张晨皓，孙发鱼，白瑞青

(机电动态控制重点实验室，陕西 西安 710065)

0 引言

随着现代科技的发展，人们对全球导航卫星系统[1](GNSS)定位精度的要求越来越高。GNSS的定位精度依赖于可见星的数目及其空间几何分布的状况，然而在特殊的地形条件下，如“城市峡谷”、深山矿区、地下通道等地，GNSS的接收机天线受到遮挡使可见星数目减少，无法保证定位精度。为了解决GNSS可见星数目不足的问题，人们发明了陆基伪卫星定位系统，该系统可以作为GNSS的地面增强系统，也可以在GNSS完全失效的情况下代替其进行独立定位。陆基伪卫星定位系统使用载波相位定位的方法，这种方法利用载波相位观测量进行定位，其定位精度较高，且对环境的适应性强。然而在利用载波相位观测量进行定位时会引入一个新的误差：整周模糊度。想要得到高精度的位置信息，就必须妥善解决整周模糊度的解算问题[2]。

关于整周模糊度的解算问题，国内外已经进行了许多研究。传统的解算方法是文献[2]提出的静态初始化法(Known Point Initialization，KPI)，这种方法技术比较成熟且系统结构简单，然而使用此法的先决条件是在解算开始之前已知接收机的初始坐标，否则便无法完成解算，因此这种方法不适用于陆基伪卫星定位系统。文献[3]基于GPS系统提出了最小二乘法和LAMBDA搜索算法[7]相结合的整周模糊度在线解算方法，这种方法不需要提前获知接收机的初始坐标，能够满足特殊地形条件下的定位需求，适用于陆基伪卫星定位系统。然而使用最小二乘法进行在线解算的过程中，观测方程的法方程会存在病态性问题，这会极大地影响解算精度。文献[5]提出了用岭估计法和截断奇异值法代替最小二乘法的在线解算方法，此方法的解算精度虽有所提升，但仍无法满足陆基伪卫星系统的定位需求。本文针对特殊地理环境下陆基伪卫星系统整周模糊度解算精度不足的问题，提出了基于TIKHONOV正则化方法[6]的陆基伪卫星定位系统整周模糊度在线解算的方法。

1 基于最小二乘法的陆基伪卫星整周模糊度浮点解解算方法

通常GNSS利用双差分观测的方式得到观测方程[7]，然后利用双差分观测方程进行整周模糊度的解算。陆基伪卫星定位系统的基站位于地面，一般不会存在很大的电离层误差，考虑到系统精度、系统复杂程度、系统成本等多方面因素，本文采用单差分观测的方式进行观测[2]。

先假设一个参考信号为接收机到伪卫星基站节点j的信号，再假设另一个信号为接收机到另一个节点i的同频信号，那么这两个信号的观测方程如式(1)、式(2)：

(1)

(2)

将两式相减，得出单差分观测方程如式(3)：

ΔΦij=(Φi-Φj)=

(3)

(4)

当接收机位置坐标无法获取时，可将坐标作为未知数进行解算[8]。假设对伪卫星系统做了n个历元的观测，再假设系统有m+1个伪卫星基站，那么每次观测能得到m个单差分观测方程，观测量矩阵z是一个m×n×1的矩阵，其表达式如式(5)：

(5)

由于每次观测时接收机的坐标都会产生变化，因此观测n次就会产生3×n个未知数，m个单差分观测方程意味着有m个单差分整周模糊度，所以未知数的数量是3×n+m个。不妨设未知数矩阵x的表达式如式(6)：

x=[xc，xN]=[xt1，yt1，zt1，xt2，yt2，zt2，…，

xtn，ytn，ztn，ΔN1，ΔN2，…，ΔNm]T

(6)

这样就可以写出单差载波相位定位方程如式(7)：

Δz=AccΔxc+ANNΔxN+ξ

(7)

根据最小二乘法的原理，各参数应当满足条件式(8)：

(8)

式(8)中的系数矩阵Acc和ANN是雅可比矩阵。系数矩阵Acc的表达式如式(9)：

(9)

其中，

Acc，t1=J(xt1，yt1，zt1)=

(10)

系数矩阵ANN的表达式如式(11)：

(11)

根据式(7)可以得出载波相位定位的法方程[9]如式(12)：

N0Y=Z

(12)

式(12)中，N0为法方程系数阵，

(13)

(14)

(15)

(16)

对应的最小二乘解为：

(17)

这样就得到了整周模糊度的浮点解ΔxN，整周模糊度在线解算的第一步也就完成了。然而当观测时间较短(仅有几个历元)时，伪卫星基站和接收机之间的几何图形变化较小，各历元观测量之间有较强的相关性，导致观测空间的多样性严重不足。在这种情况下，观测方程的法方程会呈现病态性[10]，此时解算出的整周模糊度浮点解会存在较大误差，因此必须妥善解决这一问题。

