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高中数学解题中应用数形结合思想之探索

2018-11-29李沁芮

数理化解题研究 2018年31期
关键词:B型A型卡车

李沁芮

(重庆市南开中学 400030)

一、认识数形结合思想

对于高中数学来说,“数”和“形”是其中非常关键的构成部分,数量关系主要是以图象进行直观体现,而集合图形内也涉及到数量关系.所以,将“数”“形”进行融合来解答数学问题,这是非常高效的一种解题思想.通过对数形结合思想的实际运用,了解到其中包括两点内容:(1)以形助数;(2)以数解形.正确运用这两种方法,可以快速、正确地完成解题.

二、数形转化的有效方法

针对数形转化模式进行分析,其中包括三种转化模式:(1)形转数;(2)数转形;(3)数形互转.其一,形转数.这种模式一般是按照题目中的已知图形,经过详细审题之后便可以创造图象中隐藏的数量相关性,将几何图形所有属性以数这种形式进行体现.其二,数转形这种转化模式,一般是按照问题中的已知假设,画出相应的图形,图形可以表示既有数量关系,从而更加直接地了解数、形本质.其三,数形互转.这种模式主要是通过数、形之间的相互对立统一,详细观察图形之后,展开数、公式结构的分析,并展开联想,从而实现转化,将数学习题原本抽象、空洞的内容便成更为形象且直观的知识,帮助快速解题.

三、高中数学解题中应用数形结合思想

1.求解方程式习题

高中数学当中涉及到一元二次方程,面对这一类习题的求解,有时我们会遇到一元二次方程根分布的相关问题,这时可以使用二次函数图象进行求解.

例1 设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)>a恒成立,求a的取值范围.

解析:运用数形结合思想,可知这道题有两种解法.

第一种解法:由f(x)>a,在[-1,+∞)上恒成立⟺x2-2ax+2-a>0在[-1,+∞)上恒成立.函数g(x)=x2-2ax+2-a的图象在区间[-1,+∞)上位于x轴上方,如下图可知两种情况:

综上所述a∈(-3,1).

第二种解法:由f(x)>a⟺x2+2>a(2x+1),令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图满足条件的直线l位于l1与l2之间,而直线l1、l2对应的a值分别为1,-3,所以直线l对应的a∈(-3,1).

2.求解函数解习题

函数有各自的表达式以及图象,解题时可以通过绘制图形的方式高效完成,展开数学计算也可以求解一些难度较高的问题.

例2 一家运输公司的运输设备分别包括7辆载重量6t的A型卡车、4辆载重量10t的B型卡车,驾驶人员为9名.某次该公司承包了每天搬运360t沥青的工作.已知每辆卡车每日往返次数如下:A型卡车8次,B型卡车6次.每辆卡车每日往返成本费如下:A型车160元,B型车252元.那么每日派出A型车、B型车多少辆,可以将公司成本控制到最低?

画出可行域图,保证z=160x+252y取最小值.

在可行域内针对某确定整数y,x取最小整数,也可以先定x,再定y的值,如此可行域内可能成为最优解的可行解如下:(7,1)(5,2)(4,3)(3,4),将其代入到目标函数中,点(5,2)可以使公式z=160x+252y取最小值,计算可得最小值是1304元.因此,每日派A型车7辆,B型车1辆,这时可以将公司成本控制到最低.

3.求解集合类习题

一般我们面对集合类问题使用韦恩图的几率比较大,所谓韦恩图,即使用圆代表集合,若两圆相交,则证明集合内有公共元素,若两圆相离,则证明集合不包括公共元素.如此可见,韦恩图是求解集合类习题的有效方法.

例3 假设a、b为两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144},是否存在a和b使A∩B≠Ø和(a,b)∈C同时成立.

解析集合A、B均为不连续点集,已知条件中给出“存在a、b,使得A∩B≠Ø”这一条件,即代表“存在a、b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解,解为(A∩B时x=n=m).根据主参数a、b,便可明确问题在几何角度的意义,即动点(a,b)在直线l:nx+y=3n2+15上,且直线与圆x2+y2=144有公共点,但原点到直线l的距离不小于12.应用数形结合思想,这道题同样有两种解法:

第一种解法:由A∩B≠φ得na+b=3n2+15

第二种解法:这一道题也可以使用代数方法求解.

由A∩B≠Ø可得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an. ①

由(a,b)∈C可得,a2+b2≤144. ②

将①代入②中可得关于a的不等式:(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0. ③

判别式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n2)[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.

∵n是整数,

∴n2-3≠0,Δ<0.

又∵1+n2>0,故③不存在实数解.

∴不存在a、b,使得A∩B≠Ø与(a,b)∈C同时成立.

综上所述,数形结合思想在高中数学解题中运用,可以提高解题效率,降低问题难度,这对于增强高中生数学学习水平、综合素质发展有重要作用.

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