白慷 张敬洋

摘 要：构造函数法在解题时具有巧妙、新颖、简洁等特点，常常化繁为简、使解题突破常規，易于激发学生的创造性思维和探索精神，是培养学生的逻辑思维能力的有效范例。而辅助函数的构造方法多种多样，具有较强的技巧性，本文主要通过实例讨论构造辅助函数的常用方法。

关键词：高等数学；解题；函数；构造

构造函数法是高等数学中证明某些命题时经常使用的方法。该方法在有关中值定理的证明、不等式的证明和方程根的讨论中被广泛使用。所谓构造函数法，就是在解决数学问题时，依据该问题中的条件与结论之间的关系，构造出一个辅助函数，通过对辅助函数的研究使数学问题得到解决的方法。构造函数法的关键是建立适当的辅助函数。通过对辅助函数的变换来证明结论。

一、拉格朗日中值定理

分析法指的是通过对结果一步一步地倒推，构造辅助函数，帮助分析，最终通过对重新构造函数的分析证明得出结论的过程。拉格朗日中值定理的证明：辅助函数法：已知f（x）在ab闭区间内连续，开区间内可导，然后构造辅助函数g（x），代入（a，g（a）），（b，g（b）），可以得到，g（a）=g（b）=f（a），有因为f（x）在闭区间内连续，在开区间可导，所以，根据罗尔定理可以证明拉格朗日中值定理的存在性，代入后进行化简和移项可证明定理存在。

注：微分学中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理，它反映了可导函数在区间内某点的局部变化率与闭区间上的整体的平均变化率的关系。罗尔中值定理的推广式，同时柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理，它还是泰勒公式的弱形式（一阶展开），在大多数不等式证明以及部分微分题中，此原理都有广泛运用。

二、证明不等式

（1）通过单调性证明不等式的存在性

单调性是指，在一定的定义域内，函数的增减性，它能够准确地说明函数在定义域内在值域上的映射变化，在解决不等式问题时，我们可以根据增减性来判断极值点的位置，进而证明不等式的存在性。例1：证明：当x>0时，x>ln（1+x）

分析：通过观察不等式的结构，我们可以了解到，两个初等函数构成了这个不等式，因为初等函数的微分依旧是初等函数，所以我们可以想到利用做差法来构造辅助函数，f（x）=x-ln（1+x），通过求导新构造函数可以得出相应的极值以及在区间内的单调性，并由此得出结论。构造辅助函数的方法就是做差法，它通过移项，做差构造新的函数，并通过求导构造的新函数证明单调性，得出极值，从而解决问题。

（2）用拉格朗日中值定理证明不等式

高等数学中，拉格朗日中值定理可以证明许多不等式题目，大多数题目在使用拉格朗日中值定理前都需要进行化简和恒等变形，如果经过恒等变形之后不等式符合拉格朗日中值公式的条件，就需要考虑

使用公式来解决问题。

例2：证明：当x>1时，ex>ex。分析：初步观察不等式，看似毫无头绪，但仔细分析后我们可以发现x∈（1，x'）（x'>0）在此区间，应用中值定理，肯定会出现式子ex′-e，原不等式就可以变形为ex-e>e（x-1）=ex-e/x-1>e，通过观察可以发现不等式在变形之后满足拉格朗日中值定理的应用条件，于是我们在区间内设辅助函数f（x）=ex，由于它在区间内满足拉格朗日中值定理的条件，所以用拉格朗日中值定理即可证明不等式的存在。

（3）用最大最小值证明

当不等式求导后得到的数值在区间内符号不同需要分段讨论时较为麻烦，因此不能够用单调性来证明，所以我们可以考虑用最值证明。

三、构造函数求极限

构造辅助函数能够简化函数，对于一些较为复杂的函数，我们没有办法应用现有知识进行解决，因此，在解决题目的过程中遇到较为复杂的函数时，我们应该先对现有函数进行观察，化简，在符合构造函数条件的情况下通过构造函数来求极限。

例3：设f（x）=1/x+1+1/x+2+...+1/x+x，求limx→∞f（x）。分析：此题的函数结构如果用其他方式较为麻烦，而且每一项的格式并不相同，因此，我们考虑对每一项进行变形，构造相应的辅助函数对其进行统一和简化，再通过对黎曼积分的使用，困难程度就减轻了，因为：通过极限思想，我们得到了黎曼积分，所以很容易把它反用于极限的求解过程中。

四、结论

当遇到较为困难且复杂的题目时，我们需要先对其构造辅助函数，使其满足黎曼积分的应用条件，并易于考虑题目进一步的计算，通过极限思想，我们得到了黎曼积分，所以很容易把它反用于极限的求解过程中，再通过运用我们已学的有关积分知识就可求得极限值。

五、计算积分及函数值

例5：设在[0，1]上，|f（x）|<=M，且f（x）在（0，1）内取得最大值，证明|f（1）|+|f（0）|<=M.f（x）在（0，1）内取得最大值说明存在k属于（0，1）使f（k）=0利用中值定理得f（1）-f（k）=（1-k）f（a）其中a是（k，1）中的某数所以|f（1）|=|（1-k）f（a）|<=1-k同理可证|f（0）|<=k相加即得要证的方程

六、构造函数解决数列问题

数列变形之后首先进行观察，查看数列是否符合构造函数的条件，若符合，根据数列自身的性质以及形态构造特定函数进行求解。

结束语

美国著名教育家波利亚说：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.”构造函数法也是这样，构造合适的辅助函数，要依据所要证明的命题及相关的的定理进行构造。当然，构造辅助函数还有许多巧妙的方法，这要求我们在解题的过程中不断地研究、探索和总结。

参考文献

[1]沈艳.高数学习效果与解题能力——评《高等数学学习方法与解题技巧》[J].高教发展与评估，2016，32（06）：130.

[2]莫庆美.泰勒公式在高等数学解题中的使用技巧[J].河南科技，2014（04）：198-199.

[3]钱双平.统一性在高等数学解题中的应用——数学美学方法的应用[J].云南电大学报，2005（02）：62-64.

[4]钱双平.简洁性在高等数学解题中的应用——数学美学方法的应用[J].云南电大学报，2004（04）：60-62.

[5]王伟.高等数学解题的几种思维方法例析[J].高师理科学刊，1999（01）：75-76.

[6]毅赞.郝同壬等编著的《高等数学解题方法研究》一书简介[J].广东工学院学报，1991（01）：10.