韩然

(中国传媒大学理工学部，北京100024)

1 引言

灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题.因此充分开发利用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则.我们可以通过社会，经济，生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律.灰色系统理论认为，尽管客观系统的表象复杂，数据离乱.但它们总有自身的整体功能，必然蕴藏某种内在的规律.关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它.在文献[1，4，5，7]中，刘思峰等教授提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出一种得到较广泛应用的弱化缓冲算子.本文在他们的工作的基础上，又构造出二类新弱化缓冲算子.从而推广了缓冲算子的类型.

2 基本概念

定义2.1 设系统数据序列为X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，则称X为单调增长序列.

(2)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，则称X为单调衰减序列.

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，

则称X为振荡序列.其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，称M-m为振荡序列X的振幅.

定义2.2 设X为系统数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称D为序列算子.

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到阶算子，分别记为XD2，…，XDr.

公理2.1[4](不动点公理)设X为系统数据序列，D为序列算子，则有x(n)d=x(n).

公理2.2[4](信息充分利用公理)系统数据序列X中的每一个数据x(k)(k=1，2，…，n)，都应充分地参与算子作用的整个过程.

公理2.3[4](解析化与规范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一个统一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表达式表达.

满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子.XD称为缓冲序列.

定义2.3[5]设X为系统行为数据序列，D为序列算子，当X当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小，则称缓冲算子D为弱化缓冲算子.

定理1[5]

(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则

D为弱化缓冲算子⟺x(k)≤x(k)d.(k=1，2，…，n)

(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则

D为弱化缓冲算子⟺x(k)≥x(k)d.(k=1，2，…，n)

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为弱化缓冲算子，则

max1≤k≤nx(k)≥max1≤k≤n{x(k)d}，

min1≤k≤nx(k)≤min1≤k≤n{x(k)d}

由定理2.1可知，单调增长序列在弱化缓冲算子作用下，数据膨胀；单调衰减序列在弱化缓冲算子作用下，数据萎缩.

3 弱化缓冲算子的构造

刘思峰，党耀国等教授在其专著[2]中构造了下列弱化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2

(1)

(2)

(k=1，2，…，n)，

则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D1，D2皆为弱化缓冲算子.

在此，我们在弱化缓冲算子D1，D2基础上，利用插值函数理论构建新的弱化缓冲算子.

定理2设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统数据序列，且D为弱化缓冲算子. 将

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n组数据，构造插值函数f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是单调递增函数. 若E为任一弱化缓冲算子.

(3)

令XG=(x(1)g，…x(n)g)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，G为弱化缓冲算子.

证明：容易验证

x(n)g

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，，

即G满足缓冲算子公理一.

至于缓冲算子公理二，公理三显然成立，因而G为缓冲算子.

下证当：

(1)X为单调增长序列时，因为

0

E为弱化缓冲算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是单调递增函数，

f(x(k))≤f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D为弱化缓冲算子，则x(k)≤x(k)d

x(k)≤

即x(k)≤x(k)g；

所以G为弱化缓冲算子.

(2)X为单调衰减序列时，因为

x(k)≥…≥x(n)>0，，

E为弱化缓冲算子，

x(k)≥x(k)e；

又f是单调递增函数，

f(x(k))≥f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D为弱化缓冲算子，则x(k)≥x(k)d

x(k)≥

即x(k)≥x(k)g；

所以G为弱化缓冲算子.

(3)当X为振荡序列时，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

对任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(h)≤x(i)，…，x(n)，

由于E为弱化缓冲算子，则

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是单调递增函数，

x(k)d=f(x(k))

x(h)d=f(x(h))

又D为弱化缓冲算子，则

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(h)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))≥

x(h)≤x(h)d=f(x(h))

则

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)g}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)g}

故G为弱化缓冲算子.

定理3设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统数据序列，且D为弱化缓冲算子. 将

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n组数据，构造插值函数f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是单调递增函数，且f>0.

若E为任一弱化缓冲算子.

wi>0，.权重向量为w=(w1，…，wn)，. 其中

x(k)h=[fwk(x(k)e)×…

令XH=(x(1)h，…x(n)h)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，H为弱化缓冲算子

证明：容易验证

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，

即H满足缓冲算子公理一.

至于缓冲算子公理二，公理三显然成立，因而H为缓冲算子.

下证当：

(1)X为单调增长序列时，因为0

E为弱化缓冲算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是单调递增函数，

0

得

0<

又D为弱化缓冲算子，则0≤x(k)≤x(k)d

0

所以H为弱化缓冲算子.

(2)X为单调衰减序列时，因为x(k)≥…≥x(n)>0，，得

E为弱化缓冲算子，

x(k)≥x(k)e≥0；

又f是单调递增函数，

0

得

>0

又D为弱化缓冲算子，则x(k)≥x(k)d≥0

x(k)≥

≥0

所以H为弱化缓冲算子.

所以H为弱化缓冲算子.

(3)当X为振荡序列时，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(l)=min1≤i≤nx(i)，

对任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(l)≤x(i)，…，x(n)，

由于E为弱化缓冲算子，则

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是单调递增函数，

x(k)d=f(x(k))

x(l)d=f(x(l))

又D为弱化缓冲算子，则

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(l)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))

x(l)≤x(l)d=f(x(l))

则

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)h}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)h}

故H为弱化缓冲算子.

4 结语

在缓冲算子的构造过程中，以前都是一个一个去构造.而我们是首次将缓冲算子的构造与插值函数联系起来，一次构造一大类缓冲算子.为解决扰动数据序列的建模提供了多种选择.开辟了如何利用插值函数来构造缓冲算子的新方向，进一步研究正在进行中.