迟珞珈,冯新喜

(空军工程大学信息与导航学院,西安 710077)

0 引言

在传统的目标跟踪问题中,通常忽略目标的外形而将目标简化为一个点,即假设一个目标只能产生一个量测,但随着科学技术的发展,雷达等传感器的分辨率不断提高,使得一个目标在一个采样周期内可产生多个量测,我们称这种目标为扩展目标[1-6]。近年来,人们越来越重视杂波环境下多扩展目标的跟踪问题。传统方法中需要对数据进行关联,但其计算复杂度较高,容易出现组合爆炸。对此,Mahler在随机集理论基础上,提出了扩展目标概率假设密度(PHD)滤波[3],有效避免了数据关联问题。随后,势概率假设密度(CPHD)滤波、扩展目标高斯混合PHD滤波(ET-GM-PHD)[4]、扩展目标高斯混合CPHD滤波(ET-GM-CPHD)[5]等滤波方法又相继被提出,但这些算法所针对的都是非机动目标,无法有效跟踪机动扩展目标。而实际情况下,扩展目标往往会发生机动,此时,基于随机集理论的多扩展目标跟踪算法的性能将大大下降。同时,由于该类算法只单独给出不同时刻目标的数目及状态,没有将相邻的状态信息进行关联,因此也无法提供不同目标完整的航迹信息。

2009年Khaloozadeh等学者[7]针对机动目标跟踪问题提出输入估计(modified input estimation,MIE)算法,该算法不需要任何先验机动信息,可以很好地跟踪匀速运动或弱机动目标,但对加速度变化很快的机动目标会出现较大的跟踪误差。文中在此基础上,引入指数渐消因子[8-9]对其进行改进,并将其运用在扩展目标高斯混合PHD滤波器上,实现了对强机动扩展目标的自适应跟踪。同时,对Panta等人提出的航迹关联算法[10-12]进行改进,提出构造距离矩阵[13]的方法确定目标间的位置关系,通过设定阈值对距离近的目标直接预测关联,距离远的目标进行航迹关联,减少了密集目标错误关联的概率,能够较准确的给出密集扩展目标的航迹信息。

1 扩展目标高斯混合PHD滤波器

根据Mahler所提出的ET-PHD滤波模型,假设每个采样时刻传感器得到每个目标产生的扩展目标观测数服从Poisson分布,且扩展目标的观测服从以目标质心为均值的Gaussian分布。根据简单的数学知识,很容易得到每个目标实际被检测到的概率,其表达式为:

(1)

预测步:

(2)

更新步:

γk|k(x|Z)=LZ(x)γk|k-1(x|Z)

(3)

(4)

式中:LZ(x)表示量测伪似然函数,对传感器检测概率、噪声模型、虚警等特性进行了全面的描述,其表达式为:

(5)

k时刻目标后验概率γk|k(x)包括两部分,分别用于处理未检测目标和检测到目标的情况。详细推导公式可以参见文献[1]。

2 基于ET-EMIE-GMPHD的机动目标跟踪

2.1 机动扩展目标模型推导

扩展目标发生机动时,由于加速度的不确定性使跟踪性能大大下降。为了避免传统方法中需要单独检验机动性带来的麻烦,Khaloozadeh[7]等人提出了一种新的机动目标跟踪算法,该算法将机动加速度扩展为一个状态向量,巧妙的把机动目标模型转化为扩展状态下的非机动模型。假设原机动扩展目标的状态方程为:

x(k+1)=Fx(k)+CU(k)+GW(k)

(6)

z(k)=Hx(k)+V(k)

(7)

式中:x(k)=[xk,yk,vx,vy]T表示k时刻扩展目标的状态向量,U(k)=[ax(k),ay(k)]T表示k时刻扩展目标的机动加速度,W(k)表示状态噪声,V(k)表示观测噪声。Q(k)和R(k)分别为两种噪声的协方差矩阵。

现将机动加速度扩展为一个状态向量,则式(6)、式(7)将转化为扩展状态下的非机动模型,表达式为:

xaug(k+1)=Faug(k)xaug(k)+Gaug(k)Waug(k)

(8)

zaug(k+1)=Haugxaug(k)+Vaug(k)

(9)

式中:

(10)

