吴雅峰，许春虎，陈　昊

(浙江省钱塘江管理局勘测设计院，浙江 杭州 310016)

0　引　言

土压力是土体与挡土结构相互作用的结果，土压力问题是进行岩土工程设计和研究所必须要面对的问题之一，经典的朗肯土压力和库伦土压力理论由于其计算简单、力学概念明确，在实际工程中广泛应用。根据模型试验[1-3]以及现场试验[4-6]结果发现，土压力与挡土结构的侧向位移是一种动态平衡的关系，即土压力的存在会导致挡土结构发生侧向位移，而这种位移也会引起土压力的大小及分布发生变化，如此反复，直至达到位移和土压力之间的一种平衡状态。

在考虑位移的土压力研究方面，我国很多学者都取得了丰硕成果。陈页开[7]根据基坑开挖的特点建立了满足初值和边界条件的考虑位移的土压力计算方法；卢胜国[8]和张文慧等[9]在分析主动土压力、被动土压力以及静止土压力和位移关系的基础上，分别提出了考虑位移的土压力计算方法；许春虎等[10]在传统的双曲线土压力计算模型和邓肯-张本构模型推导方法的基础上，提出了加固护岸板桩的土压力计算模型。上述计算方法都是建立在挡土结构侧向位移已知的基础上来计算土压力的，不适用于侧向位移未知的实际工程中。

为此，笔者在充分考虑土与加固护岸板桩的相互作用的基础上，建立了一种基于矩阵位移法和加固护岸板桩土压力计算模型[10]的土压力计算方法。该计算方法可在侧向位移未知的条件下，计算出挡土结构的土压力以及挡土结构的侧向位移，并通过现场测试数据验证了该土压力计算方法的合理性。

1　矩阵位移法

矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子计算机为工具的结构分析方法。

1.1　结构的离散化

离散化是将加固护岸板桩划分为有限个杆件单元。划分的原则一般是在荷载突变处、土层变化处、锚杆处、桩底或外荷载作用点为结点，各单元相互间仅在边界的结点处相连接，不相邻的单元的受力变形间不互相影响。单元划分大小应根据计算精度的要求来决定，一般来讲，单元划分越细，计算结果精度越高，赵建平[11]指出杆单元长度的比例相差太大是影响计算精度的一个重要因素，并建议单元长度取0.5～1.0 m左右，秦四清[12]指出应力求保持相邻单元的长度比Lm/Lm+1≤5，最好接近于1。

1.2　单元分析

单元分析的任务是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。

1) 杆端内力与位移关系。由结构力学[13]可知，杆端内力和位移存在着以下的关系：

(1)

2) 一般单元在局部坐标系下的公式推导。任取一结构单元，建立如图1所示的局部坐标系。

图1　局部坐标系、结点荷载、结点位移示意Fig. 1　Schematic diagram of local coordinate system，nodal loads and node displacement

由式(1)可得，结点力和结点位移的关系为

(2)

(3)

(4)

由式(2)～式(4)建立结点力和结点位移的矩阵关系如下：

(5)

式中：E为结构单元的弹性模量，MPa；A为结构单元截面面积，m2；I为结构单元截面惯性矩，m4；l为结构单元长度，m。

上式中杆端力和杆端位移的正向以与坐标轴正向一致为正，其中弯矩和转角以顺时针为正。

对于加固护岸板桩，可不考虑轴向的受力和变形，因此式(5)简化为

(6)

上式可简写为

(7)

(8)

通过式(8)可以发现，每个单元的刚度矩阵有2×2个分块矩阵构成，每个分块矩阵有2×2个元素构成。

1.3　整体分析

整体分析的任务是将单元集合成整体，由单元刚度矩阵按照一定的规律形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移基本方程，从而求出各结点的位移。

为了形成结构的整体刚度矩阵，建立整体结构的结点力和结点位移之间的关系，还需要对结构进行整体分析。整体分析主要包括以下两个部分：

任取两个相邻的单元号为I、J，3个结点号分别为h、i、j。设这3个结点的位移矩阵为：{Δh，Δi，Δj}；3个结点的结点力矩阵为：{Fh，Fi，Fj}；3个结点的结点荷载矩阵为：{Ph，Pi，Pj}。

由式(8)可知：

考虑结点i，有结点的平衡可知：

(9)

有上述分析，式(9)转化为

采用分块刚度矩阵表示整体刚度矩阵，则可改写成矩阵形式如式(10)：

(10)

因此，只需要将每个单元的刚度矩阵的4个分块按照式(11)，放入指定位置，重复位置的分块进行叠加即能形成结构的整体刚度矩阵[K]。有了整体刚度矩阵，在知道各个结点荷载的情况下，就可以通过{P}=[K]{Δ}求出结点位移矩阵{Δ}。

