孙测世，赵珧冰，康厚军，赵跃宇

(1.重庆交通大学 土木工程学院, 重庆 400074； 2.华侨大学 土木工程学院, 福建 厦门 361021；3.湖南大学 土木工程学院, 长沙 410082)

工程柔性结构的非线性动力学一直是研究的重点热点问题[1-3]。索、索-梁结构和斜拉桥是其中的典型代表，具有丰富的非线性动力学特性[4]，由此诱发的拉索大幅振动问题也已备受关注[5-6]。国内外学者从力学建模、有限元分析和实验研究多方面展开了大量研究[7-8]。目前，对斜拉索的研究较多[9-10]，而单独研究斜拉索无法考虑其与主梁或主塔间的耦合作用。因此，近年来也有许多学者研究索-梁结构非线性动力学。Xia等[11]研究了随机振动下索-梁结构的自激振动。Gattulli等[12-13]采用有限元、实验和数值分析研究了索-梁结构全局-局部模态的1∶2内共振。陈水生等[14]建立了考虑拉索与桥面耦合振动的非线性参数振动模型。赵跃宇等[15]也对索-梁结构内共振做了大量研究。王涛等[16]以有限元法研究了索梁耦合振动。Fung等[17]研究了时变斜拉索索力下索-梁结构的动力响应。Wei等[18]研究了索-梁结构的主参数共振、亚谐波共振等效应。实际结构往往具有多根拉索，因此，需建立更为复杂的动力学模型。Kang等[19]建立了双索单梁斜拉桥的模型。Song等[20-21]研究了具有4根拉索的双塔三跨式斜拉桥建模及涡激振动特性。Konstantakopoulos和Michaltsos建立了一座较简单的斜拉索悬索协作体系桥的非线性动力学模型[22]。尽管如此，对于拥有数十根甚至上百根拉索的斜拉桥的非线性动力学建模、求解等仍存在诸多困难。因此，对斜拉桥非线性动力学行为的研究主要是利用有限元进行模态分析得到各振动模态；然后根据频率间的倍数关系确定可能的非线性耦合振动；再结合现场或实验测试识别模态，从而研究索-梁-塔非线性耦合振动[23]。El Ouni[24]通过模型实验研究了双悬臂状态下的斜拉桥参数振动与控制。Caetano等[25-26]制作了Jindo桥缩尺模型，分析了各阶局部模态、全局模态和混合模态，并通过振动台实验观察到了索-梁-塔非线性耦合振动。之后，Caetano等[27]又对Guadiana桥进行现场测试，观测到不同模态间的内共振及斜拉索“拍振”。Wu等[28]对Megami桥的非线性耦合振动进行了测试。

以上研究虽不同程度的观测到了索-梁-塔非线性耦合振动，但斜拉桥模态频率分布密集，结构(特别是拉索)动力响应通常是多种模态间的多重内共振的结果。多模态究竟如何相互耦合，如何由一种模态激发其它模态，仅仅凭借频率间的倍数关系去研究显然是不够的。因此，有必要研究各模态的相互耦合过程。笔者曾开展了具有44根拉索的斜拉桥模型实验[29]，在模型的主梁跨中处施加激励，观测到多重内共振及其导致的全桥大幅振动；发现当外激励频率约为长索固有频率2倍时，该单频激励能同时激发拉索两个相近的响应频率(“拍振”)，且两者之和恰好等于激励频率。然而，对于以上现象，虽竭力思索仍未曾有合理解释。鉴于此，本文在文献[29]的基础上开展进一步研究。通过无相移滤波分离的振动信号和整体振动曲线研究了多模态耦合过程，揭示了该现象的机理。研究表明：该振动现象是斜拉桥多重内共振及其模态相互作用的表现，是强迫振动、局部-混合模态耦合振动和组合内共振共同存在的结果。本文是经进一步研究后的重新认识，是对文献[29]的补充和完善。

1 实验方案

1.1 实验设计

本实验的原型基于象山港大桥，大桥主桥为主跨688 m的半漂浮体系斜拉桥。斜拉索采用7 mm直径高强度、低松驰镀锌平行钢丝拉索，梁上标准索距15 m。抗拉强度为1 670 MPa，全桥共4×22×2=176根斜拉索。主梁为扁平流线形封闭钢箱梁，梁高3.5 m(桥梁中心线内轮廓)，其上翼缘为桥面板，采用正交异性板结构。主梁钢箱梁钢板采用Q345D钢。含风嘴全宽34.0 m，不含风嘴顶板宽26.4 m。主塔为钻石型塔，高225.5 m，采用C50混凝土。根据存放模型的房间大小，采用缩尺比1∶250进行设计。因缩尺后构件尺寸和间距太小，制作加工很困难，配重和斜拉索位置也有冲突。不得不做出适当调整：不考虑主梁扭转振动，将双索面改为单索面，再将原立面布置的斜拉索两两合并，减少斜拉索根数，然后重新调整索力，调整原则为：保证结构静态构型和原设计一致。调整后的斜拉索主要参数见表1(仅示出一岸，另一岸与之对称)。

