☉江苏省泰兴市第二高级中学 周余峰

数学教学中所遵循的教师主导、学生主体的基本原则在师生关系上应表现为教师主导下的学生主体作用的发挥，身为教学组织者、引导者、合作者的教师应在教学中突出学生这一主体.本文结合教材中的例题教学设计重点研究了教师主导和学生主体在具体教学中的落实.

一、问题

例1 某工厂加工一零件时往往会采用两道工序，假设第一道、第二道工序分别会导致3%和5%的产品不合格，如果这两道工序不会相互影响，那么，请大家计算一下不合格产品的概率会是多少呢？

二、教学片段

1.揭示规律

教师首先让学生独立思考并在稿纸上自主作答，巡视中发现很多学生采取了从反面考虑问题的办法，正难则反的解题策略得到了很好的体现.

师：谁能将自己的成果展示一下？

学生立刻从对立事件的角度对解题过程进行了表述与展示，教师根据学生的回答及时与学生一起总结复杂事件的解决需要考虑其对立事件的规律等.

学生在自主交流时往往更关注如何求解，对于如此求解的原因常常会觉得有难度或者直接忽视，因此，教师在教学中应注重解题内在规律与本质的探究以促进学生探究高效的实现.

师：零件不合格跟两道工序之间又会存在什么样的关系呢？

生1：将第一道工序导致的不合格产品、第二道工序导致的不合格产品、最后鉴定为不合格的产品分别设为A1、A2、A，A其实是第一道工序导致的不合格产品、第二道工序导致的不合格产品、两道工序都导致的不合格产品的总数之和，即A=A1+A2+A1A2，因此P（A）=P（A1+A2+A1A2）=P（A1）+P（A2）+P（A1A2）.

（有学生认为此分析有理，课堂上随即安静了一阵）

生2：第一道工序导致不合格产品出现其实已经包含在两道工序同时导致的不合格产品中，第二道工序导致产品不合格也是这个道理.因此，概率公式在这三个事件不互斥时应用不当，实际上，A即为两道工序中至少有一道工序导致的不合格产品数，即A=A1+A2，因此P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）.

（学生之间出现了争执）

师：由此看来我们需要首先探究一下事件A究竟包含了哪几个事件.

（稍作停顿）

师：刚才两位同学对于事件A的分析都存在一定的问题，生1在分类时犯了标准不一致的错误，生2对于事件A的分解是对的，不过A1、A2不互斥，概率公式应用不当.

师：事件A究竟应该如何分解呢？（教师随即告诉了学生）

生3：事件A为以下三种情况之和：（1）两道工序都出现的不合格产品，即A1A2；（2）第一道工序不合格但第二道工序合格了，即A1A2；（3）第一道工序合格但第二道工序不合格，即A1A2.这三个事件是相互独立的，即A1、A2、A1、A2彼此独立，因此有P（A）=P（A1A2+A1A2+A1A2）.

生4：事件A如此分解之后可得，事件（1）（2）能合并成事件A1，即A=A1+A1A2.

学生的思考、争论及师生之间的交流探究使得学生对题中相关概念、事件之间的关系的认识更加明朗且深刻.

师：将所求事件分解成两个或两个以上的互斥事件之和、两个或两个以上独立事件的乘积是解决概率问题通常所用的办法.

与此同时，教师还应及时设计巩固应用以促进学生对知识的掌握.

2.应用探究

问题：某车从甲地出发行驶100km之内发生故障的概率是0.4，行驶200km之内发生故障的概率是0.8，那么，如果该车行驶了100km的路程内并未发生故障，继续行驶第二个100km时发生故障的概率会是多少呢？（故障排除后可继续行驶）

教师巡视学生的解题发现大多学生都是在机械地套用公式，教师随即投影了学生的一个错误解法.

生5：将行驶100km之内发生故障假设为事件A，该车行驶200km之内发生故障假设成事件B，因为P（A）=P（B）=0.8，所以答案是0.8.

师：大家觉得这一答案对吗？

（给学生2～3分钟时间独立思考）

生6：从题中可知事件B和A不是相互独立事件，因此P（BA ）≠P（B）P（A），因此该解法不对.

生7：题目所求与行驶了200km发生故障并不是同一事件，因此该解法不对.

