薛宝娜

摘要：解三角形问题不仅综合运用了三角函数恒等变形的公式有关内容，还综合运用了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，基本上涵盖了三角函数的所有内容，所以它也就成了高考的重要内容.本文从以下几方面谈解三角形问题的常用解题策略.

关键词：解三角形 ；解题策略；正弦定理；余弦定理；2017高考

随着高考改革的逐步深入，解三角形部分由原来的单一方面的考查向综合性和实践性过渡，对教师教学和学生的学习提出了更高的要求.现将这部分高考常考题型及解题策略烦人总结如下，供大家参考.

一、直接求解

例1（2017年全国1卷·文）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，则C=_____

解析 由题意得sinA+C+sinAsinC-cosC=0，所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，即sinCsinA+cosA=2sinCsinA+π4=0，所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC得2sin3π4=2sinC，即sinC=12，得C=π6.

例2（2017年全国2卷？文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= .

解析 由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sinA+C=sinB，所以cosB=12，所以B=π3.

例3（2017年全国3卷？文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.

解析 由正弦定理得csinC=bsinB，所以sinB=bsinCc=6sin60°3=22，所以∠B=45°，所以∠A=75°.

点评 上述3个题目都是2017年高考全国卷文科题目，都是选择或者填空题，解题思路基本相似，都直接用正弦定理求解，属于基础题.由此可见在文科卷里只考小题不考大题.

解题策略 在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些是解决问题的思维基础，用正、余弦定理直接解题，提醒一定要牢记正、余弦定理，熟练解题.

二、边角互化

例4（2017年全国2卷·理）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知sin（A+C）=8sin2B2.

（1）求cosB

（2）若a+c=6 ， ΔABC面積为2，求b.

解析 （1）由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2π2，故sinB=4（1-cosB）.

上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=1517.

（2）由cosB=1517得sinB=817，故SΔABC=12acsinB=417ac.又SΔABC=2，则ac=172.

由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac1+cosB=36-2×172×1+1517=4.

所以b=2.

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，都用到了边角互化以及降幂公式.

解题策略 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。

三、整体求解

例5（2017年全国1卷·理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解析（1）由题设得12acsinB=a23sinA，即12csinB=a3sinA.

由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.

（2）由题设及（1）得cosBcosC-sinBsinC=-12，，即cos（B+C）=-12.

所以B+C=2π3，故A=π3.由题设得12bcsinA=a23sinA，即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9，即（b+c）2-3bc=9，得b+c=33.

故△ABC的周长为3+33.

点评 本题主要考查三角函数及其变换、三角形面积公式、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.

解题策略 要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答.在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键.

四、求三角形面积

例6（2017年全国3卷·理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥ AC，求△ABD的面积.

解析 （1）由已知得 tanA=-3，所以A=2π3.

在 △ABC中，由余弦定理得 28=4+c2-4ccos2π3，即c2+2c-24=0，解得c=-6（舍去），c=4.

（2）有题设可得∠CAD=π2，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1

又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23，所以ΔABD的面积为3.

点评 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，主要通过正弦、余弦定理建立方程来求解.

解题策略 要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答.三角形面积公式的应用原则：（1）对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式.（2）与面积有关的问题，一般要利用正、余弦定理进行边和角的互化.

总之，高考中解三角形问题的常考题型一般是求三角形边的问题、角的问题、面积的问题以及与三角形有关的实际应用问题，当然还涉及到求边、角、面积的最值问题，只要掌握好上述策略，在高考中求解相关的问题就会得心应手.

（作者单位：甘肃省镇原县平泉中学 744500）endprint