滕兆春， 朱亚文， 蒲 育

（1．兰州理工大学 理学院，兰州730050；2．兰州工业学院 土木工程学院，兰州730050）

1 引 言

板是土木、海洋、机械、核工业和航空航天等工程中重要的承载构件之一，环扇形板也经常用于某些特殊结构中，因此对于环扇形板的力学行为，特别是环扇形板动态特性的分析研究具有十分重要的意义。环扇形板自由振动的核心问题是求解其固有频率和相应振型。虽然有大量关于环扇形板横向自由振动的研究文献［1－3］，但是关于其面内自由振动分析研究的文献相对较少［4］。已有研究结果表明，面内振动不仅对于高频振动和能量传输起着重要作用，而且还与环境的辐射噪声具有直接关系［5］。

近年来随着新型材料的兴起，功能梯度材料FGM（Functionally Graded Material）作为一种新型复合材料，具有减缓热应力、残余应力和应力集中等优异力学性能［6］，故FGM 环扇形板在核工业、船舶和航空航天等高科技领域具有很大的应用价值。在实际应用中，FGM环扇形板的材料属性一般均沿板厚度方向梯度变化，但也会遇到材料属性沿径向变化的情况，以满足结构不同部位对材料性能使用的不同要求。目前，关于FGM环扇形板面内自由振动问题的研究在国内外还鲜有文献报道。因此，本文考虑材料物性参数沿环扇形板的径向按照幂级数形式梯度变化，用二维微分求积法DQM（Differential Quadrature Method）来研究FGM环扇形板的面内自由振动问题。

2 控制微分方程的推导

如图1所示，考虑单位厚度FGM环扇形板，其材料物性参数仅沿径向变化，弹性模量为E，密度为ρ，泊松比为μ，外半径为Ro，内半径为Ri，环扇形板的扇形角为φ，径向位移分量为u，环向位移分量为v，环扇形板内部（r＝Ri处）为完全金属材料，外部（r＝Ro处）为完全陶瓷材料。FGM环扇形板的物性参数P（弹性模量E，密度ρ和泊松比μ）与径向坐标r和梯度指标p满足混合率公式（1）［7］，

式中Pm和Pc分别为金属和陶瓷的物性参数。忽略

FGM环扇形板的体积力，由平面线弹性理论，在极坐标系下考虑其几何方程：

物理方程：

运动方程：

将式（2，3）代入式（4，5）得

式中 （）（1）＝d（）／dr，t为时间。对于随时间变化的谐波振动，FGM环扇形板面内自由振动的位移可假设为［8］

式中n为环向波数，I＝槡－1为虚数单位，ω为固有频率。将式（8，9）假设的响应代入式（6，7）中，通过三角函数系的正交性可得FGM环扇形板面内自由振动的控制微分方程：

3 控制微分方程的无量纲化及其DQM离散

对方程（10，11）进行无量纲化处理，

式中 S2L＝Ec／［ρc（1－μ2c）］，β为环扇形板内外半径比，Ω为无量纲固有频率。另外，FGM环扇形板在环向上采用M个均匀分布的节点，而在径向上采用以插值基函数Lagrange多项式得到的节点，节点数为N。节点的选取形式为

式中 N×M为节点总数。为计算方便，取N＝M。参考文献［9，10］，由式（13）可求得一阶权系数矩阵以及二阶权系数矩阵，并将式（12）代入式（10，11）

得式中i＝2，3，…，N－1，Aij和Bij分别为径向一阶导数的权系数和二阶导数的权系数。

对FGM环扇形板考虑如下三种常见的边界条件：

（1）四周固定（C－C－C－C）

在i＝1，N时，

在j＝1，M 时，

（2）内外固定直边自由（C－F－C－F）

在i＝1，N时，

在j＝1，M 时，

（3）四周自由（F－F－F－F）

在i＝1，N时，

4 面内自由振动的特征值问题

方程（14，15）分别与式（16～21）边界条件对应联立，可以得到不同边界条件下FGM环扇形板面内自由振动的边值问题。该边值问题可以用分块矩阵的形式表示［11，12］

式中

对式（22）进行矩阵变换，消去 ｛wd｝后得FGM环扇形板面内自由振动的特征值问题：

式中 ［S］＝ ［Sbb］－ ［Sbd］［Sdd］－1［Sdb］，［I］为（2 N－4）阶 单 位 矩 阵，特 征 向 量 ｛wb｝描 述 了FGM环扇形板面内自由振动的振型。

