韩 涛， 刘 伟， 张子骏， 赵通来， 刘永寿

(西北工业大学 力学与土木建筑学院， 西安 710129)

航空液压管道的流致振动是液压系统“跑冒滴漏”的重要原因之一。但航空管道系统走向、布局复杂。目前航空液压管路的动力学分析方法存在以下两个问题：① 主要针对单个管路(包括直管、曲管等)的流固耦合振动分析，难以反映管路局部系统或者整体系统的动态品质，难以满足航空工程复杂管路分析的需求；② 传统液压系统动态特性分析将管路简化为一维模型，偏重液压系统功能性质分析，但是难以反映空间管道结构的响应和振动问题。随着未来战机减重和提高机动性与生存力的要求，液压系统向高压化发展，这样对航空管道的强度和稳定性要求越来越高。因此，有必要对复杂管路系统流致振动的分析方法展开进一步研究。

输流单管(包括直管、曲管等)的流固耦合振动问题已有大量的研究，Paisoussis等[1]推导出了输流直管振动方程并对其进行稳定性分析。Housner[2]研究了两端支撑直管的动力学特性，他采用Euler-Bernoulli梁模型，忽略重力、结构阻尼、外部拉压力和流体压力效应，不考虑流体黏性、可压缩性，获得了输流直管的横向振动控制方程。输流曲管的研究过程中一直存在轴线可伸长和不可伸长两种假定，其主要区别在于是否考虑轴向力作用。Chen[3-4]应用Hamilton原理建立了轴线不可伸长曲管的运动方程。Misra等[5-6]分别基于轴线可伸长和不可伸长假定对曲管平面内和平面外振动进行了分析。在此基础上，很多学者对单个管路的流固耦合振动特性进行了深入研究，包括线性稳定性研究[7-8]、非线性振动研究[9-10]、模型的数值解法研究[11]以及管道的振动控制研究[12-13]等，为输流单管的流致振动分析建立了较为完善的理论体系。

然而，在实际工程应用中，输流管路系统的几何形状往往比较复杂。对于这些复杂管路，很难建立其振动分析的解析方法，因此一些数值方法和半解析方法逐渐被研究者采用，如有限元法[14-15]、动力刚度矩阵法[16-21]、传递矩阵法[22-23]、子结构法[24]等。其中有限元法通用性最强，但其计算量很大。动力刚度矩阵法的计算精度不依赖于单元数量，对于尺寸很大的单元它依然能够保证精度，因而可适用于复杂管路的振动分析。Koo等采用Euler-Bernoulli梁理论建立了直管单元的动力刚度矩阵，并采用传递矩阵法推导了曲管单元的动力刚度矩阵，完成了复杂管路基于直管Euler梁模型的组集，为复杂管路的动力学分析提供了重要思路。随后，Koo 等采用同样方法对液态金属炉热管系统的动态特性进行了研究。Shen等[25]研究了由周期复合材料结构组成的复杂管路的减振问题，将管路中的曲管部分划分为一系列直管单元来近似，基于直管Timoshenko梁模型完成组集。Dai等[26]在输流直管控制方程中加入轴向组合力项，结合传递矩阵法建立管路系统动力刚度矩阵，并分析了流速、轴向组合力对单管和复杂管路频率响应函数的影响。但是，已有的研究中在构建管路系统动力刚度矩阵时，都是基于单直管模型，即“直管-直管”组集，未曾实现“直管-曲管”组集[27]。另外，算法中对曲管部分常采用有限数目的直管单元来近似，再结合传递矩阵法来推导，过程比较繁琐，还可能导致动力刚度矩阵维度增加。

因此，本文对曲管采用曲管单元的精确模型，提出复杂管路系统模态分析的直曲组集算法。首先基于Euler-Bernoulli梁理论，在局部坐标系下建立直管单元和曲管单元自由振动的离散模式及动力刚度矩阵；然后在全局坐标系中实现直曲组集，建立复杂管路的系统动力刚度矩阵和特征方程；最后采用所提算法分析管路布局对“Z”形管路固有频率的影响规律，建立经验公式，并加以试验验证。

