李茹+张涛+朱秋煜

摘 要： 通信过程中因信道畸变而产生的码间干扰（ISI）严重影响通信质量，该问题常采用均衡技术来解决。介绍了传统定步长盲均衡CMA算法原理，仿真分析了其不能兼顾收敛速度快与稳态误差小的问题，为解决这一问题，提出一种基于Sigmoid函数的变步长盲均衡算法。为解决码间串扰问题，对CMA算法进行改进并对改进算法原理进行阐述，分析了参数对算法性能的影响。最后通过仿真实验证实了改进算法能够加快收敛速度，同时能保持较小的稳态误差。

关键词： 均衡技术； 恒模算法； 码间干扰； Sigmoid函数； 收敛速度； 稳态误差

中图分类号： TN911.5?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）03?0010?04

Abstract： The inter?symbol interference generated by channel distortion in communication process affects the communication quality seriously， and is solved with equalization technology. The principle of traditional fixed step blind equalization constant modulus algorithm （CMA） is introduced. The problem that the fast convergence rate and small steady?state error can′t be both balanced is analyzed with simulation. To solve this problem， a variable step blind equalization algorithm based on Sigmoid function is proposed. The CMA is improved to eliminate the inter?symbol interference， and principle of its improved algorithm is elaborated. The effect of the parameters in the algorithm on the algorithm performance is analyzed. The results of simulation experiments show that the algorithm can maintain a small steady?state error while accelerating the convergence speed.

Keywords： equalization technology； constant modulus algorithm； inter?symbol interference； Sigmoid function； convergence rate； steady?state error

0 引 言

通信信号在传输过程中常会受到因信道畸变而产生码间干扰（Inter?Symbol Interference，ISI）的问题，这严重影响了通信质量，降低了通信的可靠性与稳定性。均衡算法作为解决该问题的一种有效方式，在经济、军事等诸多领域有广泛的应用前景。其核心算法主要分为最小均方误差、递归最小二乘和盲均衡算法三大类。其中由Godard等人提出的CMA盲均衡算法[1]计算量小，不占用频谱资源，广泛应用于雷达、声呐、通信等领域。

但CMA算法只在收敛速度和收敛精度方面做折中处理，这大大制约了算法的性能，因此，针对固定步长CMA算法的缺陷提出了一系列变步长改进算法。 文献[2]提出基于瑞利分布的盲均衡算法，利用非线性函数控制步长的思想；文献[3]将CMA算法与判决反馈算法相结合，用以提高收敛速度与减小稳态误差；文献[4]揭示了CMA算法的收敛速度与均衡器输出功率特性的关系，通过在均衡器后加入增益调节过程来控制均衡器的输出功率特性；文献[5]指出用剩余误差MSE作为控制步长的变量控制步长的变化，提出直接用MSE控制变化。虽然开始时收敛速度快，但随着误差的减小，步长同时很快变小，有可能算法未完全收敛时步长已经很小，导致算法整体收敛速度没有提高。这些算法都遵循以下原则：在算法初始阶段，取较大步长值，以得到较快的收敛速度和自动跟踪能力；在算法接近收敛时，取较小步长值，以取得较小的稳态误差。

本文基于上述改进原理，在CMA算法的基础上进行改进，提出一种基于Sigmoid函数的变步长CMA算法。

1 CMA盲均衡算法原理

CMA算法采用最陡梯度下降法来迭代均衡器的抽头系数，逐步寻找代价函数的最小值点，当代价函数达到最小时，均衡器的权值就稳定在最优解附近。CMA非线性无记忆函数的表达式为：

以为步长，控制算法的收敛速度和稳态误差的参量，为保证算法收敛，步长取值范围[6]为。

均衡算法性能的优劣主要看收敛速度与稳态误差两个指标，最优的算法性能要求收敛速度快、稳态误差小。根据式（1）～式（5）对CMA算法进行仿真，测试步长对算法收敛速度与稳态误差的影响。

仿真实验中步长取0.01，0.004，0.000 3，仿真结果如图1所示，其中横坐标表示迭代次数，纵坐标表示误差。由仿真结果来看，随着步长取值的增大，收敛速度变得越来越快，但稳态误差越来越小，所以收敛速度与稳态误差相互制约，降低了CMA算法的性能。为提高算法性能，加快收敛速度的同时，减小稳态误差，在CMA算法基础上进行改进，提出一种基于Sigmoid函数的变步长CMA算法。endprint

