☉江苏省常熟市王淦昌中学 郭 贞

在数学教学过程中，教师需要对不同类型的问题分类讲解，总结题型与方法，强化学生的练习.在实际的教学环节，笔者发现真正困扰学生的并不是值域的求解，而是问题的“隐蔽性”，即很多问题看似与值域毫无关联，但实际却是隐藏着值域求解的过程，部分学生无法发现这一隐藏的问题，因此毫无头绪.笔者总结了几种常见情况，通过转化等手段，对这些潜在的函数值域问题进行分析与总结，以期起到较好的教学指导作用.

一、值域求解与定义域结合

例1函数y=f（5x-2）的定义域为（-2，3），试求函数y=f（x-4）的定义域.

【教师提问】分析题目已知条件，我们可以发现，y=f（5x-2）是一个复合函数.同学们思考一下，复合函数具有什么特征？

【学生甲】在复合函数中，内层函数的值域就是外层函数的定义域.

【教师提问】很好！这道题的题干信息没有出现求解值域的信息，但结合复合函数的特征，我们就是要求解5x-2的值域.哪位同学来说一下具体的解答过程？

【学生乙】函数y=f（5x-2）的定义域为（-2，3），那么5x-2的取值范围为（-12，13），即函数y=f（x-4）的值域为（-12，13），所以可以求解出该函数的定义域为（-8，17）.

【教学总结】这道题看上去是求函数的定义域——使函数有意义的自变量的取值范围.结合复合函数内外层函数的关系，这道题的重点就是两者之间定义域与值域之间的相互转化，看似与值域无关，但解题的突破口就是值域的求解.

二、值域求解隐藏于函数单调性中

【教师提问】这道题要求的是函数的单调区间，甲同学，你说一下你的思路.

【教师提问】来，你在黑板上写一下详细的解题过程.

【教师提问】接下来怎么计算x的取值范围？

【学生甲】算不出来.

【教师提问】好，同学们一起来看，既然没法计算出结果，我们不妨换个思路，我们把函数t（x）的取值范围求出来，即求解t（x）的值域.甲同学，你继续解答.

【学生甲】t′（x）=-sinx·x，因为x∈（0，π），

所以t′（x）=-sinx·x恒小于0，

即t（x）在x∈（0，π）上单调递减.

因为t（0）=0,所以t（x）在x∈（0，π）上恒小于0，

所以f（x）在x∈（0，π）上单调递减.

【教学总结】函数单调性问题可以结合函数值域的求解，详细分析函数在定义域上的单调增减情况.特别地，在处理恒增或者恒减问题时，这一解题思路应该是考生的优先选择.

三、方程有解的问题中的函数值域

例3 关于x的方程9x-2·3x-m2+5m+1=0有解，试求解实数m的取值范围.

【教师提问】同学们，这是一道方程有解问题，观察一下题干信息，大家有什么想法？

【学生甲】题干信息中的表达式是二次函数的形式，可以令k=3x，k∈（0，+∞），原方程就变为k2-2·k-m2+5m+1=0，则只要满足Δ≥0就好.

【教师提问】有没有不同意见？

【学生乙】单单满足Δ≥0这一个条件，只能说明该方程在R上有解，但k∈（0，+∞），说明题目转化成了k2-2·k-m2+5m+1=0有正解，需要分类讨论所得的解是否为正解、有几个正解.

【教师提问】这是一种解法，属于常规思路，运用二次方程根的判别式进行求解.下面我提供另外一种思路，比如，这样的方程形式：f（m）-g（n）=0有解，我们可以从函数的角度来考虑，把不同未知数的两个方程看成两个函数，当然，一定要是不同变量，如果是同一变量的方程问题，大家不能简单拆分，因为相同变量取值条件满足同一性，不能分开讨论.回到这道题，我们可以令f（k）=k2-2·k+1（k＞0），g（m）=m2-5m，结合二次函数的值域求解，可知f（k）的值域为［0，+∞），所以m2-5m≥0，解得m≥5或m≤0.

【教学总结】方程与函数是联系比较紧密的，在处理方程有解问题时，可以尝试分离出函数，求解出函数的值域，再通过变量与值域之间的相互关系来求解.

四、不等式中的函数值域问题

例4设有函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，试求实数a的取值范围.

【教师提问】从已知条件我们可以知道f（x）为关于x的二次函数，f（f（x））这一表达式是什么形式？

【学生甲】是复合函数.

【教师提问】根据上面的案例我们知道，复合函数一个重要的考点就是内外层函数值域与定义域之间的关系.那么这道题能否转化成函数的值域问题呢？

【学生乙】可以令m=f（x），则原题转化成f（m）＜0，题目就转化成了一元二次不等式问题.

【教师提问】然后呢？

【学生乙】原函数f（x）=x2-2ax+a2-1，可以进一步转化成f（x）=［x-（a-1）］［x-（a+1）］，令f（x）＜0，解得x的取值范围为（a-1，a+1）.复合函数具有这样的性质：内层函数的值域就是外层函数的定义域，而f（f（x））＜0的解集为空集，实际上就是函数f（x）的值域与（a-1，a+1）的交集为空集，而f（x）的值域为［-1，＋∞），所以可知-1≥a+1，解得a≤-2.

【教学总结】在解决不等式问题时，尤其是存在、恒成立、空集等问题，可以尝试构造函数，将问题转化成函数值域的求解问题，最后再通过集合之间的相互关系来解出答案.

五、几何求解中的函数值域问题

【教师提问】A、B为动点，这道题要求解的是取值范围，同学们有什么解题思路？

【学生甲】可以尝试构造函数.

图1

【教师提问】好，那我们假设点A的坐标为（a，b）.

【学生甲】由题目已知条件可以知道，E—→A与E—→B垂直，（a-1）2+b2.又因为A点在椭圆上，满足1，a的取值范围为［-2，2］，所以2a+2.问题就转化成了求解关于a的二次函数在区间［-2，2］的值域，不难求解

【教学总结】在高考中，几何的范围问题是常见考点，运用到的思想方法比较多，将需要求解的范围转化成函数的值域问题是重要的方法.

通过以上题型的分析与解答，我们可以知道函数的值域问题会和诸多考点结合.解决这些问题的关键就是要熟练掌握函数值域的常见求解方法，同时要能够把题目中隐含的值域求解条件找出来.总的来说，这类问题考核的是学生的函数值域求解能力以及转化思维能力.J