1 输流直管的动力刚度矩阵

输流直管模型，如图1所示。管道长度为L，管道各处横截面相同，弹性模量为E，剪切模量G，单位长度质量为mp。流体相对管壁的流速恒定且为U，流体单位长度质量为mf。定义一个直角坐标系xyz，x轴沿着未变形的管道轴线，y轴，z轴均垂直于未变形的管道轴线。

图1 输流直管模型

基于以下假设：① 忽略管道材料阻尼影响；② 忽略重力影响；③ 流体无黏、不可压缩，那么输流直管的流固耦合振动方程可表示如下[28-29]

EAp∂2wx∂x2-mfU∂2wx∂x∂t-(mp+mf)∂2wx∂t2=0

(1)

EI∂4wk∂x4+(mfU2+PiAi)∂2wk∂x2+2mfU∂2wk∂x∂t+

(mp+mf)∂2wk∂t2=0, (k=y,z)

(2)

GJ∂2φx∂x2-Ix∂2φx∂t2=0

(3)

式中:wx为直管的轴向位移；wk为直管的横向位移；φx为直管沿轴线方向的转角；t为时间；Pi为内压；Ai为流体的横截面积；EAp,EI,GJ分别为管道的拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度。

式(1)～式(3)分别具有以下形式的解[30-31]

wx(x,t)=wx(x)exp(iωt)

wk(x,t)=wk(x)exp(iωt)

φx(x,t)=φx(x)exp(iωt)

(4)

式中：ω为圆频率；将其代入振动方程式(1)～式(3)，消去时间项exp(iωt)，得到输流直管在频域内的振动方程，其解的形式可以表达为

wx(x)=Aexp(kax)

wk(x)=Bkexp(kbx)

φx(x)=Cexp(kcx)

(5)

式中：ka,kb,kc分别为轴向波数，横向波数和扭转波数，由下列频散方程决定

(6)

(mp+mf)ω2=0

(7)

(8)

式(6)和式(8)有两个根，式(7)有四个根，根据Euler梁理论，建立直管单元的离散模式，见表1。其中φy(x),φz(x)分别为沿着y轴，z轴方向的转角；Nx(x)为轴向力；Ny(x),Nz(x)分别为剪力沿着y轴，z轴方向的分量；Mx(x)为沿着x轴方向的扭矩；My(x),Mz(x)为弯矩沿着y轴，z轴方向的分量。

定义直管单元两端的位移状态矢量Ws和力状态矢量Fs如下

(9)

(10)

Cs=(A1A2By1By2By3By4

Bz1Bz2Bz3Bz4C1C2)T

(11)

式中：上标L为管道单元的左端；R为管道单元的右端；下标s为直管单元，结合表1和式(9)～式(11)，则有

Ws=W1sCs

(12)

Fs=D2sCs

(13)

由式(12)和式(13)得到输流直管的动力学关系

Fs=DsWs

(14)

表1 输流直管自由振动的离散模式

2 输流曲管的动力刚度矩阵

输流曲管模型，如图2所示。管道的曲率半径为R，管道各处横截面相同流体单位长度质量为mf。定义一个曲线坐标系xyz，x轴与未变形的曲管轴线相切，y轴垂直于未变形的曲管中线且处于曲管平面内，z轴垂直于未变形曲管所在的平面。

图2 输流曲管模型

根据Paidoussis的研究，对于输流曲管，如果不考虑管道材料阻尼的影响，管内流体无黏、不可压缩，忽略重力的影响，那么其三维振动方程可表示如下

EI∂4wy∂s4+1R∂3wx∂s3+∂∂s(AiPi-Nx)∂wy∂s+wxR+

1R(AiPi-Nx)+mfU2∂2wy∂s2+1R∂wx∂s+1R+

2mfU∂2wy∂t∂s+1R∂wx∂t+(mp+mf)∂2wy∂t2=0

(15)