表1 斜拉索参数表Tab.1 Parameters of stay cables

实验模型跨径布置为(1 375 + 2 750+ 1 375) mm，主梁采用(100×5) mm矩形铝合金板，保证抗弯刚度满足相似关系，忽略轴向刚度相似关系。每个主塔均采用两根(38×25×0.8) mm矩形铝合金管分立于主梁两侧，也保证抗弯刚度满足相似关系。模型与原型参数的相似关系见表2。斜拉索采用∅0.5 mm不锈钢丝绳，在跨中和L/4截面处布置2片相互垂直的(25×10×0.2) mm薄铝片作为面内和面外振动的测点。斜拉索上设置∅10×16 mm圆柱体铁质配重，利用配重间距调整拉索单位长度重量。为便于配重安装，同时保证配重重心和斜拉索重心重合，以减小重心偏离对拉索振动的影响，采用线切割沿直径方向割开宽0.5 mm，深5.3 mm槽口。全桥共44根斜拉索，其主梁和主塔上标准间距分别为120 mm和30 mm。本桥为半漂浮体系，主梁和主塔连接处设置圆钢，并涂抹润滑油以释放主梁纵向约束。为保证精度，所有构件均采用精加工制作。实验模型整体布置和斜拉索编号见图1。

表2 模型相似参数汇总Tab.2 Summary of model similarity parameters

图1 斜拉桥实验模型 (mm)Fig.1 Experimental model of cable-stayed bridge (mm)

1.2 测点布置

各测点布置如下：在中跨和边跨的各个L/4及L/2截面设置差动变位式位移传感器(LVDT)观测竖向位移；在主梁端部布置LVDT观测主梁的纵向漂移振动；在主塔塔顶处布置LVDT记录其水平向振动位移；斜拉索振动是重点观测对象，选取具有代表性的长索进行研究，在索A11跨中截面布置激光位移传感器观测面内振动；在索J11跨中和下L/4截面均布置激光位移传感器观测面内振动。在主梁跨中截面下方放置激振器激励梁体，在上方设置高精度电涡流传感器同步记录激励信号。全桥测点布置和编号见图2，图中数字为传感器的编号(后文以“Sensorx”表示编号为“x”的传感器)，箭头表示该传感器测试的振动方向。

图2 测点布置图Fig.2 Layout of measurement points

2 基本动力特性

斜拉索实测频率见表3。表中部分短索因振动模态较难被激发以及周围干扰影响过大未测得具体频率值。

对斜拉桥模型进行模态识别，得到5阶整体振动频率及阻尼比；同时，采用有限元对比(见表4)。除部分模态没有识别到外，有限元结果与实验值较为接近。

表3 斜拉索频率汇总表Tab.3 Frequencies of stay cables

表4 整体振动频率及阻尼比Tab.4 Frequencies and damping ratios of global vibration

3 索-梁-塔非线性耦合振动及其过程

3.1 实验现象

当激励频率f1=10.25 Hz时观察到主梁、主塔和斜拉索均出现大幅振动。由表3可知，该激励频率约为最长索(A11、J11、A11’和J11’)固有频率的2倍。各通道时程曲线及频谱图见图3。由于时程曲线类似，本文仅示出全桥一半测点的数据，图中纵坐标传感器编号及其测试振动的方向见图2。可以看到结构振动经历了三个阶段：①在5～20 s时(激振器在第5 s时启动)，所有构件振动均非常小；②约第20 s后，结构振幅开始急剧增大，并在随后的25 s时间内增大几倍甚至几十倍；③约第45 s后各测点振动均处于大幅稳态振动。由图3(a)可知，全过程中激励幅值基本保持不变，这说明结构后期的大幅振动蕴含着强烈的内共振。

由图3(b)和(c)可知，斜拉索A11和J11的响应频率组成中几乎没有激励频率f1，而是出现了两个相近的频率f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz，即：一个激励频率激发出两个响应频率。值得一提的是，三者间正好存在关系：f2+f3=f1(FFT分析存在一定误差)。从形式上看，这与主共振、亚/超谐波共振、组合共振和联合共振不同[30]。三者的关系类似于组合共振，不同的是组合共振是两个外激励频率的线性组合等于结构的一个响应频率，而该共振是结构的两个响应频率之和等于一个外激励频率。

