覃 会，郑洪波，张志谊,2

(1.上海交通大学 机械与动力工程学院 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240；2.高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240)

推进系统噪声主要包括螺旋桨旋转形成的水动力噪声以及轴系-壳体耦合振动形成的结构辐射噪声。在低速航行状态下，结构辐射噪声是主要的。结构辐射噪声主要由机械振动引起，一部分是由于各种机械运转设备的振动直接通过安装基座、管道联接等激发壳体结构，另一部分是由于推进轴系振动直接通过轴承基座激发壳体结构。螺旋桨在不均匀伴流场中运转时会产生包含窄带周期和宽频随机成份的激振力，推进轴系是一个多支承的连续弹性体，轴系纵、横振动主要由螺旋桨脉动载荷所致。控制轴系横向振动，就有可能降低由耦合系统横向振动引起的辐射噪声[1]。国内外对轴系纵向振动控制已有大量研究[2-6]，但是横向振动控制研究较少。主要研究集中在横向振动固有频率、轴系回旋振动计算等方面[7-10]。

振动控制按实现手段可分为五类：消振、隔振、吸振、阻振和结构修改[11]。本文采用电磁轴承对轴系横向振动进行控制，重点分析含电磁支承的推进轴系的动力学特性。电磁轴承相对于传统轴承具有许多优点，电磁轴承无接触磨损、无需润滑、工作寿命长且维护费用低。电磁轴承的动态性能主要取决于所采用的控制规律，这样就有可能通过控制手段在物理极限内使刚度和阻尼与轴承的工作环境甚至运行状态相适应[12-14]。电磁轴承可以采用不同的控制算法和控制器，相关研究较多[15-20]。

本文通过动力学模型，分析电磁支承的电磁力和刚度特性、线性化及误差，并简单讨论PD控制参数对轴系动态特性的影响，为后续轴系振动控制研究提供参考。

1 电磁轴承系统的数学模型

在电磁轴承中，磁极一般对称布置，采用对称的功放电路，按差动模式驱动电磁铁，可获得一对方向相反的电磁力，如图1所示。

图1 单自由度电磁轴承差动驱动Fig.1 Differential driving mode of the single DOF magnetic bearing

忽略电磁铁磁阻及磁通边缘效应，当转子轴心有偏移时，两电磁铁的作用力为

(1)

假设振幅x≪s0且动态电流ix≪i0，利用Taylor级数展开，将电磁力线性化，可以得到

Fx≈kiix+ksx

(2)

(3)

电磁力误差随Δx变化的最大值和最小值如图2所示。

图2 电磁力误差随Δx变化Fig.2 Error of magnetic force

图3为典型的单自由度电磁轴承控制系统框图。转子位移由位移传感器实时检测，并将信号送给控制器，控制器产生控制信号U，经功率放大器产生控制电流I，电磁轴承定子与转子铁芯将控制电流转化为作用于转子的电磁力。整个系统由电磁铁(线性化的动力学模型为G(s))、功率放大器ka、位置传感器kb及控制器Gc(s)组成，输出位移为X(s)，位移传感器的输出为Z(s)。

图3 电磁轴承控制系统框图Fig.3 Block diagram of magnetic bearing control system

电磁力的傅里叶变换为

F(s)=kiI(s)+ksX(s)

(4)

由图3可知

I(s)=kbX(s)·Gc(s)ka

(5)

(6)

式(6)表明，磁轴承的动态刚度和动态阻尼不仅与系统参数有关，而且与频率ω有关。

若采用PD控制，则等效刚度和阻尼分别为

K=kikp+ks,C=kikd

(7)

式中：kp和kd分别为PD控制的比例系数和微分系数。

2 支承特性分析

(8)

(9)

(10)

(11)

根据刚度定义，无量纲刚度为

(12)

由此可知，无量纲刚度与无量纲位移是非线性的关系。如果不考虑非线性，直接进行线性化，则得到线性化无量纲刚度

(13)

图4 不同情况下的刚度和支承力变化规律(点画线-线性化无量纲刚度；深色实线-无量纲刚度；浅色实线-无量纲支承力)Fig.4 Stiffness and magnetic force with different

3 梁横向振动特性分析

考虑如图5所示的轴系，视为三个弹性支承的等截面梁，每段长度分别为l1、l2、l3，弹性支承刚度分别为k1、k2、k3，梁截面为圆形，横截面积Aa，弹性模量E，I为梁截面对y轴的惯性矩，材料密度ρ，梁左端附有大圆盘(考虑陀螺力矩的作用)，右端为弹性支承，圆盘质量m，极转动惯量Jp，直径转动惯量Jd。

图5 轴系简化模型Fig.5 Simplified model of the shaft system

将轴系分为三段，对于第r(r=1,2,3)段等截面梁，自由振动微分方程为

(14)

