赖梦恬，蹇开林

(重庆大学 航空航天学院， 重庆 400044)

在航空航天领域中，为解决飞行器外挂物在与母体分离后的初始阶段不至于撞击到母体的安全问题，需要确定外挂物分离初始阶段的运动轨迹，从而为其在母机上的合适布局和投放参数控制提供可靠依据。

采用捕获轨迹试验(captive trajectory system，CTS)可以预测外挂物离开母体的初始阶段的运动轨迹。捕获轨迹试验又称可控轨迹试验，它是一种先进的测量外挂物分离后轨迹的试验方法。它利用电子计算机、六自由度机构和风洞的相互配合，通过对每一分离时刻外挂物气动载荷的测量、外挂物空间六自由度运动方程的求解以及对六自由度机构支撑的外挂物模型在母机流场中运动的控制，来实现对外挂物投放轨迹的模拟[1]，现代飞行器及其外挂物的研制和改型都要求进行CTS试验[2]。捕获轨迹试验的外挂物模型只需外形几何相似，容易设计制作，且模型可反复使用，无需像投放试验要求模型动力相似，因而该方法已被广泛用于测量外挂物投放/发射轨迹的测量[3]。

六自由度机构的运动精度对试验成功与否有着重要影响。本次试验所用的六自由机构是一个串联机构，其尾支杆末端能实现沿着X、Y、Z方向的平移和俯仰、偏航、滚转[4]。六自由度机构的运动学方程对应的是理想设计状态的模型。而对于实际加工的六自由度机构，由于机械加工中的加工误差和装配误差导致机构的几何参数和理论设计存在着误差，从而导致利用运动学逆解通过控制器在给定驱动下，控制机构运动所得到的外挂物的实际位姿与要求的目标位姿存在误差。因此，必须考虑实际制作完成的六自由度机构由于加工而引起的几何参数误差，将几何误差引入到六自由度机构运动学方程中，建立机构运动学误差模型，实际应用时通过计算机软件程序进行补偿[5]。补偿过程首先需要对机构进行标定，因此需要测量出机构运行时外挂物模型的实际位姿，并与理想的外挂物模型位姿比较才能获得机构的误差，从而实现六自由度机构的标定。

本文采用法如(FARO)公司的激光跟踪仪，通过测量2个角度和1个距离来确定目标靶球在固定坐标系下的坐标。2个角度是由安装在定点角轴和方位角轴上的编码器来测量的，1个距离是由距离测量仪来测量。依次测到固联在外挂物模型上的3个靶球的坐标之后，通过本文给出的算法可以求解出外挂物的实际位姿，从而确定机构的定位精度，并对机构运动学进行修正，为试验顺利进行提供保障。

1 外挂物模型位姿求解原理

外挂物模型的位姿是外挂物模型的位置和姿态的简称。外挂物模型的位置采用质心在固定坐标系的3个坐标来描述，外挂物的姿态采用3个姿态角来描述，3个姿态角的具体定义将在下面给出。事实上，外挂物的质心在物体的内部，不便直接测量其坐标，而3个姿态角需要专门的陀螺仪进行测量。本文使用的激光跟踪仪只能测量出固定在外挂物模型表面的靶球(可视为一点)在固定坐标系下的坐标，即外表面上点的坐标。因此，本文通过建立外挂物表面上点的坐标与外挂物模型位姿的方程，利用测量出的外挂物表面上3个点的坐标，采用非线性最小二乘法求解出了外挂物模型的位置和姿态。

外挂物模型的位姿可以由如下方式描述：首先定义一个六自由度机构的初始位置以及一个固连在大地的坐标系，称为固定坐标系。原点定义在初始零位的外挂物模型转动中心，也是外挂物的理论质心。再定义一个固定在外挂物模型上的坐标系，称为体轴坐标系，初始时刻与机构坐标系重合。试验用六自由度机构是一个串联机构，先执行偏航机构，再带动俯仰机构，最后运动滚转机构。因此，建立的2个坐标系的关系可以用以下顺序的3次旋转说明：首先使固定坐标系绕y转过偏航角ψ，再绕z转过俯仰角θ，最后绕x转过滚转角φ，于是固定坐标系就转换到了体轴坐标系。根据以上的关系，可以定义外挂物模型在空间中的姿态并得到姿态矩阵[6-7]。固联在外挂物模型表面上的靶球在固定坐标系下旋转前坐标{rm}与旋转后坐标{rn}可以由方向余弦矩阵表示：

{A}3×3{rm}={rn}

(1)

其中{A}3×3的形式为

在零位时外挂物模型理论质心指向运动后外挂物模型理论质心的向量在固定坐标系上的投影{Δr}定义为外挂物模型的位置。

固连在外挂物模型上的靶球在固定坐标系下前后两次的坐标可以由如下关系导出：设在零位时激光跟踪仪的读数，即靶球在固定坐标系下的坐标为

{rr0}={xc0yc0zc0}T

(2)