由图3(d)～图3(i)可知，主梁竖向振动响应频率主要组成是f1和f2，而f3的贡献很小。主梁纵向漂浮振动幅值较小，仅约为竖向的1/5，且其存在多个主频。主塔振幅比主梁稍小，其主频仅为f2。

图3 振动时程曲线及频谱图Fig.3 Vibration time histories and their spectrums

3.2 分段分析

为进一步探究该共振发生和变化的过程，对主梁跨中竖向(激励处)、斜拉索J11跨中面内和边跨跨中竖向振动的时程曲线局部放大。取振动开始的前几秒和稳态振动的后几秒绘制局部时程曲线及频谱图见图4，图中纵坐标传感器编号及其测试振动的方向见图2。需要说明的是，图3和图4中的频谱图在做FFT分析的时候数据点数不一样，故得到的频率值存在一定误差。可以看到：振动初期主梁、主塔和斜拉索振动均很小，且此时激励及主梁振动均为小幅单模态振动。之后，主梁、主塔和长索的振幅均迅速增大，出现稳态的“拍振”。由频谱图可知：激励频率在振动刚开始时仅有10.243 Hz这一成分(对应图3中的10.25 Hz)，但后期稳态振动又出现2个较小的频率成分。斜拉索J11在振动初期的主频率为10.243 Hz，并伴随有2个其它频率成分，而后期稳态振动时10.243 Hz主频几乎消失，并激发出4.659 Hz和5.579 Hz两个主频。边跨跨中振动起初也仅有与激励频率相同的成分，之后激发出4.659 Hz的成分并占据主导。

事实上，数据采集过程中也实时观察到了各通道频率的变化情况：主梁和主塔刚开始仅有频率f1=10.25 Hz，之后逐渐出现f2=4.662 Hz的频率成分，且对应幅值也逐渐增大。斜拉索起初仅有f1=10.25 Hz的频率成分，之后同时出现f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz两个频率成分并逐渐增大占绝对主导。

图4 时程曲线局部放大及频谱图Fig.4 Enlarged time histories and their spectrums

3.3 分离的振动信号与斜拉桥整体振动曲线

本实验斜拉桥仅在主梁跨中承受频率为10.25 Hz的单频激励，而斜拉索稳态响应竟出现4.662 Hz和5.585 Hz两种主频的“拍振”，且三者不是倍数关系，而是f2+f3=f1。

为进一步研究非线性耦合振动发生的过程，将各通道的实测振动信号进行无相移滤波，分别分离出4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz附近频率成分，得到各频率对应的振动时程曲线与频谱图见图5，图中纵坐标传感器编号及其测试振动的方向见图2。限于篇幅，仅给出中跨跨中(激励处)、J11跨中面内振动、边跨跨中竖向振动和1#主塔塔顶水平向振动的图像。同时，利用分离后的数据，绘制主梁和主塔各测点在4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz主频下的斜拉桥整体振动曲线如图6。图6中选取了振动初期(第20 s)和振动达到稳态大幅振动时(第60.02 s)两种状态进行对比。

由图5(d)～图5(f)可知：4.662 Hz和5.585 Hz是斜拉索J11的主导频率，但两者是由其它振动激发的。由图5(j)～图5(l)也可知：主塔振动以4.662 Hz为主导频率，但其也是由其它振动激发的。结合图4～图6可知：振动初期，在10.25 Hz激励的直接作用下，主梁仅发生频率为10.25 Hz的振动，且主塔和斜拉索振动均很微小，是一种主梁的局部振动。从图6的振动曲线可知，10.25 Hz的振动为主梁一阶对称弯曲振动。

随着时间的推移，主梁一阶对称弯曲振动逐渐激发出主梁的4.662 Hz振动(图5(g))，这可以从图5(g)和图5(i)振幅变化得到印证。不仅如此，该局部振动还同时激发出主塔和斜拉索4.662 Hz振动，从而出现全桥性大幅振动。图6振动曲线表明该4.662 Hz频率对应的振动形式为一阶反对称弯曲振动，是一种混合模态(如图3(c))。根据模态测试结果(表1)，一阶反对称弯曲振动频率为4.77 Hz，两者之比为0.977。这说明处于非线性大幅振动的斜拉桥其非线性模态频率将小于线性模态频率。这与文献[27]对Guadiana大桥现场测试的结果一致。

