例析函数单调性在解题中的应用
2018-08-15许万成
许万成
(江苏省建湖县第二中学 224700)
函数的单调性是函数的三个重要性质之一,在解决函数问题时有着广泛的运用.对函数的单调性考查是高考的热点,多数情况下是以中档题形式呈现.为了使同学们对函数的单调性有一个更好的认识,笔者根据自己平时的教学,将平时利用函数的单调性来解决的常见题型以例题的形式呈现给读者.
一、确定函数的单调性(区间)
例1 函数f(x)=f(x)=log1/2(x2-4)的单调递增区间为( ).
解析由x2-4>0,得x>2或x<-2.
所以f(x)的定义域为(-,-2)∪(2,+).
令t=x2-4,则y=log1/2t(t>0).
因为t=x2-4在(-,-2)上是减函数,且y=log1/2t在(0,+)上是减函数,所以f(x)在(-,-2)上是增函数,即f(x)单调递增区间为(-∞,-2).
答案:D
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上递增. 评注(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1. (2)函数单调性的判断方法有:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法. (3)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 评注解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内. 例5 (2017天津,理6) 已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ). A.a二、利用函数单调性求值域或最值
三、利用单调性解不等式
四、利用单调性比较两个函数值或自变量的大小