孙一

摘 要：普拉托根据“肥皂泡现象”提出了有关极小曲面的问题，因此又称为普拉托问题。该问题自提出以来就引起了许多数学家的关注，并不断取得突破性进展。极小曲面是微分几何领域中的一类重要的特殊曲面。由于其优美的几何性质和力学性质，极小曲面在众多领域尤其是建筑方面有着非常重要的应用，并在自然界中广泛存在。本文从普拉托实验入手，介绍了极小曲面的由来及发展过程，列出了极小曲面方程并给出了几种类型，最后重点讨论了极小曲面的广泛应用。

关键词：普拉托实验；极小曲面方程；伯恩斯坦定理；膜结构

中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）19-0220-02

1 普拉托实验

著名的普拉托问题源于一个物理实验。将一根金属丝弯出一条封闭曲线，然后浸入肥皂液中，再轻轻提出，那么金属框架上就会蒙上一层绚丽的肥皂膜。在表面张力的作用下，肥皂膜的势能趋于最小，此时肥皂膜的形状也具有最小的面积[1]。比利时物理学家普拉托对肥皂膜现象进行了大量研究，总结其显现的形状，并于1873出版了著作《实验和理论流体静力学》。他通过肥皂膜的有趣实验，确定了肥皂膜曲面的许多几何性质。他在书中提到，不论封闭曲线如何扭曲，神奇的自然界总能找到一种方式在上面张成一层肥皂膜。如果不考虑肥皂膜自身的重力，仅在表面张力作用下，固定边界曲线上自然张成的曲面，在所有可能的曲面中面积总是最小。这种封闭曲线上表面积最小的曲面被称为极小曲面。由于普拉托的贡献，后来习惯把如何从数学上寻求这种曲面的问题称为普拉托问题。该问题提出后吸引了许多学者的关注，并逐渐从物理学领域转向数学领域。

2 极小曲面方程

普拉托问题可以描述为：给定一条可求长的光滑封闭曲线，寻求以这条空间曲线为边界的具有极小面积的曲面。实际上，1744年欧拉在其著作《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中就提过类似问题。1760年，拉格朗日首次给出了这类曲面应该满足的方程。

考虑三维欧氏空间中的光滑函数决定的图M，如果于M上某曲面D在所有与D边界相同的曲面面积中最小，那么该函数满足下列方程：

这就是著名的极小曲面方程[2]。线性函数的二阶导数为零，显然是上述方程的解，它的图是平面。

1776年，法国数学家梅斯尼埃给出了上述方程的几何解释，即上述曲面的平均曲率等于零。曲率表明曲线在某一点处的弯曲程度。曲率越大，则曲率半径越小，曲线的弯曲程度就越大。平均曲率是指空间曲面上某一点处任意两个相互垂直的正交曲率的平均值，它可以用来局部描述一个曲面嵌入周围空间的程度。因此，我们可以这样定义：三维欧氏空间中平均曲率恒等于零的曲面是极小曲面。梅斯尼埃还给出了方程的两个非线性解，它们的图分别是悬链面和正螺旋面。随后，方程的一些特解陆续被挖掘出来。1866年，魏尔斯特拉斯利用复变函数论的方法首次得到了上述方程的通解。

随着极小曲面研究的不断深入，极大地促进了分析、几何、泛函以及拓扑等许多方向的发展。数学家们所热衷的课题主要有两个方面：一个是普拉托问题解的存在性，另一个是伯恩斯坦型定理的证明。伯恩斯坦定理描述为：E3中完备的极小图必是平面[3]。即对于上述极小曲面方程，在全平面上的解是线性函数。用几何语言来描述，就是全平面上定义的极小图是平面。数学家菲舍尔和舍恩首先证明了该定理，不久，杜卡莫和彭家贵共同合作也独立地予以证明。伯恩斯坦定理在三维欧氏空间中是成立的，那么在高维空间的推广是否仍然成立呢？人们很早就提出这样的问题：设S是En中的完备极小超曲面，那么函数z（x1，x2，…，xn）是否必是线性的？

1965年，E.迪乔吉证明了n=3时成立；1966年，F.J.阿姆格伦证明了n=4时仍然成立。1967年，J.西蒙斯证明了当n≤7时都是成立的。伯恩斯坦定理看似仍然可以推广到高维空间。然而，有趣的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证明：当n=8时，上述推广则不成立。关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了突出贡献。

