李思桐

【摘要】千百年前人们就开始研究数学与音乐之间的关系，2500年前古希腊的一位著名哲学家毕达哥拉斯通过进行琴弦实验首次发现了音乐与数学之间的联系，是世界上提出这一观点的第一人。古希腊哲学中的一个重要概念“数”就是由毕达哥拉斯提出，“数”概念不仅对音乐发展过程中的创作理念有很大程度的影响，还对音乐的美感追求产生了诸多的影响。本文以毕达哥拉斯的琴弦实验为例简单地分析了数学与音乐美学之间的内在关联以及数学对音乐发展的影响。

【关键词】毕达哥拉斯 琴弦实验 数学 音乐发展

【中图分类号】J60 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）02-0214-02

前言

《命运交响曲》的宏大气魄、《月光》的灵动优美、《梁祝》的深情感人、甚至宁静夏夜田野中昆虫啁啾的鸣叫等，当在聆听和享受这些美妙的音乐时大多数人都无法将其与严肃的数学联系起来。感性的音乐与理性的数学可谓是两个极端，音乐是作为我们抒发感情、表现感情、寄托感情的一种感性艺术，数学则是一种通过抽象的思辨、严谨的逻辑论证等思维方式构建起的“思维体操”，从表面看二者并没有明显的联系，但是在乐谱中处处可以看到数学。比如音乐中每个小节的拍子、音符、拍号等等；在谱写乐谱时将不同长度的音符凑成一个特定节拍的过程就与数学中找公分母的过程相似。事实上，数学作为一种在任何领域都会用到的学科，其与音乐之间的关系极为密切。

一、毕达哥拉斯简介

毕达哥拉斯（约公元前572年-前497年）作为古希腊伟大的哲学家、思想家、数学家，在西方哲学、科学、美学等方面做出了巨大的贡献，他所提出的一些理论和思考对西方的科学和艺术理论有着很大的影响。

“数”被毕达哥拉斯以及他的门徒认为是世界万物的本源，他们在对世界万物进行思考时都是以“数”作为基础，试图用“数”来解释世界万千现象。毕达哥拉斯认为研究数学的主要目的不是在于将其运用到某一实际中去，而是为了更加方便、深入地探索自然、世界的奥秘。毕达哥拉斯与其门徒从五个苹果和五个手指等事物中将“5”这个数字抽象了出来，在当时的实用数学界和哲学界均算是一个巨大的进步，因为这个发现使算术具有了可能性，也使人们开始相信“数”是构成实物世界的基础。毕达哥拉斯毕生对数论进行了大量的研究，仅自然数方面就将其分为奇偶数、素数、完全数等；毕达哥拉斯学派认为“数”不仅仅有量的多寡，还具有几何形状，“数”的数量和形状为宇宙提供了概念模型且决定了一切自然物体的形式；基于此毕达哥拉斯学派将“数”理解为是一切自然事物的根源。点、线、面、体、元素、万物等的形成都是基于“数”，所以“数”在物之先，且“数”决定着自然界的一切现象与规律，自然现象、规律与“数”之间存在着一种必须服从与被服从的关系。

二、琴弦实验

毕达哥拉斯学派不仅崇尚数学理念还首次将其运用到了音乐艺术中去，琴弦实验就是其中一个最具有代表性的实验。这个实验在保证音乐遵循“数”的原则上分别选取了一根只有一半长度的琴弦和一根长度完整的琴弦，将这两根不同琴弦发出的声音记录了下来并计算出两根琴弦之间的音程为八度，数值比为1：2；接着把一根二分之一长度琴弦与三分之一长度的琴弦发出的声音记录下来并进行音高的比较从而计算出两者之间的音程为五度，数值比为3：2；再将长度四等分的琴弦与三分之一长度的琴弦进行音高的比较且计算出两者之间的音程为四度，数值比为4：3，按照这样的规律以此类推下去。因此就实验结果来看，八度等于数学比值1：2、五度等于数学比值3：2、四度等于数学比值4：3、那么全音就是数学比值的9：8。在毕达哥拉斯学派看来音乐是建立在被论证的理性基础上的，音乐与秩序和音乐与比例之间存在着同义关系。除此之外毕达哥拉斯还提出过一个比较有趣的理论：他认为地球是沿着一个球面围绕着空间中一个固定点在进行转动的，他将这个固定点称为“中央火”，且在另一侧还存在着一个“对地星”与其相互制衡。并且毕达哥拉斯认为这个“中央火”人类是无法看到和接触到的，是宇宙的祭坛。他认为十个天体到中央火之间的距离与音乐中音节之间的音程的比例关系是相同的，且以此来保证星球之間的平衡与和谐，从而演奏出天体的音乐。

毕达哥拉斯通过将数学的理念在音乐中进行渗透，发现了音乐与数学之间千丝万缕的联系，使音乐不仅仅具有感性的审美体验。本文试图通过借助毕达哥拉斯的琴弦实验来简单分析数学对于音乐发展存在的影响。

三、以毕达哥拉斯琴弦实验的角度分析数学对于音乐发展的影响

1.对音乐的和声、对位、复调技巧高度发展的影响

毕达哥拉斯对于美学有着自己独特的看法，他认为和谐才是美的本质且认为是否和谐与其中的数量关系理想与否有着直接的关系。为了证实这一想法毕达哥拉斯通过对弦长比例的科学测定和计算，首次确定出了四度、五度、八度这三个协和音程。毕达哥拉斯确定出的三个协和音程对于西方多声部音乐后期的理论基础和风格取向发展有着很大的影响，比如从早期的Organon、Discant音乐艺术风格、到motet即中世纪开始流行的圣咏和经文歌、再到巴洛克时期以巴赫为代表的Fuga音乐风格，这些风格迥异的音乐艺术具有的完整音程以及和声体系都是经过音乐家大量的音乐创作实践才逐步完成的，且在此基础上还创制出了更为复杂的和声对位技巧以及多声部、多层次的复音音乐。

