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等比数列与分形

2018-11-22沙国祥

新高考·高一数学 2018年5期
关键词:斯基正三角形分形

沙国祥

上期我在《对称与对称破缺》一文的最后说到,数学作为一种文化,其基本问题或思想往往在很久前就有了萌芽,但当时未必明了或引申其深远意义.一旦发掘出新的意义和价值,这些问题或思想便会大放异彩.

这样的例子,历史上并不鲜见哩!

我们先来瞧一瞧几个与等比数列有关的“怪图”,它们在数学史上曾被晾在一边,现在却因为是分形而名声大噪.至于何为分形,它们如何与等比数列牵起手来,现在暂且不表,读完本文你自然知晓.

一是如今大名鼎鼎、风光无限的康托尔集(不久前在网上看到一篇文章,方知它声名远播至数学圈之外,有人用康托尔集研究股市呢).100多年前,康托尔集初生之时,还不为当时的“主流数学”所瞩目,一如康托尔初创的集合论,尚未在数学中立稳脚跟,更不谈闪亮登场啦!那康托尔集究竟是啥模样?

康托尔集也称“康托尔三分集”,是由不断挖去直线段中间的三分之一而创造出来的(如图1所示).

可怜的康托尔集,被挖得七零八落、所剩无几!但是,它居然还深深蕴含着一个等比数列的求和公式呢!其实,康托尔集是个“宝山”,其中还藏着许多宝贝,以后再慢慢挖掘吧!举一个例子:如果每次挖去的线段都是“无头”的(可视为数轴上的开区间),那么,康托尔三分集中还剩下无穷多个点,可是这些点不成气候,它们组成的康托尔集的长度(在数学上我们严格地称之为“测度”)为0.

我们再看看有趣的“谢尔宾斯基碎片”——它在历史上也曾被抛进被人遺忘的角落,如图2,它是由一个正三角形开始,每次不断被挖去每个黑色三角形中间的一个小的正三角形而得,直至被挖得千疮百孔,最后所得的图形——“谢尔宾斯基碎片”,也是奇怪无比:面积为0,周长却为无穷大!(面积每次减少四分之一,周长每次扩大为原来的1.5倍,你只需看图2中第1幅到第2幅图就明白啦!)

这就是上期我在《对称与对称破缺》文末介绍的欧几里得证法啊!

它穿越2 000多年,现身于康托尔三分集、谢尔宾斯基碎片这样的“分形”中.

何为“分形”?康托尔三分集、谢尔宾斯基碎片中的每个局部,都分别与整个图形相似,这样的图形被称为“分形”.分形的这种无穷白相似特性(比的不变性),与等比数列有着天然的密切联系,也因此具有所谓“标度对称性”——在放大或缩小时某些量或性质保持不变.

分形的研究约始于50年前,法国数学家曼德尔勃罗特在一篇奇文<英国的海岸线有多长》中首次阐述了分形,现在分形几何成为数学的热门学科,并广泛渗透到很多学科领域中去.于是,原先鲜为人知的“怪图”,如康托尔集、谢尔宾斯基碎片,还有本期封底介绍的“雪花曲线”等,便见怪不怪,反而成为典型的分形几何研究对象,从受人冷落之客,一跃而升为数学、科学殿堂的座上宾!

你说,这事儿怪不怪?

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