EI∂4wz∂s4-1R∂2φx∂s2-GJR∂2φx∂s2+1R∂2wz∂s2+

∂∂s(AiPi-Nx)∂wz∂s+mfU2∂2wz∂s2+

2mfU∂2wz∂t∂s+(mp+mf)∂2wz∂t2=0

(16)

EIR∂3wy∂s3+1R∂2wx∂s2-∂∂s(AiPi-Nx)+1R×

(AiPi-Nx)∂wy∂s+wxR+mfU2R∂wy∂s+wxR-

mfU∂2wx∂t∂s-1R∂wy∂t-(mp+mf)∂2wx∂t2=0

(17)

-GJ∂2φx∂s2+1R∂2wz∂s2+EIRφxR-∂2wz∂s2+Ix∂2φx∂t2=0

(18)

式中:wx,wy,wz分别为曲管的切向位移、径向位移以及垂直于曲管平面的位移；φx为曲管轴线方向的转角；s为自然坐标；t为时间；Ai为流体的横截面积；Pi为流体内压；管道的拉伸刚度、弯曲刚度、扭转刚度分别用EAp，EI，GJ表示，则管道的轴向力Nx表达为

Nx=EApε

(19)

在轴线不可伸长的情况下，ε=0；在轴线可伸长的情况下，ε=∂wx∂s-wyR。不难看出：式(15)和式(17)为曲管的面内振动，式(16)和式(18)为曲管的面外振动。

式(15)～式(18)解的形式设为

wx(s,t)=wx(s)exp(iωt)

wy(s,t)=wy(s)exp(iωt)

wz(s,t)=wz(s)exp(iωt)

φx(s,t)=φx(s)exp(iωt)

(20)

将式(20)代回式(15)～式(18)，消去时间项exp(iωt)，可得到输流曲管在频域内的振动方程，略去非线性项，在轴线可伸长情况下得到输流曲管的自由振动方程如下

EI∂4wy(s)∂s4+1R∂3wx(s)∂s3+AiPi∂2wy(s)∂s2+1R∂wx(s)∂s-

本文根据试验结果，通过对不同条件下干燥时间的分析并结合文献[14]得出辣椒干燥时间的评价方法，如表2所示。

EAPR∂wx(s)∂s-wy(s)R+mfU2∂2wy(s)∂s2+1R∂wx(s)∂s+

2iωmfU∂wy(s)∂s+wx(s)R-(mp+mf)ω2wy(s)=0

(21)

EI∂4wz(s)∂s4-1R∂2φx(s)∂s2-GJR∂2φx(s)∂s2+1R∂2wz(s)∂s2+

AiPi∂2wz(s)∂s2+mfU2∂2wz(s)∂s2+2iωmfU∂wz(s)∂s-

(mp+mf)ω2wz(s)=0

(22)

EIR∂3wy(s)∂s3+1R∂2wx(s)∂s2+AiPiR+mfUR×

∂wy(s)∂s+wx(s)R+EAp∂wx(s)∂s-wy(s)R-

iωmfU∂wx(s)∂s-wy(s)R+(mp+mf)×

(23)

-GJ∂2φx(s)∂s2+1R∂2wz(s)∂s2+EIR×

φx(s)R-∂2wz(s)∂s2-Ixω2φx(s)=0

(24)

式(21)～式(24)具有如下形式的解：

wx(s)=Aexp(kas)

wy(s)=A′exp(kas)

wz(s)=Bexp(kbs)

φx(s)=B′exp(kbs)

(25)

式中：ka为面内振动的波数，既包含轴向波数，也包含面内弯曲波数，由式(26)决定

deta11a12

a21a22=0

(26)

式中:

(AiPi+mfU2)/R2

kb为面外振动的波数，既包含扭转波数，也包含面外弯曲波数，由式(27)决定

(27)

式中：

(mp+mf)ω2

从式(26)和式(27)解得面内振动包含六个波数，面外振动也包含六个波数，那么结合Euler梁理论，可以建立曲管单元的离散模式，如表2所示。表中系数αj,βj可结合式(26)和式(27)得到