式中:xaug(k+1)表示在k+1时刻扩展目标的状态信息,Vaug(k)与Waug(k)分别表示扩展后的量测噪声和状态噪声,由式Vaug(k)=HGW(k)+V(k+1)可以发现,扩展的量测噪声Vaug(k)与过程噪声W(k)相关。因此,在新的非机动目标跟踪模型中,对于时间相关的噪声,需重新修正滤波增益。首先,计算扩展的量测噪声Vaug(k)与状态噪声Waug(k)的协方差矩阵,其表达式为:

(11)

式中:

(12)

HGQ(k)GTHT+R(k)

(13)

(14)

之后,定义新的修正的卡尔曼滤波增益,其表达式为:

(15)

可以看出Kaug(k)由Taug(k)和Paug(k|k-1)共同决定,当跟踪非机动或弱机动目标时,预测协方差Paug(k|k-1)将趋于极小值,此时Taug(k)起主要作用,可以通过Taug(k)的变化来适当调整滤波增益Kaug,从而实现对机动扩展目标的跟踪。但当加速度变化幅度很大时,预测协方差Paug(k|k-1)无法进行合理的调整,使得算法发散,跟踪性能下降,因此文中引入一种指数渐消因子对预测协方差进行自适应调整,减小了由于滤波模型匹配不准确引起的误差,提高了算法的跟踪性能。

2.2 指数渐消因子

为避免滤波算法发散,文中引入指数渐消因子对预测协方差进行修正。修正后预测协方差的表达式为:

Paug(k|k-1)=

(16)

式中：λ(k)为指数渐消因子,其表达式为:

(17)

α(k)为量测残差平方和与理论残差协方差迹的比值,其表达式为:

(18)

式中：z′aug(k)为量测残差,Caug(k)为理论残差协方差,通过推导,表达式可分别表示为:

z′aug(k)=zaug(k)-Haug(k)xaug(k|k-1)=

zaug(k)-Haug(k)Faug(k)xaug(k-1)(19)

(20)

其工作原理是,当机动加速度变化幅度很大,系统动态建模方程不准确时,残差将迅速增大,预测协方差将通过指数渐消因子进行及时调整,进而调整滤波增益,改善输入估计算法对机动扩展目标的跟踪性能。同时,由于计算简单,使得滤波具有较好的实时动态响应特性。

2.3 ET-EMIE-GMPHD滤波过程

文中将一种改进的输入估计算法(modified input estimation,MIE)运用在扩展目标高斯混合PHD滤波器上,提出ET-EMIE-GMPHD滤波算法,实现了对强机动扩展目标的自适应跟踪。所提ET-EMIE-GMPHD算法具体步骤为:

步骤1:模型转换。首先,将机动加速度扩展为一个状态向量,将式(6)、式(7)机动目标模型转化为式(8)、式(9)扩展状态下的非机动模型。

步骤3:预测。已知k-1时刻目标的强度函数vk-1(xaug),通过式(21)进行一步预测,得到：

vk|k-1=

(21)

步骤4:更新。k时刻更新PHD函数为:

(22)

该函数主要包含两部分,漏检更新以及量测更新。漏检更新表达式为:

(23)

式中：

(24)

量测更新表达式为:

(25)

式中：

(26)

Γ(j)=e-γ(j)(γ(j))|W|

(27)

(28)

步骤5:对更新的vk|k(xaug)的高斯项进行修剪与合并处理,并获得目标的数目与状态估计。

3 航迹关联

由于GM-PHD滤波器只单独给出不同时刻目标的数目及状态,并没有将相邻的状态信息进行关联,因此无法提供不同目标完整的航迹信息。对此,Panda[11]提出将GM-PHD滤波器作为预滤波器,对观测集中存在的杂波和虚警进行滤除,由于滤波后得到的目标数目及状态接近真实情况,所以可将滤波后的结果作为“伪量测”再进行航迹关联(track association,TA)[14]。其中,用到的航迹关联方法通过构造关联矩阵和概率矩阵对“伪量测”进行处理,但当多个目标交叉或者相距较近时会出现错误关联。针对上述问题,文中提出了一种改进的航迹关联方法(improved track association,ITA),通过构造距离矩阵确定目标间的位置关系,然后设定阈值对距离近的目标直接预测关联,距离远的目标进行航迹关联,减少了密集目标错误关联的概率,提高了航迹的关联性能。

文中在原有航迹关联算法的基础上进一步构造距离矩阵Md(维数为nd×nd)。其表达式为:

(29)

式中：Di,j为两目标的指数距离,其表达式为:

(i,j=1,…,nd)

(30)

