左　熹,王婷婷,王炳辉,苏　慧

(1.金陵科技学院 建筑工程学院，江苏 南京 211169；2.南京工业大学 岩土工程研究所，江苏 南京 210009；3.江苏科技大学 土木工程与建筑学院，江苏 镇江 212003)

0　引　言

地震波传播过程中会在地下隧道结构表面产生反射和散射，并引起动应力集中，使得隧道结构的受力和变形等都会受到明显的影响。对于地下隧道对地震波的散射问题，可采用数值法和解析法进行求解。数值法的显著特点是可适用于任意形状隧道。C. C. MEI等[1]采用边界元法对圆形孔洞在饱和多孔介质中产生的波散射问题进行了研究；G. P. KOURETZIS等[2]对P波作用下的无筋混凝土衬砌的波动反应进行了研究，并采用有限元分析法进行了验证。H. ALIELAHI等[3]运用边界元法分析了土层中隧洞衬砌受垂直入射SV波与P波的地震响应。解析法在分析问题本质方面有着数值法不可替代的作用，而且解析法还可用来检验数值法的精度。国内外许多学家对弹性波散射对圆形衬砌的解析解及相关问题已经进行了研究。Y. H. PAO等[4]运用波函数方法得出了弹性介质中圆形衬砌对波散射问题的解析解，C. P. YI等[5]运用波函数展开法，建立了圆形衬砌隧道的边界模型，研究了隧道结构在平面P波作用下的界面效应。齐辉等[6]利用复变函数和Green函数法研究了无限半空间中双相介质界面附近圆形衬砌对SH波的散射与动应力集中问题。C. P. ZHOU等[7]采用复变函数分析了双孔洞的波散射与应力集中问题。

当隧道结构埋设于可液化的饱和土体之中，由于可液化土体是一种饱和两相介质，动力过程中两相介质相互耦合，故其动力响应较之理想弹性介质要复杂得多。M. A. BIOT最早建立了饱和土的波动理论，并进行了饱和土体弹性半空间的波动分析[8]，此后，国内外许多专家基于M. A. BIOT提出的饱和介质波动理论对饱和介质中孔洞(洞室)或衬砌对弹性波的散射和动应力集中问题进行研究，周香莲等[9]在Biot波动理论的基础上，采用复变函数法研究了平面P波的散射和动应力集中以及对深埋圆形衬砌的影响；徐平等[10]采用修正的Biot模型，研究了入射平面P波在饱和土中不透水的圆柱壳体上的散射问题。G. B. LIU等[11]基于Biot波动理论研究饱和土体中半封闭圆形衬砌边界处径向位移随入射频率的变化规律。

由于液化后土体的力学特性与固体有显著差异，并表现出低抗剪性、高流动性等流体性质[12]，因此，基于流体的观点来研究液化土体问题是一种新颖的研究思路。笔者将液化后土体视为黏性流体，从黏性流体的运动方程和连续性方程导出波动方程，并且证明了液化土体的波动损耗，结合复变函数法推导出隧道结构的运动方程，求解出半无限空间中波动位移场和应力场，并研究了隧道结构动应力集中的分布特点。

1　液化土体的波动方程

由于液化土体具有非牛顿流体的特性，因此，液化土体的运动方程可采用黏性流体的运动方程，其阻滞剪切变形的粘滞效应可用动力黏度η来描述，运动方程如下[13]：

(1)

式中：ρ为液化土体的密度；ν为液化土体质点的运动速度向量；P为液化土体流动压力。

假设地震动作用下场地液化变形过程中产生的瞬时变形为简谐波形式，其位移振幅为a，圆频率为ω，则土质点速度为aω，从而∂ν/∂t最大值的数量级为aω2，而(ν)ν的数量级为a2ω2k=a2ω3/V，其中k为波数，V为波速。由条件(ν)ν≪∂ν/∂t可得出aω≪V。因此质点运动速度远小于截止波动的变形条件，可将式(1)转化为

(2)

设液化土体的初始静压力为P0，余压为p，即

p=P-P0

(3)

假设液化土体的初始密度为ρ，则压力为P时的流体密度ρ′为

ρ′=ρ(1+δ)

(4)

式中：δ为流体的相对密度变化，表征为

(5)

由于静压力的空间变化是可以忽略的，因此由式(2)、(3)、(5)可得到土体液化的运动方程：

(6)

此外，液化土体也应该满足连续性方程，即

(7)

根据式(4)并忽略二级小量，可将式(7)转换为

(8)

由式(6)、式(8)可得出液化土体的波动方程：

(9)

可采用位移向量u表示波动方程，令

(10)

则方程(9)化为

(11)

采用势函数φ和φ来描述质点位移u[14]，得：

u=φ+×φ，且·φ=0

(12)

把式(12)代入式(11)，对等号左右两边求散度以及求旋度，可得到用势函数φ和φ表示的波动方程：

(13)