5 数值计算与结果分析

计算中FGM 选取由金属材料Ti－4Al－4V和陶瓷材料ZrO2复合而成，其物性参数分别为［13］，Em＝122．7GPa，μm＝0．2888，ρm＝4420kg／m3，Ec＝132．2GPa，μc＝0．3，ρc＝3657kg／m3，通过MATLAB编写关于特征值问题的无量纲频率求解程序。表1～表3分别给出了节点数M＝N＝12，FGM 环扇形板在扇形角φ＝π／4，π，2π，内外半径比β＝0．2，0．4，环向波数n分别为1，2，3，4，梯度指标p分别为0，1，5，∞时，C－C－C－C、C－F－C－F和F－F－F－F三种边界条件下的前3阶无量纲固有频率。可以看出，在相同边界条件下，当β，p和φ一定时，无量纲固有频率Ω随n的增大而增大；当β，n和φ一定时，无量纲频率Ω随p的增大而减小，这反映了环扇形板材料由陶瓷向金属过渡的特点；当β，n和p一定时，无量纲频率Ω随φ的增大而减少。表1～表3都给出了FGM环扇形板在扇形角φ＝π／4和β＝0．2时用有限元商用软件ANSYS采用24×24个平面四边形单元计算的固有频率数值结果，与本文方法计算结果吻合良好，且取较少的节点数就能满足精度所需，工作量较小，说明了DQM对于研究本问题的适用性与优越性。

图2分别为FGM环扇形板面内自由振动在C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三种不同边界条件下，前3阶无量纲固有频率Ω随梯度指标p的变化关系曲线，其中参数p＝［0，100］，M＝N＝12，n＝1，β＝0．2，φ＝π／2。可以看出，当p小于10时，Ω随p的增大而减小；当p大于10时，Ω随p的增大而缓慢减小且趋于不变。这同样反映了环扇形板材料由陶瓷向金属过渡的特点。

图3分别为 C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三种边界条件下，FGM环扇形板在不同环向波数时第1阶无量纲固有频率Ω随梯度指标p变化的关系曲线，其中参数M＝N＝12，β＝0．2，φ＝π／2。可以看出，当n，φ和β一定时，第1阶无量纲固有频率Ω均随着梯度指标p的增大而减小，且逐渐趋于常数。当p，φ和β一定时，第1阶无量纲固有频率Ω随着环向波数n的增大而增大。

图4分别给出了FGM环扇形板面内自由振动在C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三种不同边界条件下，第1阶无量纲固有频率Ω随参数β的变化关系曲线，其中参数β＝［0．1，0．6］，M＝N ＝12，n＝1和φ＝π／2。可以看出，当p一定时，第1阶无量纲固有频率Ω随内外半径比β的增大而单调增加；当β一定时，第1阶无量纲固有频率Ω随p的增大而减小，减小程度由明显趋于缓慢，当p足够大，Ω趋于常数。β＝0时，FGM环扇形板的面内自由振动退化为FGM扇形板的面内自由振动。可见本文的分析方法也可以用于求解FGM或均匀材料环扇形板以及扇形板等薄板结构的面内自由振动问题。

表1 FGM环扇形板面内自由振动的无量纲频率Ω（C－C－C－C，M＝N＝12）Tab．1 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（C－C－C－C，M＝N＝12）

表2 FGM环扇形板面内自由振动的无量纲频率Ω（C－F－C－F，M＝N＝12）Tab．2 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（C－F－C－F，M＝N＝12）

表3 FGM环扇形板面内自由振动的无量纲频率Ω（F－F－F－F，M＝N＝12）Tab．3 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（F－F－F－F，M＝N＝12）

图2 FGM环扇形板的梯度指标与前3阶无量纲固有频率之间的关系曲线（n＝1，β＝0．2，φ＝π／2）Fig．2 Grade index vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates（n＝1，β＝0．2，φ＝π／2）

图3 不同环向波数下FGM环扇形板梯度指标与第1阶无量纲频率之间的关系曲线（β＝0．2，φ＝π／2）Fig．3 Grade index vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates with different circumferential wave number（β＝0．2，φ＝π／2）

图4 不同梯度指标下FGM环扇形板内外半径比与第1阶无量纲频率之间的关系曲线（n＝1，φ＝π／2）Fig．4 Internal and external radius ratio vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates with different grade index（n＝1，φ＝π／2）

6 结 论

基于平面线弹性理论，推导得到FGM环扇形板面内自由振动的运动控制微分方程，并进行无量纲化，用二维DQM将运动控制微分方程及其边界条件在FGM环扇形板的环向和径向离散，数值求解得到FGM环扇形板面内自由振动的无量纲固有频率。扇形角为!／4时的部分计算结果同有限元商用软件ANSYS的计算结果进行了比较，结果一致，说明分析方法有效。最后考察了不同边界条件下FGM环扇形板的材料梯度指标、内外半径比以及扇形角对于无量纲固有频率的影响。得到以下主要结论。

（1）随着DQM的节点数的增大，计算结果很快收敛，而且数值稳定性较好。

（2）在改变材料梯度指标p时，FGM环扇形板的无量纲固有频率Ω随着梯度指标p的无限增大而趋于常数。

（3）在改变FGM环扇形板的内外半径比β时，环扇形板的无量纲固有频率Ω随着内外半径比β的增大而增大。

（4）在改变FGM环扇形板的圆心角度φ时，环扇形板的各阶无量纲固有频率Ω随着扇形角φ的增大而减小。

（5）本文方法可以对任意扇形角的FGM环扇形板进行面内振动的无量纲频率进行求解，也可以用来求解FGM或均匀材料扇形板结构的面内自由振动问题。