以上分析可知：虽然斜拉桥整体结构仅承受来自跨中的单频外激励(10.25 Hz)，但是，其内共振使结构出现了新的频率(4.662 Hz)，故而，此时斜拉索承受着多种频率的端部激励。斜拉索J11在主梁一阶对称弯曲振动(10.25 Hz)和全桥一阶反对称弯曲振动(4.662 Hz)两种端部激励共同作用下，发生组合内共振，激发出5.585 Hz的频率。这就是本桥在单频外激励作用下能激发出拉索两个响应频率，且f2+f3=f1的根本原因。与此同时，J11的大幅振动反作用于主梁和主塔的振动，使两者出现5.585 Hz的弱振动(图5(b)、图5(h)和图5(k))。

图5 分离的振动信号及频谱图Fig.5 Separated vibration signals and their spectrums

图6 各频率对应的振动曲线Fig.6 Vibration curves of different frequencies

4 结 语

在斜拉桥的非线性动力学模型实验中，观测到单频激励作用下，多重内共振及其导致的大幅全桥振动。当该激励频率约为长斜拉索固有频率2倍时，拉索发生大幅“拍振”，且两个拍频之和正好等于外激励的频率。通过对耦合振动过程的研究，得到如下认识：

(1) 非线性效应使斜拉桥非线性模态频率比按模态识别确定的线性模态频率低。

(2) 斜拉桥多重内共振需一定时间才能达到稳态振动，即：需要积蓄足够的能量方能激发索-梁-塔的大幅振动。

(3) 对耦合过程的分析，是弄清多模态相互激发关系的有效手段。本实验中10.25 Hz的外激励先激发主梁10.25 Hz主梁局部振动(强迫振动)，再激发4.662 Hz混合模态(局部-混合模态耦合振动)；同时，由该混合模态与主梁局部振动组合激发出斜拉索的5.585 Hz振动(组合内共振)。这是单频激励能激发斜拉索“拍振”，且两“拍频”之和恰好等于该激励频率的根本原因。

参 考 文 献

[1] SUN C S, ZHAO Y B, WANG Z Q, et al.Effect of longitudinal vibration of the girder on nonlinear responses of a cable in cable stayed bridge[J].European Journal of Environmental and Civil Engineering, 2017, 21(1): 94-107.

[2] 刘海涛，魏明海，肖仪清，等.索-梁耦合结构非线性分析[J].振动与冲击，2015，34(14): 147-152.

LIU Haitao, WEI Minghai, XIAO Yiqing, et al.Nonlinear response analysis of a cable-beam coupled system[J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(14): 147-152.

[3] 孙测世，康厚军，赵珧冰等.斜拉索非线性振动跳跃过程试验研究[J].固体力学学报，2015，36(5): 429-435.

SUN Ceshi, KANG Houjun, ZHAO Yaobing, et al.Experimental research on jumping course of inclined cable in nonlinear vibration[J].Chinese Journal of Solid Mechanics, 2015, 36(5): 429-435.

[4] WARMINSKI J, ZULLI D, REGA G, et al.Revisited modelling and multimodal nonlinear oscillations of a sagged cable under support motion[J].Meccanica, 2016, 51(11): 2541-2575.

[5] SAVOR Z, RADIC J HRELJA G.Cable vibrations at Dubrovnik bridge[J].Bridge Structures, 2006, 2(2): 97-106.

[6] NI Y Q, WANG X Y, CHEN Z Q, et al.Field observations of rain-wind-induced cable vibration in cable-stayed Dongting Lake Bridge[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2007, 95(5): 303-328.

[7] 郭铁丁，康厚军，王连华,等.工程索结构动力学-非线性建模与分析[J].力学与实践，2016, 38(2): 119-125.

GUO Tieding, KANG Houjun, WANG Lianhua, et al.Dynamics of engineering cable: nonlinear modelling and analysis[J].Mechanics in Engineering, 2016, 38(2): 119-125.

[8] 康厚军，郭铁丁，赵跃宇.大跨度斜拉桥非线性振动模型与理论研究进展[J].力学学报，2016, 48(3): 519-535.

KANG Houjun, GUO Tieding, ZHAO Yueyu.Review on nonlinear vibration and modeling of large span cable-stayed bridge[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2016, 48(3): 519-535.

[9] EL OUNI M H, BEN KAHLA N.Nonlinear dynamic analysis of a cable under first and second order parametric excitations[J].Journal of Civil Engineering and Management, 2012, 18(4): 557-567.

