丛心尉

【摘 要】本文结合经济学中的单利，复利与数学中的一次函数、指数函数，介绍单利，复利，一次函数与指数函数，以及它们的联系。

【关键词】单利；复利；一次函数；指数函数

单利与复利在理财、投资等经济领域里扮演了非常重要的角色，尤其是复利。爱因斯坦曾说过“复利的威力比原子弹还可怕”，被称为世界第八大奇迹。下面将从数学的角度来了解单利与复利。

一、一次函数

概念：形如的函数叫做一次函数，其定义域为：（-∞，+∞）。

当时，一次函数在其定义域内是严格单调递减的；当时，一次函数在其定义域内是严格单调递增的。现以k=0.5，b=1为例，给出其函数图像：

图1

二、指数函数

概念：形如的函数叫做指数函数，其定义域为。

当时，指数函数在其定义域内是严格单调递减的；当时，指数函数在其定义域内是严格单调递增的。现以a=1+0.5为例，给出其函数图像：

图2

现将与的函数图像在同一直角坐标系中呈现如下图：

图3

通过函数图像可以看出，随着x的增大，指数函数值增大的速度要快于一次函数。

三、单利

概念：单利是指按照固定的本金计算利息，是计算利息的一种方法。单利的计算取决于本金，时间及市场一般利率水平等因素。

例1、小明手中现有5000元压岁钱，准备以定期方式，存入银行2年，年利率以2.25%计，以单利方法计息，试问存款到期后小明共能取出多少钱？其中利息有多少？

解：由于年利率为2.25%，且存款时长为2年，所以到期后取出的钱共有

其中利息金额为

答：2年存款到期后小明共能取出5225元，其中利息金额为225元。

注：（1）由例1可以看出，按照单利的计算方法，第一年存款產生的利息不会计入本金，即本金金额一直保持不变。

（2）假设本金为A，利率为p，存款（贷款）时间长度为x，则单利计算方法下，最终金额为。

四、复利

概念：复利是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。

例2、小明手中现有5000元压岁钱，准备以定期方式，存入银行2年，年利率以2.25%计，以复利方法计息，试问存款到期后小明共能取出多少钱？其中利息有多少？

解：由于年利率为2.25%，且存款时长为2年，所以到期后取出的钱共有

其中利息金额为 ：

答：2年存款到期后小明共能取出5227.53125元，其中利息金额为227.53125元。

注：（1）由例2可以看出，按照复利的计算方法，第一年存款产生的利息会计入本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。

（2）假设本金为A，利率为p，存款（贷款）时间长度为x，则复利计算方法下，最终金额为。

对于复利最终金额计算可以看做是的指数函数。单利最终金额可以看做是的一次函数。显然当本金，利率相同的情况下，复利计算方法的利息金额要高于单利计算方法的利息金额，并且随着时间的延长，两个利息金额的差距会越来越大（可以参考图3）。看来“复利的威力的确比原子弹还可怕”。

参考文献：

[1]范兴华.复利数学 [M].北京：清华大学出版社，2008.

[2]高明辉，韩晓东，邢士宾，高俊科.关于连续复利计算模型的辩证[J].数学的实践与认识，2011，41（4）：99-108.

[3]彭文学，李少斌.经济数学基础[M].武汉：武汉大学出版社，2007.

[4]吴添祖，冯勤，欧阳仲健.技术经济学[M].北京：清华大学出版社，2007.endprint