2 基于正则化的陆基伪卫星整周模糊度在线解算方法

整周模糊度的在线解算共分为两步，首先解算出整周模糊度的浮点解，然后利用解算出的浮点解来搜索整周模糊度的整数解，这个整数解即为整周模糊度最终的解。因此，整周模糊度浮点解的解算精度会直接影响到整周模糊度整数解的搜索精度，也就是整周模糊度的解算精度。

想要提高陆基伪卫星系统整周模糊度浮点解的解算精度，如何妥善解决观测方程法方程的病态性问题是一个关键性环节。首先分析法方程的病态性对整周模糊度浮点解解算精度的影响。

法方程中的系数矩阵N0和矩阵Z实际上都分别含有微小的观测误差δN0和δZ，那么相应的未知数矩阵Y也会产生微小误差δY，法方程的表达式如式(18)：

(N0+δN0)(Y+δY)=Z+δZ

(18)

相应的最小二乘解为：

(19)

将式(12)、式(17)带入式(19)，整理得

(20)

对上式的两端取2-范数，根据向量范数的三角不等式以及矩阵和向量范数的相容条件，将式(20)转换为：

(21)

整理式(21)，得：

(22)

(‖δZ‖+‖δN0‖‖Y‖)

(23)

对式(12)的两端也取2-范数，根据向量范数的三角不等式，得：

‖N0‖‖Y‖≥‖Z‖

(24)

(25)

将式(23)、式(25)左右相乘，得

(26)

通过分析可以看出，法方程的病态性问题对整周模糊度浮点解的解算精度影响很大，必须妥善解决这一问题。最直接的解决方法是增加观测时间，但是这种方法显然不符合定位系统“快速”的基本要求。既然这种方法行不通，那不妨通过改善整周模糊度的解算方法来提升整周模糊度浮点解的解算精度。

本文使用TIKHONOV正则化方法来削减法方程的病态性。根据TIKHONOV正则化原理，首先写出估计准则如式(27)：

‖N0Y-Z‖2+αΩ(y)=

‖N0Y-Z‖2+αYTRY=min

(27)

式(27)中，α为正则化参数，R为正则化矩阵，Ω(y)为稳定泛函，‖·‖表示2-范数。从上式可以看出，TIKHONOV正则化方法与一般最小二乘法的不同之处在于增加了一个稳定泛函Ω(y)，并且要求该泛函极小。

解算过程的关键是得出α和R。换言之，解算法方程病态问题的关键有两个：一是选取正则化矩阵R，二是计算正则化参数α。经过多次实验验证，决定采用如下数据：

其中，n为观测历元数，I3×3为3阶单位阵。

通过此法计算得出的法方程最小二乘解如式(28)：

(28)

与式(17)相比，TIKHONOV正则化方法得出的解当中多了一个R矩阵，此时法方程系数矩阵N0的条件数大大减小，法方程的病态性也就得到了削弱，从而缩小了整周模糊度浮点解的解算误差。

得到整周模糊度的浮点解之后，接下来要做的是搜索整周模糊度的整数解。传统的搜索方法原理很简单，就是利用整数最小二乘法求解差分载波相位方程。但是在经过差分运算后，各差分方程的整周模糊度之间存在一定的相关性。在本文观测历元较少的情况下，整周模糊度的相关性增大，整周模糊度的搜索空间也会随之增大，这样模糊度整数解的搜索效率就很低。

为了提高搜索效率，本文采用由Teunissen P.J.G提出的最小二乘降相关搜索法(LAMBDA)。LAMBDA算法的核心思路是从概率的角度出发，以离散的方式进行搜索。首先建立搜索准则如式：

(29)

对式(29)进行分析可以看出，它所确定的空间是一个椭球体空间，此空间以模糊度的浮点解作为圆心，其大小由门限参数χ2来决定，其方向和椭球率由模糊度协方差矩阵来决定。在利用LAMBDA算法进行运算时，首先利用Z变换，将模糊度浮点解协方差矩阵变换为整数。经过Z变换后，搜索空间将由椭球体转变为近似球体且体积不变，这样模糊度的候选组数将大大减小，从而提高了搜索效率。

3 仿真验证

本文使用Matlab软件对实验中的伪卫星定位系统进行数据解算和仿真，这其中用到了Matlab软件中的符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)，该工具箱能够提供包括微积分、线性代数在内的常见数学领域的函数库。对于Matlab软件和Symbolic Math Toolbox这里不再进行赘述。

实验首先要做的是搭建一个陆基伪卫星定位系统，本实验共使用五台伪卫星基站进行组网，分为一台主基站和四台从基站，各基站的位置坐标如表1所示。

表1 各基站的位置坐标

Tab.1 The coordinate of each base station

基站名称东西向坐标X/m南北向坐标Y/m高度坐标Z/m主基站000从基站1-371.166-1.883-13.921从基站2309.928493.650-12.360从基站3188.614-225.426-7.678从基站4-356.769-349.588-6.975