3 极小曲面的经典实例

根据极小曲面的定义，我们可以找出关于极小曲面的许多经典例子[4]。以下是先后发现的一些极小曲面：

（1）欧几里得平面。它也是无特别约束条件下最为常见的极小曲面。（2）悬链面。悬链面是一种旋转极小曲面，它是由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。悬链线是一条两端固定的均匀柔软但不能伸长的链条。在重力作用下，链条会呈现曲线形状，它的方程是一个双曲余弦函数。将金属丝弯成两个等大的圆环，紧贴浸入肥皂液中，一段时间后轻轻拿出并缓慢分开，就可以得到一个悬链面状的肥皂膜。（3）正螺旋面。正螺旋面是一种特殊的直纹极小曲面。在三维坐标系中，将一条直线l与x轴重合，然后让直线l绕z轴匀速转动的同时沿z轴方向匀速上升，即沿z轴作匀速螺旋上升，其扫过的曲面就是正螺旋面。（4）Enneper曲面等。另外，将极小曲面引入CAGD（计算机辅助几何设计），还可以得到各种类型的优美的极小曲面。

4 极小曲面的广泛应用

极小曲面具有优美的几何性质和力学性质，是一类非常重要的特殊曲面。因此，极小曲面在许多领域包括建筑、航空、轮船制造及生物医学等都有着重要应用。将极小曲面引入CAGD造型领域后，既增加了人们对极小曲面的理解，又提高了其在实际生活中的应用[5]。

极小曲面在建筑设计方面有着广泛的应用。因为极小曲面形状的屋顶，结构稳定，美观大方，并且不易积水，建筑师们往往喜欢按照极小曲面的模型来进行设计。远古时代，人类利用支杆、绳索和兽皮搭建的帐篷就呈现出极小曲面的造型，这也是最早的索膜结构。随着文明的进步和科技的发展，建筑膜材料也变得越来越高级，具备各种功能，比如防水、透光、高强度、耐腐蚀等，索膜建筑结构体系引起了广泛的重视。在许多文艺、体育、博览会等大型公共建筑上，都可以找到极小曲面的影子，比如慕尼黑奥林匹克体育馆，亚特兰大奥运会主馆，泰晤士河畔的千年穹顶，法兰克福航空港飞机库的屋顶等，都是采用索膜結构的标志性建筑。索膜结构可以充分利用阳光和空气，可以与自然环境融为一体，并且易建易拆，绿色环保，已成为当今世界最流行的空间建筑结构之一。近年来，索膜建筑技术在中国的建筑市场也需求大增。膜结构工程在造船业和航空业同样有着重要的作用，比如经常用于船体与船首的过渡曲面，以及用于飞机机翼部分的设计也可以增大升力等。在膜结构的设计过程中，找膜分析是最为关键的一环。早期的找形技术正是采用皂泡形成法。

肥皂泡中任一点对任意轴的拉应力都相等，因此会形成等应力极小曲面。

极小曲面还是一种特殊的能量极小曲面。在普拉托实验中，肥皂膜正是在表面张力的作用下，势能趋于最小，因此最为稳定，此时面积也达到最小。在自然界中，能量最小状态是一种十分稳定的状态。我们可以在自然界找到许多能量极小曲面的身影。例如，某些海底的软体动物的部分表面就与Enneper曲面类似，而芙蓉花的花蕊部分与某些极小曲面的形状也非常接近。

另外，极小曲面的形状独特，具有超凡的美感，因此也为很多艺术家所青睐。在许多艺术作品中，同样可以找到极小曲面的影子。例如F.Bouehm的油画作品“A Boy with a Girl blowing Bubbles”，O.Taeuberhahn依据Enneper极小曲面的雕塑等。

参考文献

[1]赵晓彤.三维欧氏空间中的极小曲面[D].东北大学，2014.

[2]郝永霞.极小曲面造型中的相关问题研究[D].大连理工大学，2013.

[3]韩英波.拉格朗日子流形几何及相关问题[D].复旦大学，2007.

[4]R·奥斯曼.极小曲面概论[M].辽宁大学出版社，1988.

[5]徐岗，汪国昭.计算机辅助几何设计中极小曲面造型的研究进展[J].系统科学与数学，2008，（8）：984-992.