崔佰华

(黑龙江省阿城一中 150300)

含有附加条件的代数式的取值范围问题，是高考中典型题目，这类题目侧重考查学生思维的灵活性、广阔性，能够很好地检验学生运用所学知识解决问题的能力.本文就2011年浙江省的一道考题，探索出多种新颖而具特色的解题思路，供赏析.

题目设x、y为实数，若x2+y2+xy=1，则x+x的最大值是____.

思路1 由题设式及目标式，联想到x+y与xy之间的不等关系，从已知式中导出关于x+y的不等式，并解这个不等式.

将已知式配成(x+y)2-xy=1，即xy=(x+y)2-1.

思路2 导出关于x+y、xy的表达式，构造一元二次方程，用判别式求解.记P=x+y，由已知式有(x+y)2-xy=1，得xy=P2-1.

可见x、y是一元二次方程u2-Pu+(P2-1)=0的两个实根，故知Δ=P2-4(P2-1)≥0，化为3P2≤4.

思路3 先将x+y平方，化为关于x、y的二次齐次分式，再用基本不等式.

(1) 当x、y中一个为零，另一个不为零时，则P2=1；

思路5 配方成平方和的形式，直接用三角代换.

思路6 引入等差中项，用公差范围求解.

思路7 记P=(x+y)2，导出含参数P的一元二次方程，用判别式求解.

由P=(x+y)2⟹P(x2+y2+xy)=x2+y2+2xy，化得(P-1)x2+(P-2)xy+(P-1)y2=0.这是一个关于x、y

(1) 当P=1时，可得到x=0,y=±1.