(28)

(29)

结合表2，同样可以得到

Wc=D1cCc

(30)

Fc=D2cCc

(31)

式中:Wc为位移状态矢量，与式(9)相同，Fc为力状态矢量，与式(10)相同，下标c为曲管单元，系数列阵为

Cc=(A1A2A3A4A5A6

B1B2B3B4B5B6)T

(32)

联立式(30)～式(32)得到

Fc=DcWc

(33)

3 基于动力刚度矩阵法的直曲组集

对于复杂管路系统，其直曲组集计算过程，如图3所示。按照“先分解再组集”的思路，将复杂管路系统分解为单管，依据Euler梁理论，建立单管的局部动力刚度矩阵，然后运用转换矩阵建立全局坐标系下单管的动力学关系，再按照节点进行组集，建立起系统的动力刚度矩阵，结合边界条件构建系统特征方程，最后进行求解。

以管路模型为例进行详细说明，如图4所示。首先将管路分解为单直管和单曲管，单管动力刚度矩阵的建立过程如前文所述，第i个管道单元的动力刚度矩阵记为Di，根据式(14)和式(33)，单管在局部坐标系下的动力学关系为

表2 输流曲管自由振动的离散模式

Fi=DiWi

(34)

图3 算法流程图

建立全局坐标系x0y0z0和局部坐标系x1y1z1，x2y2z2,…,xiyizi,…,xmymzm，m为管路系统中直管单元的数目。那么依据局部坐标系xiyizi相对于全局坐标系x0y0z0的方向余弦矩阵ti，可以得到管道单元i的转换矩阵Ti，将管道单元i的力状态矢量和位移状态矢量转换到全局坐标系下

Fig=TiFi

(35)

Wig=TiWi

(36)

图4 管路组集示意图

将式(35)和式(36)代入式(34)，得到

(37)

式中：下标g为在全局坐标系下，由于转换矩阵Ti为正交矩阵，故管道单元i在全局坐标下的动力刚度矩阵为

(38)

那么，对于单元i，其在全局坐标系下的动力学关系为

Fig=DigWig

(39)

将其分解为

(40)

同理，单元i+1的动力学关系可表示为

(41)

管道单元i与单元i+1的交点记为节点i，其受力如图5所示。在工程应用中，直管单元与曲管单元在节点处相切或近似相切的情形比较常见，但也有不相切的情形，这两种情形在全局坐标系下的受力分析可以得到统一，也就是说，无论节点i在局部坐标系下受力情况如何，都可以通过转换矩阵将其所受力转换为沿着全局坐标轴x0,y0,z0方向的分量，节点i处的力矩分析也是如此。

图5 节点i受力分析图

在全局坐标系下，根据该节点处的力平衡条件和位移连续性条件，可以得到

(42)

(43)

(44)

至此，便完成了“直管-曲管”的组集过程，依次类推，依据节点建立整个管路系统的动力学关系如式(45)所示

(45)

FK=-KW(ω)

(46)

K为弹性系数，节点i处受力平衡，得到

(47)

依据上式将式(46)叠加到式(45)中，即可得到含弹性支撑的系统动力刚度矩阵。

4 算 例

4.1 计算验证

直曲组集算法可用于含有“直管-曲管”典型管道元件的复杂管路计算，但是目前关于这类管路的理论成果较少，缺乏对比性，而关于单管的计算结果较多。如果所提算法是正确的，那么必然也可适用于单管的计算。所以先采用该法对单曲管进行计算，并与文献[18]进行对比，对所提算法进行初步验证。

为了方便对比，管道材料参数及边界条件设置与文献[18]相同：杨氏模量E=210 GPa，截面惯性矩Ip=9.41×10-8m4，管截面面积Ap=4.05×10-4m2，流体截面面积Af=1.26×10-3m2，管道单位长度质量mp=3.18 kg/m，流体单位长度质量mf=1.26 kg/m，管道内压P=10 MPa，流体速度V=15 m/s，曲管的约束条件设为两端固支。计算结果，如表3所示。