(11)

2　加固护岸板桩土压力计算模型

加固护岸板桩土压力计算模型参见式(12)，其参数取值及计算方案参见文献[10]。

(12)

式中：pu为挡土结构在某一位移的土压力强度，kPa；p0为静止土压力强度，kPa；Δpult为极限状态土压力增量，即当u→+∞时，Δpult=pp-p0；当u→-∞时，Δpult=p0-pa；k0为土体的横向基床系数。

3　考虑位移的加固护岸板桩桩侧土压力计算方法的建立

加固护岸板桩桩侧土压力是土与加固护岸板桩的相互作用的结果，式(11)推出的板桩结构的整体刚度矩阵没有考虑到土体的影响，因此需要将板桩临水侧土弹簧的刚度矩阵，叠加到整体刚度矩阵的主对角线处，形成总体刚度矩阵。以各结点位移为未知量，通过求解，可求出各结点位移，将计算出的结点位移代入加固护岸板桩土压力计算模型，求出新的结点荷载和临水侧土弹簧的刚度，再求出新的结点位移，依次迭代，当相邻两次迭代计算出的结点位移的差值小于0.1 mm时，迭代终止，根据结点位移求解板桩两侧土压力。其计算流程图如图2。

图2　板桩桩侧土压力计算流程Fig. 2　Calculation flow of earth press of sheet pile for reinforcing revetment

3.1　临水侧土弹簧刚度矩阵

土弹簧刚度即为地基横向基床系数，其物理意义是横向地基产生单位位移时的地基基床值，其大小和地质条件及深度等因素有关。目前现行规范中一般假定其沿深度为矩形分布(张氏法)或线性分布(m法)，事实上，桩的横向受荷试验表明：地基基床系数随地基土侧向位移的变化具有明显的非线性的关系。因此笔者在计算板桩临水侧土弹簧刚度矩阵时考虑其非线性，采用加固护岸板桩土压力模型计算出的土压力曲线在pu处的切线斜率作为土弹簧刚度矩阵，并叠加到整体刚度矩阵的主对角线处，形成总体刚度矩阵。

3.2　非结点荷载的转化

位移法基本方程只涉及到结点荷载，对于受一般荷载作用的结构，还需要将非结点荷载转化为等效的结点荷载。等效的原则是使单元在同一虚位移时，非结点荷载和等效结点荷载所做的虚功相等。

国内外文献和现场试验均表明，作用在加固护岸板桩两侧的土压力呈非线性分布，由于每个单元的长度较短，可以近似认为作用在单元上的土压力呈线性分布。对于土压力按线性分布的假定，可求得如图3所示分布力的等效结点荷载。

图3　单元土压力分布Fig. 3　Earth press distribution in an element

(13)

式(13)可简写为{P}I=[A]{R}I

式中：{R}I为I单位的外荷载分布力；{P}I为I单元的结点荷载；[A]为分布矩阵。

3.3　需要强调的两个问题

3.3.1水土合算与水土分算的问题

采用水土合算还是水土分算计算土压力，在工程界和学术界尚无统一的标准。这些分歧在国内有关规范[14]有所体现，由此而产生的学术讨论[15-16]也非常激烈。笔者按以下规定进行计算：

当有经验时，对于渗透性较小的土层，墙后和墙前的土压力一般采用水土合算，pa和pp分别为水土合算得到的主动土压力强度和被动土压力强度。墙后和墙前的静止土压力强度p0采用总的水土压力强度，即水压力强度和有效土压力强度之和。

当有经验时，对于渗透性较大的土层，墙后、墙前主动土压力和被动土压力一般可采用水土分算，pa和pp分别为水土分算得到的不包含水压力的主动土压力强度和被动土压力强度，静止土压力强度p0采用不包含水压力的土压力强度。

3.3.2迭代过程中土压力修正的问题

在迭代过程中，计算出的土压力可能会大于极限状态下的被动土压力或者小于极限状态下的主动土压力，这与经典土压力理论的边界条件相违背，因此在迭代过程中需要对土压力计算值进行修正。

日本的森重龙马提出的共同变形理论是考虑挡土结构的变位对土压力影响的一种理论，该理论其中一个假定为，作用于墙上的土压力随墙体变位而变化，可按式(13)计算，但其最小值为极限状态下的主动土压力pa，最大值为极限状态下的被动土压力pp。

p=p0+Ku且pa

(13)

