刘振龙

(福建省泉州市培元中学 362000)

一、试题呈现

(2017年石家庄市第一次模考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(m,2)，其焦点为F，且|MF|=2．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F′:(x-1)2+y2=1相切，切点分别为A,B，求证：直线AB过定点．

解(1)利用抛物线的定义，可得抛物线C的方程为y2=4x，解法不再赘述．

二、解题反思

第(2)题存在多种解法，例如可以利用导数求出点A的坐标；或者利用O,B关于直线EF对称，求出点B的坐标，作者在研究试题的多种解法之后，进行了解题反思：命题者是如何发现直线AB过某一定点，从而命制试题？圆F′的方程是否有特殊限制？其命题手法是否可以借鉴？围绕这些问题，作者进行更深层次的探究，发现该题的命制，是基于抛物线的切线性质进行的，其命题手法具有较强的借鉴作用．

三、命题手法探究

又∠A′AE，∠FAE都是锐角，所以∠A′AE=∠FAE，即切线AE为∠A′AF的平分线．

推论2：抛物线C:y2=2px(p>0)焦点为F，过抛物线上任一点A(异于顶点)作切线，切线与y轴的交点为E，过点A作准线的垂线，垂足为A′，则A′,E,F三点共线．

四、命题展示

在欣赏完本题的命题手法之后，作者效仿其命题思路，结合推论1、推论2，命制若干抛物线定点(定值)问题，展示如下：

题1 设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作抛物线C:y2=4x的切线，切点为A(异于原点)，过点E作直线AF的垂线l，求证：直线l必与某定圆相切，并求出该圆的方程．

题2 已知E(0,3)，过点E作抛物线C:y2=2px(p>0)的切线，切点为A(异于原点)，连结AF，过点E作EB⊥AF于点B，求证：线段EB的长为定值，并求出该定值．

题3 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线交y轴于点M,N，求证：以MN为直径的圆必与直线l相切．