基站的几何分布二维图如图1所示。

图中“o”表示主基站，“+”表示从基站，各基站均搭载有信号发射机及发射天线。

我们将信号接收机和接收天线装配在一辆电动车上。实验开始时，这辆电动车在主基站附近做近似圆周运动，圆周的直径约为35 m，圆心坐标约为(0，-37)。电动车行驶的大致轨迹如图2所示。

本实验选取运动轨迹上均匀分布的八个点作为观测点，观测点的分布如图2所示。通过对这8个点的观测，我们可以得到8个历元的观测数据。

为了验证整周模糊度在线解算的精度，我们需要将模糊度的浮点解和整数解与模糊度的真值作对比。模糊度真值的计算是在已知接收机坐标的条件下进行的。我们选取主基站作为参考基站，将4个从基站的观测数据与主基站观测数据做差运算，再利用式(4)进行计算即可得到单差分整周模糊度，也就是模糊度的真值。

整个实验分为两个方案进行仿真。

方案一：不使用TIKHONOV正则化方法，仅使用最小二乘法解算整周模糊度的浮点解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整数解。

方案二：使用TIKHONOV正则化方法对法方程病态性进行削弱后再解算整周模糊度的浮点解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整数解。

对以上两方案进行仿真，得到的仿真结果及真值的对比如表2所示。

表2 模糊度浮点解、整数解及真值

Tab.2 The float solution，integer solution and true value of carrier phase ambiguity

模糊度序号方案一的浮点解方案一的整数解方案二的浮点解方案二的整数解模糊度真值N01-152.45-152-100.17-100-100N02-534.32-534-400.49-400-400N03-673.68-673-500.52-500-500N04-1035.39-1035-800.84-800-800

表2中的仿真结果表明，在使用方案一，即不使用TIKHONOV正则化方法的情况下，模糊度浮点解的误差有几十甚至几百单位，误差很大，因此很难搜索到精确的模糊度整数解；在使用方案二，即使用TIKHONOV正则化方法的情况下，模糊度浮点解的误差仅有不到一个单位，误差缩小了数十倍，此时搜索到的模糊度整数解与模糊度真值相同。

综合以上实验结果可以得出结论，本文提出的方法能够提高整周模糊度的解算精度。

4 结论

本文提出了基于TIKHONOV正则化的陆基伪卫星系统整周模糊度在线解算的方法。该方法根据陆基伪卫星定位系统所处的环境，使用TIKHONOV正则化方法对观测方程的法方程进行处理，对法方程的病态性进行削弱。仿真验证结果表明，使用TIKHONOV正则化方法削弱法方程的病态性后，整周模糊度浮点解的解算误差缩小了数十倍，据此搜索出的整周模糊度整数解与真值相同。由此可知本文提出的方法能够解决观测方程法方程的病态性问题，使模糊度浮点解的精度大大提高，模糊度整数解搜索的准确性也会随之提高，从而实现提高整周模糊度解算精度的目标。目前，基于TIKHONOV正则化的整周模糊度在线解算方法还没有在陆基伪卫星定位系统中得到实现，因此下一步工作的重点就是将此方法在工程当中实际运用，进一步完善陆基伪卫星定位系统的整周模糊度在线解算方法。

参考文献:

[1]李传军，彭钟锋，李兴城.惯性导航系统自适应辅助GNSS矢量跟踪方法[J].探测与控制学报，2014，36(5)：74-79.

[2]杨鑫.LOCATA系统定位算法研究[D].成都：西南交通大学，2015.

[3]Teunissen P J G.The least-squares ambiguity decorrelation adjustment：a method for fast GPS integer ambiguity estimation[J].Journal of Geodesy，1995，70(1-2)：65-82.

[4]De Jonge P J.The LAMBDA method for integer ambiguity estimation：Implementation aspects[J].No.12 of LGR-Series.1996，12.

[5]王振杰，欧吉坤，柳林涛.单频GPS快速定位中病态问题的解法研究[J].测绘学报，2005，34(3)3：196-201.

[6]孔令杰，黄观文.基于TIKHONOV正则化的短基线单历元模糊度解算方法研究[J].大地测量与地球动力学，2010，30(2):148-151.

[7]丛丽，王音心，路辉.基于动态判断的组合导航性能改进方法[J].探测与控制学报，2017，39(2)：1-6.

[8]Bertsch J，Choudhury M，Rizos C，et al.On-the-fly Ambiguity Resolution for Locata[C]//IGNSS Symposium on International Global Navigation Satellite System Society, Australia: IGNSS, 2009:232-243.

[9]孟世杰，苑克剑，韩明.Locata定位系统整周模糊度在线解算[J].电光与控制，2016，03：77-81.

[10]郭秋英，胡振琪.GPS快速定位方程的病态性对整周模糊度及基线解的影响[J].测绘科学，2007，32(2)：42-43.