胡景月

(江苏省南京市雨花台中学 210012)

我们先回顾一下函数最值的定义和性质：在教材必修一36页，其给出了最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M．那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)．最值的定义极为严密，从恒成立的角度来说，函数的“最值”本质上就是“不等式恒成立且等号成立”．因此含参最值的第一个新的解决视角就是将其转化为不等式恒成立问题，并考虑等号成立的可能性即可．

一、转化为不等式恒成立问题

问题2 已知a>0，函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2，则a=_______．

问题3 已知t为常数，y=|x2-2x+t|在区间[0,2]上的最大值为2，则t=_______．

解析本题改编自浙江高考.由题意：|x2-x-t|≤2在区间[0,2]上恒成立，且存在x∈[0,2]使“=”成立．

即x2-2x-2≤t≤x2-2x+2在区间[0,2]上恒成立，且存在x∈[0,2]使“=”至少有一成立.由最大值和最小值的定义可得t=(x2-2x-2)max或t=(x2-2x+2)min，当x∈[0,2]时(x2-2x-2)max=-2或(x2-2x+2)min=1，所以t=1或=-2．

反思：上面三题都是从函数的最值的定义出发，将最值问题转化为不等式恒成立问题，通过不等式的等价变形(分离参数)后，再利用最值定义，转化为求新函数的最值，这一转化过程，由已知含参数最值求参数问题，转化为求不含参函数的最值，使问题得以简化，与传统的分类讨论不同之处在于需要求最值的两个函数一个含参一个不含参，难易也就显而易见了．

二、函数最值定义的延伸

现在我们继续来通过研究函数的最值的定义，来解决一类由不等式恒成立问题求有关参数最值的问题．如果我们把上述函数最值的定义中条件(1)看作是一种必要性(一种范围可能更大的情况)的话，则条件(2)就是一种存在性(验证取等即可)．在近年来各地高考的热点问题、模拟考题以及一些自主招生题型中有时很多涉及函数最值和不等式恒成立的问题时，往往需要这样先算必要性再验证充分性从而起到四两拨千斤的作用．体现这种思想的解法，一般也称之为必要性探路，但从本质讲我们可能把它理解为最值概念的延伸和拓展较为合适．由于这类题型较为丰富，笔者从三个方面进行展开．

问题4 设函数f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0．求所有实数a，使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立．(注：e为自然对数的底数．)

问题5 已知函数g(x)=-t·2x+1-3x+1,h(x)=t·2x-3x，其中x,t∈R．定义[1,+)上的函数f(x)如下：若f(x)在[1,m)上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．

解析对于分段函数的单调性问题，我们的常见思路都是：第一，考虑分段函数分别在定义域内的单调；第二，考虑临界点的大小关系．这里我们可以先考虑临界点的大小关系，先缩小t的范围呢！我们要让实数m取得更大的值，需要必要条件：g(2)≥h(2),h(3)≥g(3),g(4)≥h(4),h(5)≥g(5)…以此类推.

反思：这种必要性探路解决不等式恒成立求参数范围的方法实质上是利用求最值问题中的的先满足必要条件再验证充分条件的一种逻辑思维，它是有效降低运算成本的一种手段，是优化解题过程的一种方法，是操作和思维统一的过程．