课题：函数奇偶性

年级：高一

授课：崔晓丽老师

版本：人教版数学必修一1.3.2

一、背景介绍

本节课是在学生已经学习了函数的基本概念以及函数单调性的基础上进行的，主要是对函数的奇偶性进行系统的研究。在培养学生对图像观察能力的基础上，进而引导学生从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认，是锻炼学生掌握数形结合思想的很好机会，在中学数学过程中有很重要的地位。

1.设计理念

本节课学习函数奇偶性的概念以及判断函数奇偶性的方法。教学中，教师引导学生质疑，探索，发现，从问题入手，证明猜想，得出结论。

2.教材分析

本节讨论函数的奇偶性，教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。

对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念。

3.学情分析

因为已经学习了函数的单调性，而函数奇偶性的研究方法类同与函数单调性，所以大部分学习能够接受并理解。但学生对前后知识的联系、应用有一定的难度，而且学生分析问题，解决问题的能力比较弱，所以，备课时要多注意，老师及时给予帮助。

二、案例描述

（一）三维目标

1.知识与技能目标

从数与形两个方面进行引导，使学生深刻理解函数奇偶性的概念；通过抽象函数奇偶性的应用，培养学生观察、归纳、抽象思维的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力。

2.过程与方法

师生共同探讨、研究。从代数角度严格推证并总结规律。

3.情感、态度与价值观

通过绘制和展示函数图像来陶冶学生情操，通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神。

（二）教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。

（三）教学难点：判断函数的奇偶性的方法。

（四）课时安排：1课时

（五）教学过程

1.导入新课

（师）同学们，对称会让人觉得和谐，美观。其实，对称在我们身边随处可见。请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？

（生）例如人的两个耳朵，两个鼻子都对称，这种对称美给人一种赏心悦目的感觉等。

（师）学生们的回答很好。这种对称美，不仅在我们身边，存在于实际生活当中，而且在我们数学中也有所体现。今天，我们就一起来学习数学中一种与对称有关的知识：函数的另一个重要性质——函数的奇偶性。

2.实例引入，探究新知

（师）（提出问题）请同学们观察下面两个函数图像，从对称的角度分析，它们有什么共同特征？（启发学生由图像获取函数图像的对称的直观认识，便于引入新课）

（生）都是关于y轴对称的。

（师）那么，相应的两个函数值的对应表是如何体现这些特征的？请同学们填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？（指导学生从形到数进行分析）

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=x2

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=|x|

学生分组讨论，共同总结得出：

①这两个函数的解析式都满足：f（-3）=f（3）；f（-2）=f（2）；f（-1）=f（1）。

②可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f（-x）=f（x）。

（师）这时，我们就称函数为偶函数。那么，对于一般的函数y=f（x），我们如何给出偶函数的定义。

3.给出偶函数概念

（板书偶函数的定义）一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数。

4.偶函数图像的性质（提高学生观察能力和归纳概括能力）

（师）偶函数的图象有什么特征？

（学生分组讨论并总结，教师提示补充）偶函数的图像有以下两个特征：①图象关于y轴对称.②在关于y轴对称的两个区间上单调性相反。

5.奇函数的概念

（师）观察函数f（x）=x和f（x）=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

（生）判断它们的图象的共同特征是关于原点对称的。

（再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念。）

奇函数的概念：一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称。

6.奇函数的性质

师生共同总结得出以下性质：

（1）奇函數的图象关于原点对称。

（2）关于原点对称的两个区间上单调性相同。

（3）f（-x）=-f（x）等价于f（-x）+f（x）=0

（4）x=0处有定义时，必有f（0）=0.

7.函数奇偶性对定义域有什么要求吗？

判断一个函数是奇函数还是偶函数的一个必不可少的条件是“定义域关于原点对称”。如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。

（教师指明）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质。

8.例题讲解，掌握做题步骤.

详见教材P35例题详解。

9.总结判断或证明函数奇偶性的一般步骤：

（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

（2）确定f（-x）与f（x）的关系；

（3）作出相应结论：

若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，则f（x）是奇函数.

（教师强调）需要注意的是：并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.

（六）归纳小结

（1）函数奇偶性的定义是什么？其图像有什么样的特征？

（2）判断函数奇偶性的前提条件是什么？

（3）判断函数奇偶性的一般步骤是什么？

（七）作业布置

（1）阅读教材P.33-P.36。

（2）教材习题1.3A组。

备选练习：定义在区间（-1，1）上的奇函数f（x）是定义域上的减函数，并且满足，求m的取值范围。

三、案例反思

本节课，师生共同探究，交流，学生亲生经历了提出问题，解决问题的过程。大部分学生都可以掌握。但需注意知识之间的联系，及时构建知识网络。提高学生解决问题的能力。