下降10%；生物质能发电的原材料分散在广大农村，收集储运费用未统一，人力成本上涨，会导致成本波动且居高不下。“十三五”规划及《国家创新驱动发展战略纲要》中，国家要发展生态绿色高效安全的现代农业技术，推动农业机械化，规模化发展，提高农业效率，有利于生物质能发电行业规模收购原材料，降低运输成本，同时也有助于缓解生物质资源的季节性、分散性与生物质能利用的连续性、集中性的矛盾[14]。因此考虑生物质能发电的成本标准差将出现轻微的变化，下降15%，其他不变。

同理，可计算得情景2和情景3下发电成本的协方差矩阵。

3.2 实验分析

以上一小节中的数据为基础，本文首先对鲁棒优化模型与确定模型的性能进行比较分析，接着对鲁棒电力生产计划中是否考虑碳排放成本两种情况进行比较分析，比较内容包括不同风险水平下的总期望成本、风险和电力生产组合方案，其中风险是指生产组合方案ω使总成本偏离期望值的可能性，此处的风险通过在假设3种情景发生概率相同的情况下将3种情景下的方差计算均值求得。最后对不同的电力生产组合方案展开比较分析。

3.2.1 鲁棒优化模型与确定模型的性能比较分析

将只考虑一种情景(情景1)的均值—方差组合模型作为确定模型，代入相同的数据与鲁棒优化模型进行对比：

图4 两种模型在不同允许风险水平下的电力生产组合方案对比

图2 两种模型的期望成本—允许风险对比图

图3 两种模型的风险对比图

如图2，3所示，当允许风险水平(标准差)在0.2～1.2的范围内，相比于确定模型的最优解，鲁棒优化模型的解虽然会使电力生产组合方案的期望成本平均提高2.36%，但能使成本风险平均减少27.05%，后者是前者的11.5倍。说明鲁棒优化模型能有效对抗电力生产组合的成本风险。

选择电力生产组合时应考虑风险和成本的平衡。中国电力体制改革强调安全可靠的基本原则，因而电力生产决策者采取风险规避的态度。因为鲁棒优化模型对风险的降低作用远超成本的增加，所以鲁棒优化对决策者是更优的选择。

对两种模型在不同允许风险水平下的电力生产组合方案进行对比，得图4。

如图4所示，当允许风险水平(标准差)在 0.2～1.2 的范围内，相比于确定模型的电力生产组合方案，鲁棒优化模型的电力生产组合方案中成本较低但风险较高的煤电比例平均减小23.66%，而成本较高但风险相对较低的水电比例平均提高35%。在两种模型中，其他发电技术的比例均保持不变且相同。

3.2.2 对鲁棒电力生产计划中是否考虑碳排放成本两种情况比较分析

如图5，6所示，当允许风险水平(标准差)在0.4～1.2的范围内，考虑碳排放成本会使电力生产组合的期望成本平均提高0.18%，但成本风险则平均降低4.53%，后者是前者的25.2倍。碳排放强度平均降低5.1 g CO2/kW·h。说明在决策中考虑碳排放成本虽然会略微增加期望成本，但能有效降低电力生产组合的成本风险和碳排放强度，对规避风险的中国电力生产决策者来说是更优的选择。

图5 两种情况的期望成本—允许风险对比图

图6 两种情况的风险对比图

对两种情况在不同允许风险水平下的电力生产组合方案进行对比发现：当允许风险水平(标准差)在0.2～1.2的范围内，在鲁棒电力生产计划中，相比于不考虑碳排放成本的生产组合方案，考虑碳排放成本会使CO2排放成本较高的煤电比例平均减小2.22%，无CO2排放成本的水电比例则平均提高2.27%。两种情况下其他发电技术的比例依旧保持不变且相同。水电的成本比含有碳排放成本的煤电成本高，所以图5中考虑碳排放成本后得到的期望成本不降反升。

3.2.3 不同电力生产组合方案的比较分析

本文选取“十三五”规划给出的参考解、确定模型最优解和鲁棒优化解3种电力生产组合方案，在考虑碳排放成本并控制期望成本相同的情况下对比每种方案的风险和碳排放成本，得表6。

表6 不同电力生产组合的各项指标对比

如表6所示，确定模型最优解和鲁棒优化解比“十三五”规划的参考方案具有更低的风险和碳排放成本，且鲁棒优化解在确定模型最优解的基础上，通过降低煤电比例1.01%和提高水电比例1.01%，使风险和碳排放成本比确定模型最优解分别降低0.280 1和0.0 00 9元/kW·h。

4 结论

本文考虑成本风险的不确定性，设计了一种鲁棒电力生产计划模型，并给出了多项式时间求解的鲁棒表达和算法，以《电力发展“十三五”规划》和实际电力数据为基础进行计算实验。通过实验分析，得到如下结论：

(1)针对电力生产计划问题，本文提出的鲁棒模型相对于传统模型能得到更具有鲁棒性的电力生产方案，在一定程度上增加电力生产组合的期望成本，但能有效降低该组合的成本风险。

(2)在考虑碳排放成本的情况下，适当增大水电的投产比例，减小煤电的投产比例能在发电成本风险上有效提高中国电力结构的稳定性和安全性，并减小碳排放成本。