针对AR模型讨论AIC准则定阶是否高于真实阶数

2018-08-10苑成艳

神州·上旬刊 2018年8期

苑成艳

摘要：时间序列建模过程中，确定了时间序列适合的模型类型之后，对模型阶数的确定是必不可少的。常见的模型定阶的的方法有：残差平方和法，自相关和偏相关函数法，F检验法，AIC准则和BIC准则。在实际模型定阶时，采用自相关函数和偏自相关函数拖尾或结尾来确定模型阶数，计算得到的自相关函数或偏自相关函数都是估计值，与理论上的真值之间存在一定误差；而且自相关和偏自相关函数法只适用于AR（p）和MA（q）模型定阶，对用ARMA模型来说，这种方法是不可行的。F检验法的前提是两个模型中有一个是适用的，若两个模型适用性都未知，则F检验法来检验低阶模型是毫无意义的。为了给模型更准确定阶，采用AIC准则、BIC准则定阶，利用似然函数估计值的最大原则来确定合适的模型阶数。但AIC准则定阶可能会出现高估真实阶数的情况，下面我们针对AR模型通过AIC定阶与BIC定阶对比来讨论是否AIC定阶真的高于真实阶数。

关键词：AIC准则；BIC准则；AR模型；时间序列

1 AP（p）模型的定阶

1.1 AIC定阶

1973年日本学者赤池（Akaike）提出了AIC准则，适用于ARMA（包括AR和MA）模型的定阶问题。设观测数据序列

为零均值平稳序列，其中一组样本数据为

，设L为拟合模型的最高阶数，AR模型阶数为k，下面是AIC模型AIC定阶步骤：（1）计算样本的自协方差函数

和样本的自相关函数

；（2）利用递推算法计算相关函数

；（3）

是AR（k）的白噪声方差。

所以AIC准则函数为：

。AIC（k）最小值点

成为AR（k）模型的AIC定阶。

1.2 BIC定阶

针对AR（p）模型可以证明出当样本数据N充分大时，用AIC定阶往往并不是相合的，就是说，当数据来自AP（p）模型时，

并不依概率收敛到真实的阶数。有研究指出AIC定阶通常会对阶数略有高估。为了克服这一问题，舒瓦兹（Schwarz）提出另一个与AIC准则类似的准则函数BIC准则。BIC准则函数定义如下：

我们称BIC（k）中第一个最小值点

成为AP（p）模型的BIC定阶。已知AR（k）模型

是白噪声方差，可证明BIC定阶是强相合的。

2 AIC定阶和BIC定阶准确性对比

针对平稳的AR模型分别用AIC准则和BIC准则定阶。我们将确定的AR模型进行AIC和BIC定阶，通过两个准则定阶的正确率以及高估率和低估率探究，从而得到AIC准则定阶是否高于真实阶数的真正结果。这里我们假设用AR（2）模型进行试验讨论，讨论结果如下，AR（2）模型：

其中

是白噪声序列。

首先利用SAS软件循环程序生成500个数据，再用SAS程序对这些观测数据模拟计算独立重复1000次，每次生成的数据是不同的，即每次使用不同的500个观测值。得到AIC和BIC阶数情况如下：

表1：500个观测值AIC、BIC定阶所定阶数的次数

AIC定阶

675

108

BIC定階

550

447

上表数据表示，用某一种定阶方式（AIC或BIC），在1000次模拟计算中阶数定为

（

=1，2，…，10）的有多少次，其中675表示在1000次模拟计算中AIC将阶数定为4的由675次，447表示在1000次模拟计算中BIC将阶数定为4的由447次。通过得到的阶数情况分析，AIC定阶对阶数低估的比率是9.7%，对阶数高估的比率是22.7%；BIC定阶对阶数低估的比率是55%，对阶数高估的比率是1.4%。AIC定的平均阶数是2.447，高于BIC定的阶数1.497。

我们再次利用SAS程序生成更多数据，这里我们生成了2000个数据，在对模型进行1000次模拟计算。得到如下结果：

表2：1000个观测值AIC、BIC定阶所定阶数的次数

AIC定阶

739

114

BIC定阶

991

通过表格的阶数情况分析，AIC定阶对阶数低估的比率是0%，对阶数高估的比率是26.1%；BIC定阶对阶数低估的比率是0.7%，对阶数高估的比率是0.3%。AIC定的平均阶数是2.695，高于BIC定的阶数1.999。

由上面计算实验，确实存在AIC定阶高于BIC现象，但是我们看到，当样本数据不是很大时，BIC 定阶会出现低估阶数的现象，造成模型较大失真。而AIC定阶更接近真实阶数。在N很大的情况下，BIC对模型的定阶会更准确。因此，我们在进行模型定阶时，要根据实际观测数据多少来判断用AIC准则还是BIC准则。

参考文献：

[1]王振龙，胡永宏.应用时间序列分析[M].科学出版社

[2]王燕.应用时间序列分析[M].中国人民大学出版社