杨 璠 宋雪婷

(四川师范大学物理与电子工程学院 四川 成都 610101)

共点力平衡问题中几类特殊题型分析

杨 璠 宋雪婷

(四川师范大学物理与电子工程学院 四川 成都 610101)

主要对高中共点力平衡问题的几种常见的特殊题型进行了归类分析．归纳了共点力平衡问题中的动态平衡类问题、杆类问题、滑轮类问题以及连接体类问题的特点及其解题策略．

共点力平衡 动态平衡 杆问题 滑轮问题 连接体

在共点力平衡问题中常会遇到一些特殊的题型，它们具有一些显著的特点，在解题时，若能正确审题加以辨别并采取相应解题方法，会使解题过程更加简单．

1 动态平衡类问题

动态平衡：指通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化．通常在题中会有使物体“缓慢”、“慢慢”、“逐渐”移动这类字眼，这时就表示物体处于动态平衡，就可以使用如下的方法.

1.1 矢量三角形法

(1)适用条件：物体受到3个力的作用，有一个力的大小和方向都不变(一般指重力)，有一个力的方向不变．

(2)分析思路：对物体进行受力分析，画出力的示意图，然后将几个力做成矢量三角形．作矢量三角形的时候，先作大小和方向都不变的力，然后作方向不变的力，再根据首尾相连的原则，做出第3个力构成矢量三角形．最后根据第3个力的方向的变化，判断各个力的大小的变化．

【例1】(2016年高考全国新课标Ⅱ第1题)质量为m的物体用轻绳OA悬挂于天花板上，用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示，用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )

A．F逐渐变大，T逐渐变大

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大

D．F逐渐变小，T逐渐变小

图1 例1题图

解析：对节点O进行受力分析，受到重物拉力T′，T′=G，拉力F和绳子OA拉力T这3个力的作用，由于F是缓慢拉动的，所以O处于平衡状态，画出力的矢量三角形，如图2所示，先画大小、方向都不变的拉力T′，再画方向不变的拉力F，并且让其和重力首尾相连，最后画方向和大小都会变的拉力T，再向左拉的过程中，拉力T与竖直方向的夹角θ不断地变大，从图2就可知拉力F和T都在逐渐增大，故选A．

图2 例1受力分析

1.2 相似三角形法(力三角边三角相似)

(1)适用条件：物体受到3个力的作用，有一个力是恒力(一般指重力)，其余两个力方向发生变化．

(2)分析思路：对物体进行受力分析，根据首尾相连，将物体受到的力构成一力三角，在图中找出这个力三角的相似三角形(边三角)，根据比例关系找出力的变化情况．

【例2】如图3所示，光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由A点缓慢拉到顶端的过程中，绳的拉力F及半球面对小球的支持力Fn的变化情况正确的是( )

A.Fn增大，F增大 B.Fn增大，F减小

C.Fn不变，F减小 D.Fn减小，F增大

图3 例2题图

解析：如图4所示，对小球进行受力分析，其受到重力G，拉力F和支持力Fn这3个力的作用，将其首尾相连构成一个力三角形△BCD，在图中可以找到一个与△BCD相似的边三角形△OAB，根据三角形相似得

在拉动的过程中OA，OB不变，AB减小，所以Fn不变，F减小．故选C．做题时通常选不变的力(如重力)来进行比较会更简单[1]．

图4 例2受力分析

2 杆类问题

2.1 活杆

特点：杆的一端与墙壁之间由铰链连接，杆可以转动，杆的另一端是一个结点．活杆给物体的力沿着杆的方向．

【例3】如图5所示，质量为m的物体用细绳OA悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，当轻杆水平，AO与BO夹角为θ时，求细绳OA中受力T的大小和轻杆OB受力N的大小．

图5 例3题图

解析：由题意可知，此杆为活杆，给物体的力的方向是沿着杆的方向，对O点进行受力分析，受到重物拉力T2，T2=G，绳子拉力T1和杆的支持力N1这3个力的作用，如图6所示，所以有

图6 例3受力分析

由牛顿第三定律得

2.2 死杆

特点：杆是固定在墙上的，不能转动．杆的一端插在墙壁内，另一端是一个动滑轮，细线等绕过动滑轮承受物体．死杆给滑轮的力不一定沿杆的方向．通常需要根据题意求出滑轮所受另外两个力的合力的大小和方向，杆给滑轮的力与合力等大反向．

【例4】水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10 kg的重物，∠CBA=30°，如图7所示，求杆对滑轮的支持力大小(g取10 N/kg).