由于零位时固定坐标系和体轴坐标系重合，{rr0}的值也是靶球在体轴坐标系的值。经过平移和旋转后运动到某一位姿(该位姿即本文求解的位姿)后读数为(在同一固定坐标系)

{rr1}={xc1yc1zc1}T

(3)

物体由零位运动到某一位姿的过程可以分解成先平移后转动的一个过程。

如图1所示，设进行第1步平移后靶球在固定坐标系的坐标为{rp}，则有

{rp}={Δr}+{r′}

(4)

式中{Δr}是两个坐标系的平移量，其物理意义为外挂物模型的位置。{r′}为靶球在体轴坐标系o1x′y′z′上的坐标，值与{rr0}相等，即

{r′}={rr0}

(5)

如图2所示，经过绕体轴3次转动后，靶球在坐标系o1x′y′z′下的投影为{r1}，根据式(1)有

{r1}={A}3×3{r′}

(6)

图2 转动关系

根据图1，激光跟踪仪所测的固定坐标系ooxoyoz0与坐标系o1x′y′z′存在着一个向量{Δr}={ΔxΔyΔz}T平移的关系(表示外挂物模型的位置)。因此，实测空间物体运动后靶球的坐标{rr1}应为

{rr1}={Δr}+{r1}

(7)

联立式(5)-(7) 得

{A}3×3{rr0}+{Δr}={rr1}

(8)

式(8)为激光跟踪仪两次读数{rr0}、{rr1}之间的关系。

2 非线性最小二乘法求解位姿

根据式(8)，将3个靶球的运动前后共6组坐标分别代入向量方程可以得到：

(9)

将其展开并移项后写成：

(10)

其中aij为方向余弦矩阵{A}3×3中的元素，是姿态角ψθφ三个未知量的函数。加上未知的平移量ΔxΔyΔz，方程组为包含有6个未知量的9个方程，为超定非线性方程组，因此将求解转化为非线性最小二乘问题。根据本文第1部分的理论推导，方程组存在着一组解为外挂物的真实位姿,为避免姿态角多解情况的出现，选取分离体模型上的3个靶球点位必须不共线。该方程组的求解可选用具有较高求解精度的Gauss-Newton法格式[8-9]。

设：

β=(ΔxΔyΔzψθγ)T

(11)

超定方程组可以写成

fi(β)=0,i=1,2,…,9

(12)

Gauss-Newton法求解上述方程组的最小二乘解，首先确定初值β0，迭代格式为:

β(k))

(13)

计算雅克比矩阵

(14)

非线性方程组(10)的雅克比矩阵展开形式如下：

判断误差值是否满足预设精度要求

β(k+1)-β(k)<ε

(15)

若式(15)不满足则返回式(13)循环计算直至误差值小于预设值输出模型实际位姿。

在点位数据计算量大的情况下为避免求导的运算可以用差商近似替代微商[10]：

(16)

通过Gauss-Newton法求解坐标变换方程组，最终得出分离体质心的坐标。

3 实际标定测量

六自由度机构出厂实际标定时，使用法如(FARO)公司的激光跟踪仪进行测量。通过激光跟踪仪建立原点在模型零位时的转动中心以及与地面坐标系平行的固定坐标系后开始测量。首先让控制电机回到零位，测量此时3个靶球位的坐标。然后再控制电机运动使模型运动到不同的位姿，记录当前位姿下3个靶球位的坐标值，将每一组位姿下的值与零位值代入算法求解。求解算法使用Gauss-Newton法，初值选取为零向量，为避免初值与真实值相差太大而影响迭代求解，姿态角较大的情况下初值可以选为机构的驱动位姿。事实上，根据该项目试验机构的设计指标以及风洞试验时的实际情况，外挂物的姿态角都不会很大，一次完整的捕获轨迹试验结束后外挂物的3个姿态角最大值均在10°以内[1]。

表1 靶球坐标数据(固定坐标系)

表2中的驱动位姿为在机构控制系统的输入值依据CTS机构的理论尺寸，驱动装置控制模型运动到的理想位置和姿态。测量位姿为在机构控制系统输入理论位姿并驱动模型运动后，用激光跟踪仪测量得到的靶球坐标(表1)，再通过本文提供的非线性最小二乘法计算得到实际的位置和姿态。试验结果表明理论位姿与实际位姿相差不大，可以进行后续误差修正补偿工作。

表2 模型驱动位姿与测量位姿

4 结束语

本文基于风洞捕获轨迹装置的标定，通过激光跟踪仪测量出点的坐标，按照刚体平动与转动的坐标变换关系建立超定方程组，转化为了一个非线性最小二乘问题的求解，从而为捕获轨迹试验中的下一步的标定与误差修正提供数据支持。后续试验根据该方法测出的数据进行了机构误差补偿，从已经得出的修正情况来看，该测量方法是可行的。至于误差如何修正以及修正补偿的具体结果非本文考虑的问题，具体的修正方法另文再述。