雷亚庆

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

例1 (2017江苏南京二模)12．若函数f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为____．

分析零点问题的常用思路来尝试处理一下.思路一：令f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8=0，由题意方程只有唯一解，但该方程解的问题无法处理；思路二：用导数法研究f(x)的单调性最值以及图象，结合函数图象解决问题，但困难在于导函数的零点无法顺利求出，问题还是无法顺利解决；思路三：转化为两个函数的图象交点有且只有一个，但是由于两个函数都含有参数，图象还是不太容易画出，问题还是不好解决.事实上，如果我们再仔细审题，回到函数的核心性质上，就会使问题迎刃而解.解决该题的关键在于发现该函数是一个偶函数而偶函数的零点如果不是零的话一定是成对出现的.偶函数f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点意味着它有唯一的零点0.由f(0)=0求出m的值再加以检验即可得到最后的答案.

解析因为f(-x)=x2-mcos(-x)+m2+3m-8=f(x)，所以f(x)为偶函数.

又因为f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点,所以f(0)=0 即m2+2m-8=0.解得m=2或m=-4.

当m=-4时，f(x)=x2+4cosx-4

当m=2时，f(x)=x2-2cosx+2=x2+2(1-cosx).显然当x>0时，f(x)>0,有偶函数的性质可知f(x)有且只有一个零点0，符合题意.

综上,m的取值集合为{2}.

例2 已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是____.

解析因为函数f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|都是偶函数，它们的图象都是关于y轴对称的，因此在y轴右侧这两个函数的图象交点应该是两个.

所以问题转化为：当x>0时，方程2x2+m=lnx有两个解.即：m=lnx-2x2

问题进一步转化为：已知直线y=m与曲线h(x)=lnx-2x2有两个交点，求m的取值范围.

用导数法易求得函数h(x)=lnx-2x2的极值和单调区间，画出示意图由示意图可知：

当m∈(-,时，直线y=m与曲线h(x)=lnx-2x2有两个交点,即当x>0时，方程2x2+m=lnx有两个解.

结合偶函数性质可得：函数f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|有四个交点

例3 (2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____.

解析f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x).

由此可得函数图象关于直线x=2对称.

由f(x-4)=-f(x)可知函数是以8为周期的周期函数,所以函数图象也关于直线x=-6对称.不妨设：x1

所以：x1+x2+x3+x4=-8.

思考题1 (2016高考新课标Ⅰ改编)函数f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]有____个零点．

解析函数f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，故先考虑其在[0,2]上有几个零点．∵f(0)<0,f(1)<0,f(2)=8-e2>0,∴f(x)在[0,2]上有零点．设g(x)=f′(x)=4x-ex．

∵g(0)<0,g(1)>0,g(2)>0,∴g(x)在[0,2]上有零点．又由g′(x)=0，可得4-ex=0，设其解为x1，易知x1∈(1,2)且g(x1)>0,∴g(x)在[0,2]上有唯一零点，设为x0且x0∈(0,1)．从而当00，即f′(x)>0.故x∈(0,x0)时，f(x)为单调递减函数；当x∈(x0,2)时，f(x)为单调递增函数．

又f(0)<0,f(1)<0,∴f(x0)<0,∴f(x)在[0,2]上有唯一零点．由函数图象的对称性可知f(x)在[0,2]上有两个零点．

2．已知函数f(x)是定义在(-,0)∪(0,+)上的偶函数，当x>0时，则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为( ).

A． 4 B．6 C．8 D．10

(2)周期性函数作图时，若函数图象不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图象中要准确标出，便于数形结合.

(3)巧妙利用f(x)的奇偶性，可以简化解题步骤．例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决．

思考题2 (2018江苏淮安盱眙中学高三第一次学情调研)已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为____．

方法点睛本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数y=f(x)零点个数的常用方法：(1) 直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．