[10] MACDONALD J H G.Multi-modal vibration amplitudes of taut inclined cables due to direct and/or parametric excitation[J].Journal of Sound and Vibration, 2016, 363: 473-494.

[11] XIA Y, FUJINO Y.Auto-parametric vibration of a cable-stayed-beam structure under random excitation[J].Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 2006, 132(3): 279-286.

[12] GATTULLI V, LEPIDI M, MACDONALD J H G, et al.One-to-two global-local interaction in a cable-stayed beam observed through analytical, finite element and experimental models[J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005, 40(4): 571-588.

[13] GATTULLI V, LEPIDI M.Localization and veering in the dynamics of cable-stayed bridges[J].Computers and Structures, 2007, 85(21/22): 1661-1678.

[14] 陈水生，孙炳楠.斜拉桥索-桥耦合非线性参数振动数值研究[J].土木工程学报，2003，36(4): 70-75.

CHEN Shuisheng, SUN Bingnan.Numerical study on nonlinear parametric vibration of coupled cables and bridge decks[J].China Civil Engineering Journal, 2003, 36(4): 70-75.

[15] 赵跃宇，蒋丽忠，王连华, 等.索-梁结构的动力学建模理论及其内共振分析[J].土木工程学报，2004，37(3): 69-72

ZHAO Yueye, JIANG Lizhong, WANG Lianhua, et al.The dynamical modelling theory and internal resonance of cable-beam composite structure[J].China Civil Engineering Journal, 2004, 37(3): 69-72.

[16] 王涛，沈锐利.基于动力非线性有限元法的索-梁相关振动研究[J].振动与冲击，2015，34(5): 159-167.

WANG Tao, SHEN Ruili.Cable-beam vibration study with nonlinear dynamic FEM[J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(5): 159-167.

[17] FUNG R F, LU L Y, HUANG S C.Dynamic modelling and vibration analysis of a flexible cable-stayed beam structure[J].Journal of Sound and Vibration, 2002, 254(4): 717-726.

[18] WEI M H, LIN K, JIN L, et al.Nonlinear dynamics of a cable-stayed beam driven by sub-harmonic and principal parametric resonance[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2016, 110: 78-93.

[19] KANG H J, GUO T D, ZHAO Y Y, et al.Dynamic modeling and in-plane 1∶1∶1 internal resonance analysis of cable-stayed bridge[J].European Journal of Mechanics-A/Solids, 2017, 62: 94-109.

[20] SONG M T, CAO D Q, ZHU W D.Vortex-induced vibration of a cable-stayed bridge[J].Shock and Vibration, 2016: 1-14.

[21] SONG M T, CAO D Q, ZHU W D, et al.Dynamic response of a cable-stayed bridge subjected to a moving vehicle load[J].Acta Mechanica, 2016, 227(10): 2925-2945.

[22] KONSTANTAKOPOULOS T G, MICHALTSOS G T.A mathematical model for a combined cable system of bridges[J].Engineering Structures, 2010, 32(9): 2717-2728.

[23] REN W X, PENG X L, LIN Y Q.Experimental and analytical studies on dynamic characteristics of a large span cable-stayed bridge[J].Engineering Structures, 2005, 27(4): 535-548.

[24] EL OUNI M H, BEN KAHLA N, PREUMONT A.Numerical and experimental dynamic analysis and control of a cable stayed bridge under parametric excitation[J].Engineering Structures, 2012, 45: 244-256.

[25] CAETANO E, CUNHA A, TAYLOR C A.Investigation of dynamic cable-deck interaction in a physical model of a cable-stayed bridge.Part I: Modal analysis[J].International Journal on Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000(29): 481-498.

[26] CAETANO E, CUNHA A, TAYLOR C A.Investigation of dynamic cable-deck interaction in a physical model of a cable-stayed bridge.Part II: seismic response[J].International Journal on Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000(29): 499-521.

[27] CAETANO E, CUNHA A, GATTULLI V, et al.Cable-deck dynamic interactions at the International Guadiana Bridge: On-site measurements and finite element modelling[J].Structural Control and Health Monitoring, 2008, 15(3): 237-264.

[28] WU Q X, KITAHARA Y C, TAKAHASHI K, et al.Dynamic characteristics of Megami cable-stayed bridge-A comparison of experimental and analytical results[J].Steel Structure, 2008, 8(1): 1-9.

[29] 孙测世.大跨度斜拉桥非线性振动试验研究[D].长沙: 湖南大学, 2015.

[30] NAYFEH A H, MOOK D T.Nonlinear oscillations[M].Wiley-Interscience, New York, 1995.