师：很好，由此可知题中要求我们求的是行驶100km到200km之间发生的故障.

师：大家以为行驶100km之内、行驶200km之内发生故障这两个事件会存在什么样的关系呢？请大家联系例1中的结论再次思考这一问题.

（有学生在思考之后上黑板进行了演示）

生8：将该车行驶200km之内发生故障这一事件设为A，将其行驶100km之内发生故障这一事件设为B，将行驶100km至200km之间发生故障这一事件设为C，B、C是独

立的，P（A）=0.8，P（B）=0.4，A=B+BC，因此P（A）=P（B+BC）

师：很好，大家以为解决此题的关键是什么呢？

生9：关键在于将行驶200km之内发生故障的这一实践应如何分解转化.

师：其实这是模仿例1的解题方法，大家还有其他解法吗？

生10：将行驶100km之内发生故障这一事件设为A，将车子行驶100km至200km之内发生故障这一事件设为B，由事件A、B，P（A）=0.6，行驶200km之内发生故障的对立事件是AB，则P（A B）=0.2，所以有P（B|A）=1-P（B|A）=

三、教学反思

1.课前准备环节体现教师的主导

优秀的课堂教学必然要建立在教师充分的课前准备上，教材内容的阅读与领会、对教学要求的把握、教学方法的选择、对学情的分析、确立教学目标、设计教学活动等内容都是课前准备环节不可缺少的.此外，教材中汇聚众多专家心血与经验的概念引入、例题呈现都隐藏着学生应该掌握的数学思想与方法，教师应对这些内容进行深入挖掘并将其进行精心的设计，使得这些内容能够在新课程教学的要求下得到更好的理解、思考与处理.

2.在学生活动的指点与引导中体现教师的主导

教材中的例题是无法暴露解题的思维过程的，因此，教师应对解题思路的产生过程进行剖析并使学生明白这样解法的道理、其他的解题解法等，学生的求知欲望往往会因为教师的启发、追问等手段的落实而得到激发.

学生一旦形成思考问题的习惯，就会对所要研究的问题能够很快厘清题中的条件、求解目标并获得解题的思路，因此，教师在教学中应加强审题的教学示范并积极引导学生自主思考问题.面对一个新问题时，教师首先应该引导学生对题目进行仔细的阅读并设计出解决问题的思路，当大多学生感觉此问题有难度时，教师应关注到学生的难处并与学生一起审题以此引导学生对题目形成正确的理解.比如本文所列举的概率问题的求解，机械套用公式是根本无法解题的，这时候就需要将题中各个事件之间的关系一一理顺才能明确各事件的概念属于条件概率还是同时发生的概率，问题的本质、概念的理解也会在这些事件之间关系的理顺过程中得以实现.

同时，教师在教学过程中一定要给学生独立思考的时间并及时关注学生的思考与探究表现，使学生能够在思考中对问题进行比较和研究并使概念内涵和外延得到深入的挖掘，学生主动建构知识往往需要建立在这一基础之上.学生自主思考、探究问题的过程就是学生思维的过程，学生思维受阻的过程中往往会特别期待教师或同伴的点拨或提醒，思维被有效激活的同时解题也就更容易了.

3.教师导学的策略

教师在教学过程中应面向全体学生并认真倾听学生发出的声音，做到精心导学，学生的展示是学生思维活动的展现，因此，教师应积极参与学生的探究活动并帮助学生提炼出探究的核心内容，并进行一定的归纳与提升以此激发学生学习的主体性，使得学生在教师有意义的导学中不断发展自己的水平与能力.

精心导学当然要注重导学时机的把握，比如，本文中学生对事件之间关系的理解发生错误之时就应该是教师提问引导学生的导学时机，学生探究出现停顿或者不得深入的时候正是学生需要帮助的时候，教师此时的导学对于学生来说就是一场及时雨.其次，教师的精心导学还应体现在恰当问题的设计中，面向全体学生并能使学生通过努力彻底解决的题目，或者可以一题多变的题目都是可以用来导学的好问题.另外，教师的精心导学还应体现在方法的选择上，根据学生知识基础与身心特点的方法往往能够更好地促进学生投入动感的数学课堂中.F