山西省大同市矿区同煤一中 闫涵超

一、化归思想方法原理分析

1.化归思想的内涵

所谓化归就是指在解决数学问题过程中的转化与归结思想，其目的是将原本未知的问题转化为已知的问题，从而实现由难到易，尽可能将复杂的问题转化为简单的问题进行求解，最终达到降低解题难度，提高解题效率的目的。因此从本质上来说，化归思想就是将原本复杂的问题转变为我们熟悉解决思路的简单问题上，在这一过程中，需要我们重视起复杂问题到简单问题转化之间的联系，只有在把握联系的基础上，才能够实现合理正确的转化。因此，归纳起来，在高中数学函数的学习过程中，对于化归思想的应用，其核心就是“求变”，通过将原问题进行不断的变化与转化，寻找将问题尽可能转化的途径，从而降低解题的难度，提高解题的效率。

2.化归的模式

在高中数学函数的学习过程中，应用化归思想来解决问题有着基本的模式，总结起来如下：先寻找原问题与已知问题的联系，然后再将原先的复杂问题转化为已经有成熟解决方法的问题，从而通过对这一已知问题的求解来得到原问题的答案。

3.化归思想应用的基本原则

（1）等价性原则

在进行化归思想应用的过程中，必须要保证代数性质能够与几何性质实现等价，这是避免解题失误的重要基础。但需要注意的是，由于图形往往具备一定的局限性，往往很难对代数的性质进行完全的表现，因此在数形结合的过程中，图形的性质只是一种较为浅显的说明作用。

（2）双向性原则

在进行化归思想应用的过程中，一方面需要对抽象的代数关系进行探讨，另一方面也需要对直观的几何图形关系进行分析。在这一类的数学解题中，必须要立足于代数与图形的结合才能够保证解题效率，要注意两者之间是相辅相成的关系。

（3）简单性原则

在高中数学的解题中，运用数形结合的方法往往会有多种解题方法，需要我们在实际情况中根据具体的题目来选择合适的方法，要保证解题方法简单。应用化归思想的根本目的就是为了让求解更加简单，因此化归思想应用的方向就是使得问题变得简单。

二、化归思想在高中数学函数学习中的作用

数学思维的形成从本质上来看，就是我们在学习数学并应用数学的过程中，对于数学的相关规律、概念有了自己的理解与认知。而化归思想作为高中数学函数学习中的一种重要思想，同样是我们对于高中数学知识的理解与归纳。在实际情况中，思维活动是影响人认知活动的重要因素，思维活动的状态与内容体现了一个人对于事物本质规律的理解。在此认知基础上，我们就很容易认识到数学思维中的化归思想对于高中数学解题的重要意义。首先，化归思想能够有效提高学生在数学学习与应用过程中的观察能力，而无论是对于数学相关规律与概念的观察，还是对于高中数学习题解题方法的观察，都是十分重要的内容，是我们自身真正掌握数学知识的重要基础。只有建立对于问题的仔细观察，才有可能利用化归思想寻找问题之间的联系，最终实现复杂问题向简单问题的转化。其次，化归思想能够帮助我们实现对于观察的总结，对于数学规律的观察只是我们学习的第一步，更需要我们在这一过程中能够将观察到的知识与得到的想法总结起来，这要求我们具备化归思想，能够对观察到的结果进行归纳总结。只有这样，才能够使得我们在求解问题的过程中更加有效率、有质量，化归思想的应用基础就在于我们对于数学知识的理解程度，积累越多，那么应用也就越熟练。最后，化归思想还能够提高我们对于数学规律与方法的应用水平，在完成对于规律与方法的总结后，就需要我们能够真正利用这些知识。高中数学解题的过程就是我们应用相关知识的过程，因此需要我们利用化归思想来加深对于数学规律的理解，从而更好地实现应用。

三、高中数学函数学习中化归思想的运用

1.将未知问题转化为已知问题

化归思想在高中函数中的应用可以实现题型内在联系的适当转化，对复杂的问题进行简化，解题难度也会随之降低。在函数解题过程中，可以利用图像对题目信息进行表示，将抽象的概念转化为具体的图形，在数形结合的基础上充分发挥化归思想的效果。将函数题目中的数字与文字转化图像显示，可以更加清楚地了解参数、变量之间的关系，提高解题的效率。在运用函数知识解题的过程中，我们很清楚题目考查的知识点，但是由于条件不足，实际解题可能并不会那么顺利。通过化归思想的应用，我们可以在对题干内容进行准确分析的基础上，变换提问的形式或者是解题方向，将未知问题转化为已知问题，并依照相应的解题思路对问题进行逐步解答，在确保解题步骤条理化的同时，自己的解题能力也会逐渐提高。例如在进行三角函数相关问题的解答时，可以先将其转化为二次函数或者是其他的简单函数问题，在此基础上更容易明确变量之间的关系，通过变量构图的方式可以更加清晰地了解函数的特征，降低解题难度。