因此，在迭代过程中土压力修正方法为，当ppp时，取p=pp，pa、pp均按朗肯土压力理论计算。

4　算例分析

长湖申(湖州段)航道扩建工程有2 000 m左右航道采用板桩加固护岸。现场试验地点选在K50+840处附近地质概况为：表层①为填筑土，主要为杂填土、素填土及种植土组成；②层为粉质黏土，黄褐色，饱和，可塑～硬塑状态，混黄色斑点，混砂不均，含云母及职务根茎，中等压缩层；③3层为淤泥质粉质黏土，灰色，深灰色，饱和，流塑，混砂多量，含云母及少量腐植物，具有高含水量，高等压缩性；④层为黏土及粉质黏土：灰色，绿灰色，饱和，一般呈流塑～软塑状态，混砂多量，含云母，中等压缩性，层位较稳定，分布不连续；④2层为粉土，灰黄色，饱和，松散～稍密状态，含云母，混砂较多；⑤层为黏土，灰绿色，褐黄色，饱和，可塑～硬塑状态，局部混砂，含云母，中等偏低压缩性；⑤1层为粉质黏土，灰色，灰绿色，饱和，可塑～硬塑状态，混砂不均，含云母及职务根茎，中等压缩层；⑥层为粉质黏土及黏土：灰色，灰褐色，饱和，一般呈软塑～可塑状态，局部为流塑状态，混砂不均，含云母，中等压缩性，分布不连续；⑦1层为粉质黏土及黏土：灰色、褐灰色，含云母、铁锰氧化物及铁锰质结核，混砂、卵石等，局部夹有薄层粉细砂，一般呈软塑～可塑状态，中等压缩性。具体物理力学指标见表1。

表1　K50+840处土层的物理力学指标Table 1　Physical-mechanical factors of soil layers at section K50+840

板桩桩长为4.0 m，板桩的横断面为50×20(cm×cm)，试验仪器的埋设详见文献[4]。根据上述计算方法，将4.0 m长的板桩分为8段，计算结果如图4～图6。图4为加固护岸板桩水平位移的计算结果，图5和图6分别为板桩在靠岸侧和临水侧受到的土压力强度分布图。

图4　板桩侧向位移分布Fig. 4　Lateral displacement distribution of sheet pile

由图4可知，板桩的侧向位移沿深度呈现非线性分布，最大位移发生在桩顶，桩端的位移并不为零，这主要是因为：板桩桩长较短，而且桩周土质较软，不能较好的起到锚固作用。

图5　靠岸侧土压力分布Fig. 5　Earth press distribution at bank side of sheet pile

图6　临水侧土压力分布Fig. 6　Earth press distribution of sheet pile near water side

由图5和图6可知：① 靠岸侧土压力计算值界于主动土压力和静止土压力之间；临水侧土压力计算值界于静止土压力和被动土压力之间，这主要是由于板桩向临水侧发生位移，靠岸侧土体产生应力松弛，而临水侧土体产生压缩，但均未达到极限状态，使得两侧土压力强度均处于静止土压力和极限状态土压力之间的中间状态；② 在靠岸侧，土压力计算值和实测值分布规律较一致，两者之间的相对误差较小，最大值仅为8.2%；③ 在临水侧，土压力计算值和实测值分布规律较一致，除桩端处，两者的相对误差较小，最大值仅为3.2%，临水侧桩端处土压力计算值较实测值相差偏小的原因还需要进一步研究。

5　结　论

1) 针对目前考虑位移的土压力计算方法都是建立在挡土结构侧向位移已知的基础上来计算土压力的，不适用于侧向位移未知的实际工程中。笔者在充分考虑土与加固护岸板桩的相互作用的基础上，建立了一种基于矩阵位移法和加固护岸板桩土压力计算模型的土压力计算方法。

2) 算例分析的结果表明：在靠岸侧，土压力计算值和实测值分布规律较一致，两者之间的相对误差较小，最大值仅为8.2%；在临水侧，土压力计算值和实测值分布规律较一致，除桩端处，两者的相对误差较小，最大值仅为3.2%，临水侧桩端处土压力计算值较实测值相差偏小的原因还需要进一步研究。

参考文献(References)：

[1] 朱伟.考虑有限土体及挡墙变位影响的土压力试验与理论研究[D].杭州：浙江大学，2014.

ZHU Wei.ExperimentalandTheoreticalStudyonEarthPressuresConsideringLimitedsoilsandRetainingWallDeformation[D].Hangzhou：Zhejiang University，2014.

[2] 宋飞，张建民.考虑侧向变形的各向异性砂土土压力试验研究[J].岩石力学与工程学报，2009，28(9)：1884-1895.