在这些音乐艺术中乐音都是以逻辑性极强、数字化的方式相互联系、依存的，并且由于受到严格的音程度数限制导致音列的选择和走向、和弦的排列以及音乐主题旋律在声部中的安排、穿插、变形都受到影响，对于旋律自身的横向发展并没有引起重视。毕达哥拉斯的数理音乐思维在早期的西方多声部音乐中被大量运用，尤其是和弦音程理论即为了保证音响效果的和谐和饱满度，在音乐创作中多运用一度、四度、五度以及八度的音程。在欧洲中世纪多声部音乐发展的早期人们认为只有这些音程创作出的音乐才能够体现出神性的纯洁与崇高，认为这些音程具有与神沟通交流的能力。而对于二度、三度、六度、七度音程的运用则在巴洛克时期才开始在音乐创作中得到较多的运用。虽然在后来欧洲的多声部音乐艺术发展过程中对于音程在音乐中的运用逐渐开始丰富多样起来，但是数理的创作逻辑在音乐创作中仍然占据很高的地位，比如音乐家为了保证音乐的饱满会尽量避免进行连续的四度、五度、八度，对于声部之间的音程对位具有严格的音程限制。显而易见，这种以数学理性为基础创作出来的音乐具有更好的立体感和纵深感，这一特点作为西方音乐中的一大传统创作特色一直延续至今。endprint

2.對音乐结构的影响

以数学为基础的音乐美学观对于音乐的构成形式也具有很大的影响，毕达哥拉斯在很早之前就在尝试着用数学的表达形式来解释美，即后来出现的黄金分割比0.618，黄金分割比的精确量化不仅给美赋予了严谨还赋予其科学的含义。可以发现大部分被大众认可为名曲、优美的音乐其主体旋律的高潮部分大都被安排在了黄金分割点上。而大多数的作曲家在创作独奏乐器类型的协奏曲时，为了能够更好的将炫技的部分即高潮部分充分体现出来，会将其安排在乐曲的中后段临近结尾处，也就是黄金分割点的位置。虽然这并不能代表大部分的音乐，但是也足以说明在创作音乐时对于音乐结构的设置以及安排已经具备了科学、理性的数学认知。另外，还可以从音乐中对于乐句、乐段的反复再现手法的运用以及对于音乐材料的安排、逐渐演变出的各种曲式看出此时的音乐发展已经有很强的理性和内在思想要求。比如在二部曲式中所体现出来的平衡原则，三部曲式与三角形的稳定结构的相似而蕴含的稳固感，这些音乐曲式所体现出来的已经远远超出了音乐本身纯粹的感性；音乐结构所体现出的比例、平衡感、有序感都让人们感受到了数学公式、定理的抽象、严谨、以及逻辑性很强的形式美感。

3.对音乐音值精确性和节拍均分律动的影响

毕达哥拉斯曾经提出过音乐的音高和节奏体系与天地万物中一切形体的运转均会受到数学规律的支配和限制。在毕达哥拉斯提出的这一思想的影响下，人们开始将其中的原理大量运用到节奏的探索过程中去。比如音乐中对于音符数值的划分就运用到了数学原理，最早由德国人弗兰克明发明并提出了有量音乐记谱和节奏模式，到中世纪被僧侣们完善的有量音乐艺术，各类音符之间的倍数关系被最终确立为以“二”基础倍数。此时，才产生了确切的参数来规定音符的长短，这一定程度上限制了表演者的自由，要求表演者在处理音值时把握准确。另外均分律动给音乐中各类节拍赋予了更加具体的形象塑造和情感表达能力，帮助释放和放大音乐的感性，成为了音乐中的重要构成要素。

在西方多声部音乐的发展过程中随处可见数学理论的影子，尤其是其在音乐节奏节拍理论中的运用，如中世纪后期开始出现的等节奏作曲技术，即音乐家通过采用一条旋律音型来与一条节奏型进行配合。这种等节奏作曲技术能够让旋律按照精确的数理节奏控制和安排，以节奏中的数理逻辑作为旋律发展的基本框架进而表现出音乐创作高度理性的意识，使创作出来的音乐作品具备了内在的数理逻辑，这种作曲思维对于后期的欧洲音乐创作产生了很长一段时间的影响。

四、结论

在音乐漫长的发展历程中，最初的音乐创作更多的还是处于一种随意、混沌、散漫的状态，而在发现数学理性与音乐感性之间的联系之后，理性的音乐作曲意识被唤醒。古希腊的智慧对欧洲音乐创作的理性思维产生了启迪，特别是毕达哥拉斯学派的出现，发现了数学与音乐之间密切的联系并赋予音乐理性的意识。虽然在毕达哥拉斯的观念中“数”是作为一个宽泛的概念而存在，与我们今天现代数学的意义无法完全等同，但是数学作为一种科学、严谨的分析思维模式，经过漫长时间的沉淀已经与音乐构成了紧密的联系，体现出了自律性的音乐美学思想，且音乐作曲中的技巧、形式等受到数学理论的影响也获得了极大的丰富，形成了别具一格的音乐审美风格。

参考文献：

[1]拉飞客.数的世界——毕达哥拉斯[M].天天出版社有限责任公司，2013.

[2]刘卫锋，王尚志.数学与音乐[J].数学通报，2005，（04）.

[3]陆叶波.乐在其中——融音乐于数学活动中[J].早期教育（教师版），2008，（06）.endprint