2.合理运用反向思维

在函数学习的过程中会面临这样一个问题，通过自己的方法，我们可以直接得到问题的答案，但是无法写出具体的计算步骤，而一些解答型的函数题目解题思路占得分的比重很大，步骤的缺失在影响得分的同时，也不利于自己掌握解题方法，理解同类型不同形式的函数问题。在实际解题过程中可以利用化归思想解决解题思路不明的情况，我们可以将题干的答案作为题目的已知条件，利用反向思维对正面的问题进行反向思考，从而实现反向运算，明确解题步骤。例如在解答f（x）=ax+1这类问题的时候，需要先确定区间并在此基础上求出a的具体取值范围。在遇到该类问题时，一般会先根据题目中变量的设定对区间问题进行分析，反向思维就是对解题思路进行逆转，结合到具体的问题中就是将区间视作题目的已知条件，根据区间对变量进行设定。逆向思维解题过程易于被理解，与高中生现阶段的逻辑思维也更为符合，可以避免解题过程中出现逻辑误区，在一些较为复杂的数学问题的解决中，我们容易被逻辑误区引导导致差错的出现，逆向思维的应用可以有效避免类似情况的出现。

3.函数图像化的应用

在学习高中函数知识时，老师会引导我们用图像解决问题，在实际的解题过程中，也需要将题目具体的内容进行函数关系的表达，为了提高草图绘制的效率和质量，可以先用表达式对函数的属性进行分析。通过函数图像的合理运用，可以更加清楚地了解变量之间的关系，从而使复杂的数量关系具体化，将抽象的题目转化为具体的形象。化归思想的应用具体表现为图像与函数方程的结合，在此基础之上可以更加准确地理解题目的内涵，确保条件分析和数量关系构建的正确性。高中函数学习除了数字关系、数量表达式之外，还需要学习与具体函数知识相关的函数图象，例如正切函数、余弦函数以及正弦函数等三角函数。当需要应用这些知识解决具体的函数问题时，就可以充分利用化归思想实现数形之间的转换。

首先是数与形的转化。具体应用如下：

例1 在函数=中，假如有|f（x）|≥ax，则a的取值范围为（）

A.（- ∞，0] B.（- ∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解析：拿到这个问题，首先需要对题设条件进行分析，如果单纯利用数字计算来解决该问题，难度较大且需要大量的时间。这是一道选择题，在考试中为了节约时间，就需要应用化归思想的数形转换方法。首先要画出函数f（x）的图像，根据题设条件可以得知该函数的图像由两部分组成，因而可以对f（x）图像的x轴以下的部分进行轴对称作图，从而得到该函数完整的图像，由此可以得知|f（x）|≥ax是恒成立的。结合图像分析后可以知道a的取值为非正数，然后再根据a的取值对函数进行分区间分析。当x＜0时，函数|f（x）|的图像也必然是在直线y=ax的图像之上的，而两个函数的图像之间存在相切的关系，这时可以得到a=-2，最后结合图像和分析计算结果得出，a的取值范围是[-2，0]。因而该题的答案为D。

其次是题根的转化。题根转化在高中函数，尤其是复合函数的解题中十分常用，通过题根的转化，可以对题目进行简化，从而实现问题的解决。具体应用如下：

例2 实数k满足方程x4-2kx2+k2+2k-3=0具有实数根的条件，试求k的取值范围。

解析：先对该方程进行观察可以发现，这是比较常见的二次函数问题，因而该方程的根也一定是二次函数。在对题目分析的基础上，解答之前要先对题设条件进行转化，将该方程视作x的四次方程，是k的二次方程，然后将原方程x4-2kx2+k2+2k-3=0转化为k2+2（1-x2）k+x4-3=0（k∈R）。要保证此方程有根，就必须要让Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）≥0，由此便可以得到-2≤x≤2，所以k的取值范围是[-2，2]。

高中阶段的数学学习是我们高中生学习中的重要内容，而对于数学函数的学习，往往是很多同学的薄弱环节，特别是对于各种数学函数题目的求解，很多同学往往摸不着头脑。而利用化归思想就能够有效提高我们对于复杂函数问题的求解效率与质量，通过利用化归思想，能够将原本未知的问题转化为已知的问题，从而实现由难到易，尽可能将复杂的问题转化为简单的问题进行求解，最终达到降低解题难度，提高解题效率的目的。而在这一过程中，需要我们注意化归思想应用的基本原则，遵循基本的等价性原则、双向性原则与简单性原则，同时在平时的学习过程中注意对于数学函数原理的积累，从而提高化归思想的应用水平。

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