从表3可知：直曲组集方法计算的一阶、三阶、五阶频率与文献[18]给出的前三阶频率相近，相对误差2%，但却多出了两阶频率，是参考文献中所没有的。这是因为文献[18]中计算的是曲管的平面振动，而本文采用的是曲管的三维振动模型，不仅包含面内振动，也包含面外振动，为了进一步说明，求得曲管的前五阶振型，如表4所示。可以更为清楚地看出，一阶、三阶、五阶频率是曲管面内振动频率，二阶、四阶频率是曲管面外振动频率。采用所提算法求得的面内振动前三阶频率与参考文献中平面振动前三阶固有频率相吻合，初步证明所提算法是正确的。

表3 曲管固有频率对比结果

表4 曲管的前五阶振型

为了进一步证明直曲组集算法可用于复杂管路，分别采用该法与有限元法对“Z”形管路进行计算。管路参数设置如下：杨氏模量E=200 GPa，泊松比υ=0.3，密度ρp=7.93×103kg/m3，管道外径do=9.9 mm，壁厚t=1.2 mm，中间直管单元长520 mm，两端直管单元的长度均为250 mm，曲管曲率半径均为40 mm。管内流体密度ρf=898 kg/m3，内压P=10 MPa，流速V=0.5 m/s，约束条件设为两端固支。

直曲组集计算结果，如图6所示，图6中下尖点对应的横坐标即为管路的固有频率，分别用W1,W2,W3,W4,W5来表示。然后采用有限元法计算了不同单元数目下“Z”形管路的前三阶固有频率。对比结果，如图7所示。

图6 “Z”形管路的前五阶频率图

图7 两种方法计算结果对比

从图7可知，随着划分单元数目的增多，有限元法计算结果逐渐趋于稳定，并与直曲组集计算结果逐渐吻合，说明直曲组集算法是正确的。而且，直曲组集算法计算时仅用了5个单元，而有限元法在计算单元数目达到30个时才趋于稳定，说明直曲组集算法在保证计算精度的同时，减少了计算单元数目，实现了大尺寸单元组集计算。

4.2 管路布局对管路固有频率的影响

管路布局对管路的振动特性有着重要影响，因为管路布局发生变化时，管路的固有频率也会随之发生变化，而固有频率是判断管路稳定性的一个重要参数。研究管路布局对管路固有频率的影响规律，有助于管路设计时，提高管路的稳定性，避开激振频率，预防发生共振等。所以，接下来以航空管路系统中常见的“Z”形管路为例，探讨管路布局对其固有频率的影响规律。

“Z”形管A端、B端位置固定，如图8所示。定义两个几何参数：曲管至A端的距离l以及曲管的曲率半径r。那么管路布局的变化可通过改变l和r的值来实现。为了方便寻找规律，采用控制变量法，即先给定曲管曲率半径r，通过改变l来观察其对“Z”形管路固有频率的影响；然后再给定l，改变r值，观察“Z”形管路固有频率的变化规律。

图8 “Z”形管路布局图

管道材料参数设置同上，AB两端点之间的横向距离为600 mm，竖向距离为580 mm，管内流体密度为ρf=1 000 kg/m3，内压Pi=21 MPa，流速U=12.48 m/s。根据航空管路设计标准，曲管的曲率半径不小于管道外径的4倍，即r≥4do，故取r=40 mm，分别计算了l=80 mm,150 mm,220 mm,290 mm四种工况下管路的前三阶固有频率，如图9所示。

图9 不同l值下管路的前三阶频率

从图9可知，在曲管曲率半径一定的情形下，随着曲管位置距离A端越远，即l值越大，“Z”形管路的前两阶频率均随之减小，第三阶频率先减小后增大。

一阶固有频率是判断管路静态失稳的重要参数，此处重点研究“Z”形管路的一阶频率随l值的变化规律。定义一个比例系数α，α=l/yAB，yAB代表图8中A端，B端的竖向距离，逐步改变l值，得到“Z”形管路的一阶固有频率随α的变化，如图10所示。