图7 例4题图

解析：对杆上的滑轮B进行受力分析，受到绳子的压力T，T′和杆的支持力F支的作用，由于是死杆，不能直接画出支持力的方向，但它和绳子对滑轮的压力合力大小相等，方向相反，如图8所示，同一根绳上T=T′=mg=100 N，∠CBG=120°，所以F合=100 N，由牛顿第三定律可知，杆对滑轮的支持力大小为F支=F合=100 N[2]．

图8 例4受力分析

3 滑轮类问题

(1)定滑轮：通常的作用就是改变力的方向，不再赘述．

(2)动滑轮(物体在绳上可以自由滑动的情况都可看成是动滑轮类型)

特点：动滑轮始终在悬挂它的绳子的角平分线上．

【例5】如图9所示，将一根不可伸长的、柔软的轻绳左右两端分别系于墙上的A，B两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ1，绳子张力为F1；将绳子右端移至C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ2，绳子张力为F2；将绳子右端再移至D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ3，绳子张力为F3，不计摩擦，并且BC为竖直线，则θ1，θ2，θ3的大小关系和F1，F2，F3的大小关系分别是怎样的．

图9 例5题图

解析：当绳子系在A和B两点时，如图10所示，设两墙间的距离为d，绳长为l,A和B到滑轮的距离分别为l1和l2，动滑轮与物体总重为G，则

l1+l2=l

(1)

对动滑轮进行受力分析，有

(2)

图10 例5受力分析

当绳子系在A和C两点时，如图11所示，两墙间的距离还是为d,绳长不变，A与C到滑轮的距离分别为l3和l4，则

l3+l4=l

(3)

(4)

由式(1)、(3)可得θ1=θ2，由式(2)、(4)可得

F1=F2

图11 绳子系在A，C两点 图12 绳子系在A,D两点

当绳子系在A和D两点时，如图12所示，A和D两点间的水平距离变为d1,绳长不变，A和D到滑轮的距离分别为l5和l6，则

l5+l6=l

(5)

(6)

因为d1>d，所以，有

θ3>θ2=θ1F3>F2=F1

解题的关键在于知道动滑轮始终在悬挂它的细绳角平分线上，并且同一根绳上的力处处相等[3]．

4 连接体类问题

连接体：多个相互关联的物体组成一个物体组(物体系)．如几个物体叠放、并排挤靠或者用绳子、轻杆连在一起．在平衡问题中，对于连接体可采用下面2种方法．

4.1 隔离法

当需要研究系统内部的某个物体受到的力时，将该物体单独受力分析，进行研究．

4.2 整体法

若几个物体加速度相同(平衡问题中加速度都为零，物体处于匀速直线、静止、缓慢移动状态)，将几个物体看成一整体分析所受外力，进行研究． 在解决问题时，常需根据实际情况，将整体法与隔离法结合使用．

【例6】如图13所示，质量为m1和m2的两木块静放在质量为m3的斜面上，此时地面对m3的支持力为多大？如果m1和m2分别沿斜面匀速下滑，在下滑过程中地面对m3的支持力为多大？

图13 例6题图 图14 例6受力分析

解析：当3个木块都静止时，加速度都为零．都处于平衡状态，可将3个木块看成一个整体，对于这一整体只受到重力和支持力的作用，并且二者大小相等．此时F支=(m1+m2+m3)g；当m1和m2沿斜面匀速下滑，m3静止时，3个物块的加速度都为零，仍都处于平衡．可以采用整体法，不考虑内力，此时支持力仍为F支=(m1+m2+m3)g[4]．

共点力平衡问题还有其他多种题型，也还有力的合成与分解法、正交分解法、三力汇交法、正弦定理法等多种解题方法．要学会审题，针对不同的题型选择合适的方法，学会将多种方法结合使用，让解题过程变得更加简单．

1 牛有明.浅谈处理平衡问题的几种方法.中学物理,2015(11):84～85

2 石磊.高中物理轻绳与轻杆共点力平衡问题的分析.考试周刊,2015(76):134

3 王玉德.“动态平衡”中滑轮问题例析.中学物理教学参考,2012,41(10):71

4 戴静华.整体法与隔离法在平衡问题中的应用.新高考(高一物理),2016(11):33

2017-05-08)