2 基于Sigmoid函数的盲均衡算法分析

改进算法以Sigmoid函数[7]为基础，变换得到一个步长与误差的非线性函数关系：

图2为变换后的步长?误差曲线图。

图像在轴正半轴，随着误差的增大，图像斜率先变大后减小，这种变化规律使得在误差大时，步长值维持在一个较大值；随着误差的逐步减小，步长值也逐渐减小为零，这与变步长的设计原则相符。

因此，为得到性能更优且可控的步长调整函数[2，8]，引入参数和对式（6）进行如下调整：

当时，前面提到，要使算法收敛，需满足因此的取值范围为小于1的正数。

下面再深入讨论这几个参数对步长调整函数性能的影响。

图3为由外向内，依次取0.05，0.1，0.3，0.6，0.8，1.5，2，其他参数取1时，步长与误差函数的曲线图。

由图3可以看出，各曲线均满足步长调整原则，在误差取5时，图中多数曲线均接近最大步长值，说明此时收敛速度非常快，有利于朝着误差减小的方向变化；在误差逐渐减小至零的过程中，步长值也逐渐变化为零。但是由于稳态误差也与步长有关，在系统接近收敛即误差接近零的过程中，快速变化的步长可能使系统稳态失调产生较大震荡，造成稳态误差很大。因此，为保证算法性能，要求系统收敛时，步长值应缓慢减小为零[7]。

图3中当取值在[0.05，0.3）范围内，在误差为5时（此时误差已经非常大了），步长才维持在最大值附近，如果采用该范围的值，算法在误差非常大时就已经开始执行，这样会导致计算量增大，使系统处理时间变长；当取值在[0.6，2]范围内，误差在2附近已达到步长最大值，该范围内在图3中可以看出误差接近零时（系统收敛），步长变化剧烈，前文提到该种情况下会造成系统稳态失调，稳态误差较大。

根据以上分析，本文参数选择最佳取值范围为[0.3，0.6]，该范围内参数可以使误差较大时步长曲线具有更快的收敛速度，而在误差接近零（系统开始收敛）时变化平缓。

图4为参数取0.5，0.8，0.99时步长与误差的关系图。

从图4可以看出，各曲线均满足步长调整原则，且误差为零附近变化缓慢，图中取值主要影响图形幅度即步长变化。由式（8）可知，的取值影响的值，取值范围为小于1的正数，因此取值范围也是小于1的正数，由图4中可以看出，误差为6时，取[0.5，0.8]范围内步长变化不明显，但取[0.8，0.99]范围内步长差距显著，取0.99相同误差下，步長值太小造成收敛速度慢，因此最佳取[0.5，0.8]范围内。

综上所述，控制函数的形状，决定步长变化的速度，控制步长函数的幅度。基于上述分析，为验证改进后算法的性能，本文进行了仿真，对改进前后的算法性能进行比较。

3 算法仿真与结果分析

为验证改进算法的性能，对基于Sigmoid函数的CMA盲均衡算法和CMA算法的收敛速度、稳态误差进行Matlab仿真。仿真环境的发射信号、信道模型、均衡器参数设置如下：发送符号数10 000，采用4QAM调制、信噪比为20 dB，信道采用无线数字通信信道[9]，为更好地观察收敛效果，迭代次数设为1 000次。其中CMA算法中步长=0.001。改进算法=0.3，仿真结果如图5所示。

分析图5可知，改进后的新算法约50次左右迭代已经开始收敛，而传统CMA算法需经大概150次迭代开始收敛，约在400次趋于稳定，对比两种算法收敛后的稳态误差值，改进算法稳态误差值接近于0.07；而CMA算法稳态误差值约为0.5，对比可知改进后的算法有效克服了CMA算法不能兼顾收敛速度快与稳态误差小的问题，性能更佳。

为更直观地观察迭代过程中步长的变化，本文中同时仿真了步长随迭代次数变化的曲线图，如图6所示。

观察图6可知，在算法初期步长值比较大，变化迅速，说明此时收敛速度非常快地朝着误差减小的方向变化，随着算法收敛，步长逐渐变小且变化缓慢，说明此时算法趋于稳定，因此改进方法符合变步长的设计原则。

基于上述分析及比较可以清楚地看出，改进后的算法收敛速度明显比CMA算法快，稳态误差小且稳定，性能优于CMA算法。

4 结 语

本文分析了固定步长CMA算法收敛速度与稳态误差存在矛盾的问题。提出一种改进方法，对改进算法进行分析与仿真，仿真结果表明，改进算法能够很好地解决收敛速度与稳态误差存在矛盾的问题，改善了原算法的性能。均衡技术用于解决码间串扰问题有良好的应用前景，可应用于无线通信、光通信[10?12]、雷达、声呐等众多领域中。

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