张帆, 杨月英, 钱伟茂

(1. 湖州职业技术学院 建筑工程学院, 浙江 湖州 313000； 2. 湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院, 浙江 湖州 313000；3. 湖州广播电视大学 远程教育学院， 浙江 湖州 313000)

0 引 言

2013年,YANG[1]介绍了4个Sándor-Yang平均：

(1)

其中，

(2)

(3)

分别为2个正数a和b的几何平均、算术平均、二次平均, Neuman-Sándor平均[2-3]和第二类Seiffert平均[4], 第一类Yang平均和第二类Yang平均[5-7].

设p∈R，a,b>0, 则调和平均H(a,b),反调和平均C(a,b)和p阶幂平均Mp(a,b)[8]分别定义为

(4)

并且p阶幂平均Mp(a,b)对于固定的a,b>0和a≠b关于p∈R是连续和严格单调上升的.

不等式

H(a,b)=M-1(a,b)

L(a,b)

NS(a,b)

C(a,b)

和

L(a,b)

NS(a,b)

对所有a,b>0且a≠b均成立,其中，P(a,b)=(a-b)/[2sin-1((a-b)/(a+b))]和L(a,b)=(b-a)/(lnb-lna)分别为2个正数a和b的第一类Seiffert平均和对数平均.

最近, Sándor-Yang平均关于其他二元平均或其组合的比较研究取得了一定进展. 国内外学者证明了在特殊情形下一些涉及Sándor-Yang平均的重要不等式[1, 9-14].

Mα(a,b)

Mλ(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立的最佳参数.

徐会作[13]证明了双向不等式

α1Q(a,b)+(1-α1)A(a,b)

β1Q(a,b)+(1-β1)A(a,b)，

α2Q(a,b)+(1-α2)A(a,b)

β2Q(a,b)+(1-β2)A(a,b),

α3C(a,b)+(1-α3)A(a,b)

β3C(a,b)+(1-β3)A(a,b),

α4C(a,b)+(1-α4)A(a,b)

β4C(a,b)+(1-β4)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当α1≤1/3,

本文发现并证明了最佳参数α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1),双向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

β1A(a,b)+(1-β1)H(a,b),

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

β2A(a,b)+(1-β2)G(a,b),

α3Q(a,b)+(1-α3)A(a,b)

β3Q(a,b)+(1-β3)A(a,b),

α4C(a,b)+(1-α4)A(a,b)

β4C(a,b)+(1-β4)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b均成立,并且推得一个新的不等式链：

G(a,b)

1 引 理

为证明本文的主要结论, 需以下引理：

引理1设p∈(0,1),

(1) 若p=5/6, 则对所有x∈(1,+∞)有f(x)<0;

证明经简单计算得

(5)

(6)

其中，

f1(x)=p(4-p)x6+2(3p2-2p-2)x4-

(7p2-10p+3)x2+2(1-p)2.

(7)

下面分2种情形讨论：

(1) 当p=5/6时, 式(7)变为

(8)

对所有x∈(1,+∞)成立.

所以, 由式(5)、(6)和(8)易得对所有x∈(1,+∞)有f(x)<0.

6p-5=-1.878 4…<0,

(9)

2p2+14p-11=-3.175 0…<0,

(10)

3p2+8p-4=0.974 0…>0,

(11)

式(7)和式(9)～(11)经简单计算可得

(12)

(13)

其中，对所有x∈(0,+∞),

f2(x)= 3p(4-p)x4+4(3p2-2p-2)x2-

(7p2-10p+3),

f2(1)=2p2+14p-11<0,

(14)

4(3p2+8p-4)x>0.

(15)

由式(14)和(15)可得，存在λ0∈(1,+∞)，使得当x∈(1,λ0)时f2(x)<0，当x∈(λ0,+∞)时f2(x)>0.

由式(12)和(13)及当x∈(1,λ0)时f2(x)<0可知，f1(x)<0.由式(13)和当x∈(λ0,+∞)时f2(x)>0得到函数f1(x)在区间(λ0,+∞)上严格单调上升；则由式(12)和f1(λ0)<0及函数f1(x)在区间(λ0,+∞)上的单调性,可得存在λ1>λ0，使得当x∈(λ0,λ1)时f1(x)<0，当x∈(λ1,+∞)时f1(x)>0.

下面分2种情形讨论：

情形1x∈(1,λ1].易由式(5)和(6)及在区间(1,λ1)上f1(x)<0得到f(x)>0.

情形2x∈(λ1,+∞).由式(6)和f1(x)>0，得到函数f(x)在区间(λ1,+∞)上严格单调下降. 由式(5)和f(λ1)>0及函数f(x)在区间(λ1,+∞)上的单调性，可得存在λ>λ1>λ0∈(1,+∞)，使得当x∈(λ1,λ)时f(x)>0，当x∈(λ,+∞)时f(x)<0.

引理2设p∈(0,1)，

(1) 若p=2/3, 则对所有x∈(1,+∞)有g(x)<0;

证明经简单计算可得

(16)

(17)

其中，

g1(x)=-(p2+4p-2)x3+2p2x+p(1-p).

(18)

下面分2种情形讨论：

(1) 当p=2/3时, 式(18)变为

(19)

且对所有x∈(1,+∞)成立.

所以, 由式(16)、(17)和(19)易得,对所有x∈(1,+∞)有g(x)<0.

g1(1)=2-3p=0.439 2…>0,

(20)

-p2-12p+6=-0.513 7…<0

(21)

对所有x∈(1,+∞)…成立.