可以看出，由于动力黏度η的影响，式(13)表征为有损耗的波动方程。

2　平面P波作用下液化场地中隧道结构的波场分析

2.1　控制方程

当入射P波传播到隧道结构表面时，由于不同介质对波传播的影响，在隧道表面产生反射P波和反射转换SV波，同时会产生散射P波和散射转换SV波。将液化时刻的土体运动视为稳态运动，可忽略时间t的影响，根据液化土体的波动方程，基于Helmholtz方程，隧道结构在P波作用下应分别满足：

(14)

(15)

位移场在复平面可表示为

(16)

位移场的极坐标形式可表示为：

(17)

式中：θ为极径r与水平轴的夹角。

应力场的极坐标形式为

(18)

(19)

(20)

2.2　隧道结构周围半无限空间的波场

2.2.1波场的势函数

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

入射P波在隧道结构表面产生的散射P波和散射SV波的势函数为

(26)

(27)

入射P波在半空间自由表面激发的散射P波和散射转换SV波的势函数为

(28)

(29)

2.2.2隧道结构周围半无限空间中波动位移场

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

2.2.3半空间中的波动应力场

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

2.3　边界条件

根据液化土体与隧道结构之间分界面位移和应力的连续条件，可将入射P波所产生的总波场位移代入位移和应力场中，可得出待定系数的边界条件：

(42)

其中：

(43)

式中：下标1、2分别代表地下结构和地下结构周围的半空间介质区域；R为隧道结构半径。

3　算例分析

根据场地液化过程中土体的不同液化状态，分别采取不同的土体动力参数来研究隧道结构在不同液化状态时的动力响应。根据土体的液化特性，取土体不同液化程度时的动力黏度η=10、102、103Pa·s，密度ρ=1 800 kg/m3，泊松比ν=0.3，剪切波速vs=200 m/s；隧道结构的弹性模量E=3.0×104MPa，泊松比ν=0.3，地下隧道结构外径与内径之比a/b=1.2，地下结构埋深比为h/b=2。假定入射P波以相同的圆频率进行传播，略去时间因子，用入射波波数kp与地下隧道结构外径a组成的无量纲波数来表示空间上的频率，即无量纲入射波波数kp=2πa/λ，其中λ为入射波的波长。

根据边界条件，将波场中的势函数代人式(17)～式(20)的应力场中，可求得各待定系数，再由式(18)和式(19)得到隧道结构的径向和环向动应力分布场，通过定义动应力集中系数反映隧道结构在地震波作用下所产生的径向和环向动应力集中程度[15]，公式如下：

(44)

(45)

图1～图5分别为P波0°、30°、45°、60°、90°入射作用下隧道结构在不同动力黏度液化土体中产生的径向和环向应力集中分布。由图1～图5可以看出：P 波入射时隧道结构的应力分布随入射角度不同而呈现出明显差异。P波45°入射时环向应力对称分布于隧道结构的两侧，径向应力斜向分布且与隧道结构水平中轴线成30°角，并在端部出现较大的峰值点。P波垂直入射时隧道结构的环向和径向应力峰值较大，并且应力对称分布于隧道结构的两侧，环向应力峰值位于结构的上部和下部，径向应力峰值位于结构腰部左右两侧。动力黏度对隧道结构的动应力集中有明显的影响，在P波0°、30°、45°、60°、90°入射作用下隧道结构的应力分布均表现为随动力黏度的变化而改变，动力黏度越小，应力集中程度越高。

图1　P波0°入射作用下隧道结构的径向和环向应力集中分布Fig. 1　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 0° incidence

图2　P波30°入射作用下隧道结构的径向和环向应力集中分布Fig. 2　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 30° incidence

图3　P波45°入射作用下隧道结构的径向和环向应力集中分布Fig. 3　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 45° incidence

图4　P波60°入射作用下隧道结构的径向和环向应力集中分布Fig. 4　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 60° incidence

图5　P波90°入射作用下隧道结构的径向和环向应力集中分布Fig. 5　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 90° incidence

4　结　论

将液化土体视为黏性流体，以波动理论为基础，从黏性流体的运动方程和连续性方程导出波动方程，结合复变函数法推导出隧道结构的运动方程，并求解隧道结构周围半无限空间中波动位移场和应力场，分析了隧道结构在平面P波作用下所产生的径向和环向动应力集中程度，得出了以下结论：

1) 通过黏性流体的运动方程可导出液化土体的波动方程，并证明了液化土体的波动方程的损耗与动力黏度有关。

2) 基于Helmholtz方程，根据液化土体的波动方程，可推导出入射P波传播到隧道结构表面时液化土体半无限空间中的波动位移场和应力场。

3) P波入射时隧道结构的应力集中分布随入射角度不同而呈现出明显差异。动力黏度对隧道结构的动应力集中有明显的影响，隧道结构的应力分布随动力黏度的变化而改变，动力黏度越小，应力集中程度越高。

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