从图10可知，“Z”形管一阶频率W1随着比例系数α的增大先减小后增大，在α=0.5时达到最小值，这与管路的几何形状有关，管路A端、B端约束条件相同，当曲管距离B端的距离达到与原来距离A端的距离相等(例如l=430 mm与l=150 mm，图10中α=0.741与α=0.259)时，管路几何形状是对称的，故一阶频率是相同的，振型也是对称的。观察图形可知：W1与α近似呈余弦函数关系，不妨假设

W1=Acosωα+θ+B

(48)

为了进一步确定式中待定系数，定义：“Z”形管路几何形状呈中心对称(即α=0.5)时，管路的一阶固有频率为W0.5；α0=r0/yAB，r0表示给定的曲率半径；当α=α0时，管路的一阶固有频率记为Wα0。那么结合图10，可以将式(48)改写为

(49)

图10 一阶固有频率随比例系数α的变化规律

至此，只需将一组计算数据代入式(49)，即可确定ω值，这样就得到了“Z”形管路一阶固有频率关于比例系数α的表达式。为了验证式(49)是否正确，接下来对其进行试验验证，如图11所示。

对比结果，如图12所示。式(49)与计算结果基本吻合，与试验结果虽有误差，但变化趋势基本相符。而且通过数值分析发现，试验结果与式(49)计算结果的相对误差<5%，说明在误差许可的范围内，式(49)可用于“Z”形管路的设计计算。

图12 不同比例系数下的结果对比

接下来研究曲管曲率半径r发生变化时对“Z”形管路固有频率的影响。给定l=290 mm，管道材料参数同上，分别计算了r=40 mm,80 mm,120 mm,160 mm四种工况下管路的前三阶固有频率，如图13所示。

图13 不同r值下管路的前三阶固有频率

由图13可知，随着曲管曲率半径r的增大，“Z”形管路的前三阶固有频率均会随之增大，一阶频率增大得较为缓慢，二阶、三阶增大地较为明显。同样，这里重点研究曲管曲率半径对“Z”形管路一阶固有频率的影响规律。

选取不同r值进一步计算，“Z”形管路一阶固有频率的变化趋势，如图14所示。随着曲管曲率半径的增大，“Z”形管路的一阶频率增大速率越来越快。采用最小二乘法对计算结果分别进行二次多项式拟合和三次多项式拟合，发现拟合曲线近乎重合，故可近似认为“Z”形管路的一阶固有频率是曲率半径r的二次函数，即

W1=a0+a1r+a2r2

(50)

对式(50)进行试验验证，分别选取了r1=40 mm,r2=80 mm,r3=120 mm,r4=160 mm,r5=200 mm五种尺寸进行试验，结果如图15所示。二次拟合结果与计算结果基本吻合，试验结果与拟合曲线的变化趋势基本相同，但相对拟合结果偏小，这是因为管道上贴有传感器等附件，给管道增添了附加质量，所以导致试验结果偏小。数值分析显示，拟合结果与试验结果的相对误差<5%，如果考虑附加质量的影响，相对误差会更小，说明拟合结果是正确的，在误差许可的范围内，式(50)可用于“Z”形管路的设计计算。

图14 一阶固有频率随曲率半径的变化规律

图15 不同曲率半径下的结果对比

5 结 论

利用管单元的动力刚度矩阵，建立“直管-曲管”组合管道系统固有模态组集解法，通过验证与计算，得到以下结论：

(1) 所提算法对曲管的计算结果与参考文献吻合，相对误差<2%。

(2) 所提算法对“直管-曲管”组合管道系统是适用的，实现了大尺寸单元组集计算，较有限元法减少了计算单元数目。

(3) 试验显示，“Z”形管基频关于布局参数的经验公式误差<5%，证明所拟公式正确，在误差许可范围内，可用于“Z”形管的设计计算。

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