SONG Fei，ZHANG Jianmin.Experimental study of earth pressure for anisotropic sand considering lateral displacement[J].ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering，2009，28(9)：1884-1895.

[3] 谷淡平.SMW工法桩土共同作用模型试验研究及数值模拟分析[D].衡阳：南华大学，2010.

GU Danping.ModelTestResearchandNumericalSimulationAnalysisoftheInteractionofPile-soilbySMWEngineeringMethod[D].Hengyang：University of South China，2010.

[4] 王新泉，陈永辉，许春虎，等.板桩加固护岸受力机制的现场试验研究[J].岩土力学，2011，32(6)：1749-1756.

WANG Xinquan，CHEN Yonghui，XU Chunhu，et al.Field experimental study of stress mechanism of sheet pile reinforced revetment[J].RockandSoilMechanics，2011，32(6)：1749-1756.

[5] 郑烨，陈振华，张开伟，等.不同填料下钱塘江古海塘塘背土压力现场试验研究[J].岩土力学，2014，35(6)：1623-1628.

ZHENG Ye，CHEN Zhenhua，ZHANG Kaiwei，et al.Field test on earth pressure of ancient seawall with different backfills for Qiantang River[J].RockandSoilMechanics，2014，35(6)：1623-1628.

[6] 陈雪华，律文田，王永和.桥台台背土压力的试验研究[J].岩土力学，2006，27(8)：1407-1410+1415.

CHEN Xuehua，LV Wentian，WANG Yonghe.Experimental research of earth pressure behind bridge abutment[J].RockandSoilMechanics， 2006，27(8)：1407-1410+1415.

[7] 陈页开.挡土墙上土压力的试验研究与数值分析[D].杭州：浙江大学，2001.

CHEN Yekai.TestingStudyandNumericalAnalysisonEarthPressuresonRetainingWall[D].Hangzhou：Zhejiang University，2001.

[8] 卢国胜.考虑位移的土压力计算方法[J].岩土力学，2004，25(4)：586-589.

LU Guosheng.A calculation method of earth pressure considering displacement[J].RockandSoilMechanics， 2004，25(4)：586-589.

[9] 张文慧，田军，王保田，等.基坑围护结构上的土压力与土体位移关系分析[J].河海大学学报(自然科学版)，2005，33(5)：575-579.

ZHANG Wenhui，TIAN Jun，WANG Baotian，et al.Relationship between earth pressure on support structure of foundation pits and displacement of earth mass[J].JournalofHohaiUniversity(NaturalSciences)，2005，33(5)：575-579.

[10]许春虎，陈永辉，石刚传.加固护岸板桩土压力计算模型研究[J].水电能源科学，2016，34(9)：157-160+130.

XU Chunhu，CHEN Yonghui，SHI Gangchuan.Study on earth pressure model of sheet pile for reinforcing revetment[J].WaterResourcesandPower，2016，34(9)：157-160+130.

[11]赵建平.考虑土压力受变形影响的深基坑计算方法研究[D].南京：南京工业大学，2005.

ZHAO Jianping.StudyonCalculationMethodofDeepFoundationPitRegardingSoilPressurewiththeInfluenceofDeformation[D].Nanjing：Nanjing Tech University，2005.

[12]秦四清.基坑支护设计的弹性抗力法[J].工程地质学报，2000，8(4)：481-487.

QIN Siqing.The elastic resistance method for design of foundation pit supporting[J].JournalofEngineeringGeology， 2000，8(4)：481-487.

[13]龙驭球，包世华.结构力学[M].3版.北京：高等教育出版社，2013.

LONG Yuqiu，BAO Shihua.StructuralMechanics[M].3rd ed.Beijing：Higher Education Press，2013.

[14]中冶建筑研究总院有限公司.建筑基坑支护技术规程：JGJ120—2012[S].北京：中国建筑工业出版社，2012.

China Metalluvgy Architecture Research Institute Co., Ltd.TechnicalSpecificationofRetainingandProtectingforBuildingFoundationExcavation：JGJ120—2012[S].Beijing：China Architecture and Building Press，2012.

[15]陈愈炯，温彦锋.基坑支护结构上的水土压力[J].岩土工程学报，1999，21(2)：139-143.

CHEN Yujiong，WEN Yanfeng.Water and earth pressures on the supporting structure around a foundation pit[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering，1999，21(2)：139-143.

[16]李广信.基坑支护结构上水土压力的分算与合算[J].岩土工程学报，2000，22(3)：348-352.

LI Guangxin.Estimating the water and earth pressures on the supporting structure around a foundation pit separately and together[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering，2000，22(3)：348-352.