由式(30)可以看出,指数距离Di,j的取值范围为(0,1],随着两目标的靠近,Di,j将趋近于1,当Di,j超出设定的距离门限γ(0<γ<1)时,认为两目标相距很近,将距离矩阵Md相应元素置为1,否则为0。

由原有航迹关联算法获得关联矩阵Ma(维数为na×nb)、概率矩阵Mp,此处不再赘述。则文中所提出改进的航迹关联算法的主要步骤为:

图1为改进的航迹关联算法的流程图。

4 仿真实验与分析

4.1 实验参数设置

仿真中假设有5个扩展目标在监测区域[0,2 000 m]×[0,2 000 m]内运动,扩展目标状态向量表示为x(k)=[xk,vx,yk,vy,ax,ay]T,它们的初始状态及运动时间如表1所示。

表1 目标初始状态

图1 改进的航迹关联算法的流程图

5个扩展目标最初均作匀速运动,目标2在30 s时发生弱机动,加速度为(5 m/s2,0 m/s2),目标3在80 s时发生强机动,加速度为(-15 m/s2,-10 m/s2),目标4在80 s时发生弱机动,加速度为(-6 m/s2,0 m/s2),目标5在20 s时发生弱机动,加速度为(0 m/s2,-8 m/s2)。其中,在20 s时,目标1和目标5相互靠近;80 s时,目标3和目标4相互靠近。实验没有考虑衍生目标,假设背景杂波数服从均值为10的泊松分布,且在监测区域内均匀分布,目标的存活概率Ps=0.99,检测概率PD=0.99,传感器采样间隔T=1 s,整个跟踪过程持续100 s,共进行100次蒙特卡洛实验。

图2 目标运动真实轨迹及观测值

4.2 实验分析

5个扩展目标的真实运动轨迹及传感器获得的观测值如图2所示。实验分别采用ET-GM-PHD和改进的ET-EMIE-GMPHD对机动目标进行跟踪,跟踪结果分别如图3、图4所示。从图3可以看出,ET-GM-PHD对机动目标的跟踪效果很差,会出现跟不上的现象,而图4改进的ET-EMIE-GMPHD对于弱机动和强机动目标均具有较好的跟踪性能。

图3 ET-GMPHD滤波估计

图4 ET-EMIE-GMPHD滤波估计

图5是经过100次蒙特卡洛实验后ET-GM-PHD和改进的ET-EMIE-GMPHD对目标数目估计取平均四舍五入的结果。可以看出,ET-GM-PHD由于跟不上机动目标导致目标数目估计出现很大的差错,而改进的ET-EMIE-GMPHD则能较准确的估计出目标的真实数目。

图5 目标数估计

图6是经过100次蒙特卡洛实验后ET-GM-PHD和改进的ET-EMIE-GMPHD算法OSPA距离[15]平均值的对比。从图中可以看出,所提出的ET-EMIE-GMPHD算法的OSPA距离趋于一个比较小的平稳的值,而ET-GM-PHD算法的OSPA距离初始时较小,但后面出现很大的增长趋势,主要是因为在目标发生机动时,ET-GM-PHD算法跟踪性能大大下降,无法跟上目标,使得跟踪误差变大。仿真实验表明ET-EMIE-GMPHD算法对多机动扩展目标具有较高的跟踪精度。

图6 OSPA距离

图7、图8中实线表示每个扩展目标在x、y方向距离随时间变化的真实轨迹,×、+、ο、*、Δ分别是由改进的航迹关联算法获得目标1、目标2、目标3、目标4、目标5的跟踪航迹。可以看出,所改进的航迹关联算法在每一时刻能够有效估计各个机动扩展目标的航迹,且当目标相邻近时没有出现错误关联的情况,实现了对密集扩展机动目标的航迹管理,具有较强的抗干扰性和鲁棒性。

图7 ET-EMIE-GMPHD航迹关联(x轴)

图8 ET-EMIE-GMPHD航迹关联(y轴)

5 结束语

针对杂波环境下扩展目标高斯混合概率密度假设滤波器(ET-GM-PHD)不能有效跟踪机动目标且无法提供航迹信息的问题,文中提出ET-EMIE-GMPHD算法及一种改进的航迹关联算法。实验结果表明提出的算法在多机动扩展目标跟踪中具有很好的跟踪精度,同时能够正确给出密集扩展目标的航迹信息,具有较强的抗干扰性和鲁棒性。但由于算法中涉及到的距离阈值的选择仅凭经验设定,没有具体的规定,因此,下一步可对此进行改进来优化算法。