根据分离变量法，梁的y向挠度为：wr(x,t)=Wr(x)ejωt，z向挠度为：ur(x,t)=Ur(x)ejωt。 其中，振型函数为

(15)

固有频率

(16)

第一段轴的左端为大圆盘，设轴的转速为Ω，考虑陀螺力矩的作用，则满足以下边界条件

(17)

第二段轴左右两端(r=1,2)均为弹性支承，满足

(18)

第三段轴的右端为弹性支承，满足条件

(19)

上述三式是在y向所需满足的条件，z向同理可得。根据以上边界条件和中间连接条件，可以得到关于振型系数的方程，由系数矩阵行列式为零，可以求得系统的固有频率，同时也可以得到振型函数，整个轴系的振型函数是三段轴的分段函数。

在x=x0处受简谐力p(x,t)=P(x=x0)ejωt作用时，x处的频响函数可以利用振型叠加法求得

(20)

表1为不同转速下系统的垂向固有频率，在低转速下(0～600 r/min)，轴系前五阶频率变化百分比最大为1.01%，由此可见，陀螺力矩对固有频率影响很小。后面对轴系进行动力学分析时，不考虑陀螺力矩影响。

表1 不同转速下系统的垂向固有频率Tab.1 Vertical natural frequencies of the shaft system under varying rotating speeds

将电磁轴承引入轴系中，若不考虑电磁轴承的阻尼特性，可将其简化为弹簧支承(从左至右依次为第一、第二、第三弹性支承)，如图6所示，其中ke为电磁轴承等效刚度，与支承k2并联。无控制时，电磁轴承提供负刚度-ks，采用PD控制时ke=kikp-ks。

图6 电磁轴承支撑时轴系简化模型Fig.6 Simplified shaft model with a magnetic bearing

4 算 例

计算梁参数：l1=1.5 m，l2=6.13 m，l3=3.85 m，梁截面半径为R=0.15 m，E=2.1E+011 Pa，ρ=7 800 kg/m3。

4.1 固有特性

如表2所示为不同控制参数下轴系的固有频率。由表可知，随着比例系数的增大，轴系的前五阶固有频率呈现增大的趋势。由此可以说明，比例系数对电磁轴承负刚度有补偿作用，改变比例系数可以改变电磁轴承提供的等效刚度，从而改变系统振动固有频率。

表2 轴系前五阶固有频率Tab.2 The first five natural frequencies of the shaft

图7 有无磁轴承时轴系前五阶固有振型(向模态质量归一化)(图中三角符号从左到右依次标记三个支承位置)Fig.7 Comparison of mode shapes with or without magnetic bearing

4.2 传递特性

在左端大圆盘质心处施加垂向简谐激励，幅值1 N，频率范围为0～100 Hz，频率分辨率为0.5 Hz，计算幅频特性。分别提取三个弹性支承的位移响应，位移乘以相应的支承刚度即为各弹性支承的界面力，结果如图8所示。

图8 三个弹性支承的界面力响应幅值Fig.8 Force magnitude of the three bearings

由图8可知，电磁轴承及控制环节的加入使得固有频率会发生偏移，振动响应发生变化，其中第二个弹性支承的响应变化较大，实际上这是振型函数的变化造成的。由式(20)可知，对于第n阶固有频率附近的频响函数，主要取决于第n阶振型函数的贡献，其与第n阶振型函数在激励点及响应点的函数值成正比，与该阶模态质量成反比。如图7(c)、图7(d)所示，由轴系的第三阶固有振型可以看出，原轴系与含磁轴承时振型形状基本相同，但是归一化后量级相差较大，含电磁轴承时的归一化振型函数小于无电磁轴承的归一化振型函数。在采用振型叠加法计算频响时，由频响函数计算公式(20)可以看出，含磁轴承的频响幅值比原轴系显著降低。

5 结 论

本文针对推进轴系横向振动控制问题，提出采用电磁轴承抑制支承振动传递的方法，建立了包含电磁轴承的简化轴系动力学模型，根据梁横向振动理论求解轴系横向振动固有频率和传递特性，分析了不同控制参数下的系统振动特性和传递特性。根据仿真结果可以得到如下结论：

(1) 在低转速下(0～600 r/min)，陀螺力矩对轴系横向振动固有频率影响很小，对轴系进行动力学分析时，可以不考虑陀螺力矩影响。

(2) 电磁轴承线性化刚度与控制参数有关，要想获得期望的线性化实用范围，要选取合适的控制参数。

(3) 电磁轴承控制参数的变化可以改变电磁轴承提供的等效刚度，从而改变系统固有频率和振型，最终使传递特性发生改变。

本文从原理上说明了电磁轴承用于推进轴系横向振动刚度控制的可行性，通过引入电磁轴承，可以控制推进轴系横向振动，进而减小螺旋桨振动通过轴系向船体传递。

参 考 文 献

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