☉江苏省常熟市王淦昌中学 王利亚

第一，高中函数知识相比初中函数知识来说，其形式化程度骤然加深，特别诸如“任意”“存在”“恒有”这样的高等数学逻辑用语的出现，让学生一时难以适应，抽象表达式f（x-2）=-f（x）等的出现、抽象函数符号f的引入，都大大影响了学生的认知，可以这么说，抽象化往往影响着函数知识的理解；

第二，较多知识的综合运用往往让函数知识尚不熟悉的学生寸步难行，从学生的反映来看，主要在于“懂而不会”，这成为学生中普遍存在的现象.

笔者以为，要熟练运用函数知识、提高函数认知、提升函数本质的理解，初学者需要遵循学习的一般性规律：即从感性到理想，从具体到抽象.因此，教学中的数形结合思想恰恰可以帮助学生更好地学习函数，本文小议“形”的重要性.

一、概念教学中的以形辅数

数学概念是集抽象性、归纳性于一体的极度形式化的知识本质的抽象.比如函数概念，是对其对应属性的一种高要求、特殊化的归纳，但是这一概念的表述对于初学者而言是形式化的、抽象的.教师的职责在于将抽象的函数相关概念用直观的手段给予揭示，并能从揭示中让学生获得相关概念的正确认知.

函数概念是中学数学中最重要的数学概念，其以高度抽象性以及重要性成为概念教学之首.众所周知，初中数学对于函数概念教学是以自变量和因变量的方式描述的，而且对于“任意”和“存在”这些高等数学用语在概念中的运用并不是特别强调，这与初中学生的认知接受能力有关.而高中数学函数概念的定义是明显偏向高等数学：对于任意两个非空数集A和B，集合A中的任何一个元素x在集合B中都有唯一的元素与之对应，称集合A到集合B的对应关系为函数关系，记作函数关系f.这样的抽象表述如何让学生实现理解呢？需要“形”的直观，给出下面四幅对应关系：

设计意图：高中数学中的函数概念较为抽象，教师设计以“图形”角度思考这一概念的理解过程，从感性的视角分别对概念中“任意的、唯一的、数集”等等概念中核心字眼角度思考辨别，提升对概念的理解力，这种教学手段是符合中学生心理预期的.显然，上述第一幅图和第三幅图是函数关系，第二幅图和第四幅图只能说是一种对应，其分别违背了概念中“任意的”和“数集”两个特征，这也恰恰是教师常常向学生渗透的函数关系是一种特殊的对应关系，主要指的是“一对一对应”和“多对一对应”，而“一对多对应”必定不是函数关系.给出联系，请学生思考：

练习：存在函数f（x），对任意x∈R都能满足下列等式的是______.

（1）f（sin2x）=sinx；

微课在当今时代得到大众广泛的关注正是由于其本身精简、短小、形象和具有趣味性等多方面的优势，对教师的课前预习、课堂教学、课后巩固等工作提供了莫大的便利，利用学生的碎片化时间加深了学生对于计算机专业知识的记忆和巩固，从而提升了计算机专业教学的效率和质量。在实际的高职院校计算机专业课程微课资源开发策略上要多考虑微课教育的优势，将微课应用到实际中去，结合高职院校具体的计算机专业教学内容为学生制作能够提高其计算机专业水平的微课内容，促进教学质量的提高。

（2）f（sin2x）=x2+x；

（3）f（x2+1）=|x+1|；

（4）f（x2+2x）=|x+1|.

简析：只要理解函数概念，对于这样的概念性问题自然也不难思考，显然从函数概念的视角，我们知道了函数关系是一种特殊的对应关系，即“一对一对应”和“多对一对应”，那么对于这样的概念考查自然胸有成竹、水到渠成了.对于（1），我们不妨令x=0，则此时的（f0）=0，即元素0在法则f下的对应元素是0，再令x=，则此时的（f0）=1，即元素0在法则f下的对应元素是1，那么根据函数概念的理解，即此时的对应关系并非是函数关系，而“一对多对应”必定不是函数关系，从而（1）并非函数法则.同理可验证后续，不赘述.

思考：以形辅数的概念教学大大加深了概念在学生脑海中的牢固程度，从而使得形式化的概念学习获得了更好的理解、思考、吸收，使得我们对于较为抽象的数学概念的认知获得了新的教学方式，有助于学生的理解和巩固.

二、具象函数中的以形辅数

具备具体解析式的函数，对于学生而言是比较容易接受的，但是随着函数模型的增加、难度的增大，学生对函数综合问题解决也凸显一定的障碍，而往往具备思维直观性的方式是几何凸显，因此在具象化模型下以形辅数成为问题解决的重要途径.

图1

分析：这是一个方程根的代数问题，而且是超越方程，显然要每个根都求出来并不现实.需要我们转换角度来思考，从几何图像上思考，将方程的根转换为函数的零点，因此本题从几何视角来说，即求函数=2sin（πx）（-2≤x≤4）所有交点的横坐标之和.思考两个函数的图像，其中函数是来源于初中数学基本右平移一个单位，中心为（1，0），函数g（x）=2sin（πx）（-2≤x≤4）的周期是2，且（1，0）恰为其一个中心，因此两个函数有公共的中心（1，0）.绘制函数图像，如图1所示，显然有八个零点，且以（1，0）呈现中心对称，所以x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，从而所有零点的和为8，所有根之和为8.

思考：不难发现，中学数学中的超越方程必定是以“形”为主要思考方式切入的，找对了问题解决的思路之后，要积极寻找函数（特别是已经掌握的基本初等函数模型）的三要素、三大性质，从而利用图像作为解决问题的基本手段.

三、抽象函数中的以形辅数

抽象函数是函数学习中难度较大的函数载体，学生往往对其的学习和理解均差于具象函数.学生对几个明显的抽象函数困难点，往往百思不得其解.比如：抽象函数定义域怎么求解？抽象函数间的表达式表述了什么含义？抽象函数的求解如何脱离抽象法则f进一步思考？等等.

（1）当m=8时，求f（-4）的值；

（2）当m=8且x∈［-8，8］时，求|f（x）|的最大值；

（3）对任意的实数m∈［0，2］，都存在一个正数K（m），使得当x∈［0，K（m）］时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值.

对于（1）：当m=8时，显然f（-4）=f（-2）=f（0）=7.

对于（2）：主要思考下x＜0部分其抽象表达式表述的含义是什么？通过第（1）小问，不难发现，当x＜0时，每间隔两个单位，其函数值相同，因此不难发现该函数是部分周期函数.考虑到抽象不利于问题的展开和解决，利用“形”将函数给予绘制.如图2所示.对于（2），0≤x≤8时，f（x）∈［-9，7］，-8≤x＜0时，f（x）∈（-5，7］，所以x∈［-8，8］时，|f（x）|max=9.

图2

思考：学生希望解决的函数问题其模型是有具体解析式的，对于缺乏具体解析式的函数，如何利用各种方法将其抽象性尽可能的感官化，是初学者亟需获得的，因此教学要关注这种转化、要多利用图形的特征给予表示，使其获得更好的理解.

总之，“形”在中学数学学习中占据了感官的重要地位，对“形”的适度使用，大大加深了知识的理解和运用，使学习获得更好的掌握.