由式(20)和(21)可知，存在μ0∈(1,+∞)，使得当x∈(1,μ0)时有g1(x)>0，当x∈(μ0,+∞)时有g1(x)<0.

下面分2种情形证明：

情形1x∈(1,μ0]. 根据式(16)和(17)及在区间(1,μ0)上g1(x)>0，可知g(x)>0.

情形2x∈(μ0,+∞).由式(17)和在区间(μ0,+∞)上g1(x)<0得到函数g(x)在区间[μ0,+∞)上严格单调下降.注意到式(16)变成

(22)

由不等式(22)和g(μ0)>0及函数g(x)在区间[μ0,+∞)上的单调性, 可得存在μ∈(μ0,+∞)⊂(1,+∞)，使得当x∈(μ0,μ)时有g(x)>0，当x∈(μ,+∞)时有g(x)<0.

证毕.

引理3设p∈(0,1)，

证明经简单计算可得

(23)

(24)

其中，

h1(x)= -p(1-p)x3-2(1-p)2x2+

p2-6p+3.

(25)

下面分2种情形讨论：

(1) 当p=1/3时, 式(25)变为

(26)

h1(1)=1-3p=0.706 5…>0,

(27)

(28)

对所有x∈(0,+∞)成立.

下面分2种情形证明：

情形1x∈(1,σ0]. 由式(23)和(24)及在区间(1,σ0)上h1(x)>0，可知h(x)>0.

引理4设p∈(0,1)，

k(x)<0;

证明经简单计算可得

(29)

(30)

其中，

k1(x)=2p2x6+p(4-7p)x4+

2(3p2-4p-1)x2-(p2+2p-3).

(31)

下面分2种情形讨论：

(1) 当p=1/6时, 式(31)变为

(32)

4-7p=3.716 3…>0,

(33)

p2+4p-1=-0.836 2…<0,

(34)

k1(1)=1-6p=0.756 8…>0,

(35)

4(3p2-4p-1)x,

(36)

由不等式(33)、(34)和等式(36)可知

(37)

下面分2种情形证明：

情形1x∈(1,τ0]. 由式(29)和(30)及在区间(1,τ0)上k1(x)>0，可知k(x)>0.

2 主要结果

定理1双向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

β1A(a,b)+(1-β1)H(a,b)

H(a,b)=G(a,b)/x,

(38)

(39)

由式(38)和(39)有

(40)

(41)

(42)

log[RGQ(a,b)]-log[pA(a,b)+(1-p)H(a,b)]=

(43)

设

(44)

经简单计算可得

F(1+)=0,

(45)

(46)

(47)

其中f(x)的定义见引理 1.

下面分2种情形证明：

情形1p=5/6. 由式(43)～(45)、(47)及引理1(1)得

(48)

(49)

由式(43)～(45)、(49)及函数F(x)的分段单调性可知

(50)

所以, 定理1可由等式(48)和(50)结合下面的陈述得到.

RGQ(a,b)>pA(a,b)+(1-p)H(a,b).

RGQ(a,b)

定理2双向不等式

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

β2A(a,b)+(1-β2)G(a,b)

(51)

(52)

(53)

ln[RGQ(a,b)]-ln[pA(a,b)+(1-p)G(a,b)]=

ln(px+1-p)-1.

(54)

设

ln(px+1-p)-1,

(55)

经简单计算得

G(1+)=0,

(56)

(57)

(58)

其中g(x)的定义见引理2.

下面,分2种情形证明：

情形1p=2/3. 由式(54)～(56)、(58)及引理2(1)得

(59)

(60)

由式(54)～(56)、(60)及函数G(x)的分段单调性知

(61)

所以,由等式(51)～(53)和不等式(59)、(61)易得定理2.

定理3双向不等式

α3Q(a,b)+(1-α3)A(a,b)

β3Q(a,b)+(1-β3)A(a,b)

Q(a,b)=A(a,b)x,

(62)

RQG(a,b)=

(63)

由式(62)和(63),得到

(64)

(65)

(66)

ln[RQG(a,b)]-ln[pQ(a,b)+(1-p)A(a,b)]=

ln(px+1-p)-1.

(67)

设

ln(px+1-p)-1.

(68)

经简单计算得

H(1+)=0,

(69)

(70)

(71)

其中h(x)的定义见引理3.

下面,分2种情形证明：

情形1p=1/3.由式(67)～(69)、(71)及引理3(1)得

(72)

(73)

由式(67)～(69)、(73)及函数H(x)的分段单调性知

(74)

所以, 定理3可由式(72)和(74)结合下面陈述得到.

RQG(a,b)>pQ(a,b)+(1-p)A(a,b).

RQG(a,b)

定理4双向不等式

α4C(a,b)+(1-α4)A(a,b)

β4C(a,b)+(1-β4)A(a,b)

则由式(62)，(63)和C(a,b)=A(a,b)x2可得

(75)

(76)

(77)

ln[RQG(a,b)]-ln[pC(a,b)+(1-p)A(a,b)]=

ln(px2+1-p)-1.

(78)

设

ln(px2+1-p)-1.

(79)

经简单计算得

K(1+)=0,

(80)

(81)

(82)

其中k(x)的定义见引理4.

下面,分2种情形证明：

情形1p=1/6.由式(78)～(80)、(82)及引理4(1)得

(83)

(84)

由式(78)～(80)、(84)及函数K(x)的分段单调性知

(85)

所以, 由等式(75)、(77)和不等式(83)、(85)易得定理4.

注记由定理2和定理3, 不难得到对所有a,b>0且a≠b，不等式链G(a,b)