蒋卫建

【摘要】间接测量指的是先用仪器直接测量一些物理量的值，然后再进行函数运算得到测量结果的测量。在大学物理实验课程中，经常要估算间接测量结果中的不确定度。通常，我们给出间接测量是直接测量的线性函数或乘除运算等简单情况的公式。对于一般函数运算的情况，我们要用微积分推导公式，然后计算，过程繁难。我们也可以采用数值计算的方法。目前计算器等工具十分普及，数值计算值得推广[1-4]。

【关键词】物理实验；数值法；不确定度

【中图分类号】TM614 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0286-01

一、数值计算法简介

例如，我们要测量的物理量f是直接测量量x，y的函数，且f=f（x，y）。

我们可以直接用数值计算法[5]，分成以下几步：

1.将、代入f=f（x，y），计算=f（，），即先求出间接测量值。

2.将（+ux）、代入f=f（x，y），将计算结果记为fx，即fx=f（+ux，）。

3.将、（+uy）代入f=f（x，y），将计算结果记为fy，即fy=f（?x，+uy）。

4.合成不确定度uf=。

我們来解释一下为什么这里要用方和根。如果我们算的·是误差本身，明确的知道误差的大小和正负，那么应该直接求和而不用方和根。但是在这里，我们计算的量是不确定度，它表示由于误差的存在而引起的测量值的分散程度，而且是在概率意义下给出的。不确定度的合成就要用方和根。

我们举个极端的例子来说明问题。做投掷硬币的实验时，把正面朝上记为2，反面朝上记为0，则我们期望每次投掷的结果为：1±1。假设我们共投掷了100次，最终期望的结果应该是多少？如果我们直接把各次的不确定度直接相加，那结果是100±100，它包含了0-200的各种可能性。虽然0和200的结果都是可能的，但是这种可能性很小，仅有（1/2）100。如果1秒钟做1次投掷实验，平均需要1022年才能出现一次0或200，这时间是地球的年龄1010年的1012倍。显然，这种可能性太小了，这样合成不确定度是不合理的。如果我们把各次的不确定度求方和根，那结果是100±10，这正是数理统计给出的结果。

二、举例

例如，利用最小偏向角测量绿色光的折射率，所得数据为：三棱镜顶角A=60°1'±1'，最小偏向角θ=51°28'±3'。计算折射率n的公式为：

要求折射率n的最终结果表达式。

参照以上给出的步骤，

所以，折射率n的最终结果表达式为：

n=1.65260±0.00055=1.6526±0.0006。

三、分步计算的例子

如果一个函数十分复杂，我们可以把它看成是简单函数的组合，然后分步估算不确定度，这也是行之有效的方法。有些实验非常复杂，分成很多部分，每一部分本身也许也是间接测量。不同部分也许是由不同的人员在不同的时间里在各自的实验室里完成的，他们的结果最后组合到一起，这当中的不确定度就相当于用分步的方法来估算了。

例如，为测量图（1）中阴影部分面积A，测得图中各量为：a=（5.000±0.002）cm、b=（4.326±0.004）cm、d=（1.631±0.003）cm、θ=30°0'±1'。要求给出A的最终结果表达式。

图（1）测量阴影部分面积

面积A的计算公式为：

式中记f=sinθ，g=1/2abf，h=d2。

根据数值计算法，有：

f=0.50000±0.00026，ug=0.0065cm2，uh=0.0078cm2。

所以，面积A的最终结果表达式为：

A=（3.3182±0.011）cm2=（3.32±0.02）cm2。

四、小结

计算器和计算机十分普及，手机也可以作为计算工具，数值计算的方法虽然有些繁琐，但容易理解，学生可以很好的掌握，也能促进学生理解不确定度合成的原理。

参考文献

[1]陈守川，杜金潮等.新编大学物理实验教程[M].杭州：浙江大学出版社，2011.

[2]丁慎训，张连芳.物理实验教程[M].北京：清华大学出版社，2002.

[3]贾芳. 基础物理实验[M].北京： 中国农业大学出版社，2011.

[4]Louis Lyons. A Practical Guide To Data Analysis for Physical Science Students. Cambridge University Press. 1991. 1-43.

[5]朱鹤年.基础物理实验教程[M].北京：高等教育出版社，2003.