钟宝山

摘要：“抽屉原理”本是精英课堂里尖子学生学习的内容，新课标把这部分内容划分到了六年级下册的数学广角里面，无疑对教师的“教”和学生的“学”都提出了更高的要求。当然，这里所呈现的只是比较基本的“抽屉原理”。

关键词：数学；抽屉原理；狭利克雷原理；鸽巢原理；鸽舍原理

一、 “抽屉原理”简介

抽屉原理在外国被称为“鸽巢原理”，最先是由德国数学家狭利克雷提出来的。因此，也称为“狭利克雷原理”。外国人喜用“鸽子”和“鸽舍”來做例题（举例），我们则常用“苹果”和“抽屉”来做例题（举例）。

原理1：m个元素，按任一方式分成n个集合（m>n且m、n∈N），则至少有一个集合中含有至少2个元素。

（教科书第70页例题1及若干个变式）

原理2：np+1（n、p∈N）分成n个集合，则至少有一个集合中含有至少p+1个元素。

（教科书第71页例题2及两个变式）

原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。

现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学，以及对原理2的若干灵活运用。

既然我上的不是精英课堂，面对我的这一班普通学生，我必须要选择一种适合这班学生的教学方法来传授新知。

二、 理解抽屉原理要注意的几点

1. 抽屉原理讨论的是“物体”与“抽屉”之间的关系，必须要弄清楚谁是“物体”，谁是“抽屉”，并要求物体数要比抽屉数多，或者比抽屉数的倍数多，至于多多少，无妨。

2. “不管怎么放”的意思是任意放，不限制放的方式，可以平均放，每个抽屉都有，也可以集中放在一起，不要求每个抽屉都有物体，但是要求每一个物体都必须放进抽屉。

3. 抽屉原理只能用来解决一个“存在性”的问题，“至少有一个”就是表示存在满足这样条件的一个抽屉，通常满足条件的抽屉有多个，但不重要，只需要证明有这样一个达到要求的抽屉就足够了。

4. 用假设法（反证法）进行验证的时候，要做极端最坏的打算。假设法（反证法）是解决“抽屉原理”的一般方法。

5. 算术法：物体数÷抽屉数=商……余数那么由抽屉原理2就可以得到，至少有一个抽屉中的物体数不少于（商+1）个。

三、 分析教材所呈现的教学素材

按照素材呈现的顺序来分析：

1. 第70页例题1讲的是“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么？”

这里阐述的是“原理1”：m个元素，按任一方式分成n个集合（m>n且m、n∈N），则至少有一个集合中含有至少2个元素。

也就是“物体数”比“抽屉数”的一倍多1

2. 第70页下面的“做一做”讲的是“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里，为什么？”

这是对“原理1”的灵活运用，但是这里涉及“物体数”比“抽屉数”的一倍多2，正是因为多“2”，所以题目才会将结论直接出示，让学生可以用“假设法”来直接进行验证。

但是我个人认为，仅仅通过一个例题，教学一次假设法，并且这道例题是余数正好是1的这么特殊的情况，马上就让学生验证余数是“2”的抽屉原理练习题，有点为时过早，毕竟我们的学生不是精英学生，也许还有很多中下生没有弄明白，就被赶上架了！所以在还没有完全掌握“假设法”和“算术法”的时候，我不出示余数大于1的练习题。

3. 第71页例题2讲的是“把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？”

这里阐述的是“原理2”：np+1（n、p∈N）分成n个集合，则至少有一个集合中含有至少p+1个元素。

也就是“物体数”比“抽屉数”的N倍多1

4. 第71页下面的“做一做”讲的是“8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里，为什么？”

也就是“物体数”比“抽屉数”的N倍多2

随着例题1、做一做、例题2、做一做。我们发现，“物体数”和“抽屉数”的关系从一倍多1、一倍多2、N倍多1到N倍多2，教材在例题1中渗透“枚举法”和“假设法”的教学，在例题2中渗透“算术法”的教学，其用意是试图通过多角度，全方位地让学生用不同方法验证结论，从而达到获取新知的目的！

可是，我却不太愿意这样去处理，大家有没有发现，教材有呈现三种方法，却没有告诉学生这三种分别是什么方法，更没有对这三种方法进行一个定性，这些方法的核心关键是什么？孰优孰劣？这全凭老师去定夺啊！

有同学会认为：第二种方法（假设法）挺好的，分析得很透彻，清清楚楚明明白白，可是他们不知道，当我们不知道结论的时候，用“假设法”假设多少好呢？聪明的学生数感比较强，可能一眼就能分析出应该假设为多少，其实这部分聪明的学生无形中还是运用了“算术法”的知识在里面啊！有同学会认为第三种方法（算术法）更好，简简单单两个算式，顶得上洋洋洒洒几十个字，可是如果不用假设法去加以验证，很容易跌入“算术法”的（商+余数）误区！

于是我决定：重组教材，在“因材施教”的同时，更应该“因教选材”！

四、 我的《抽屉原理》设计理念

1. 课前游戏，引入课题

5位同学坐在4张椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两位同学。

这个环节的设计意图是，从学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两位同学，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动作了铺垫。

2. 动手操作，动脑思考

（1）教学例1endprint

把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么？

分析题目里，什么是“物体”，什么是“抽屉”，谁比较多，多多少；“不管怎么放”“总有一个文具盒”“至少”分别是什么意思？

完全理解透彻之后再动手尝试，通过操作让学生充分体验感受。

这样设计的目的是，让学生理解最基本的抽屉原理，并在充分了解其基本原理之后，再进行操作，有利于学生理解新知，化繁为简。

最后验证出结论“总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”是成立的。之后告知同学們，刚才动手操作的这种方法叫做“枚举法”，枚举法的关键是要把每一种可能性都要列举出来。

（2）感受枚举法的优劣

枚举法的优点是：直观具体，一目了然。

然后我“因教选材”出示若干个变式，将例题1中的“物体”和“抽屉”的数量逐渐增多，这个时候用“枚举法”证明“总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”结论显然很不方便，于是，需要一种新的方法来解决问题。

我的设计意图是，通过对例题从量变到质变，引发学生思维的碰撞，当已有的知识里不具备解决问题的方法时，学生内在地渴望学习新的知识。

（3）教学“假设法”

当学生渴望学习新知的时候，我顺理成章地教学“假设法”。

解决抽屉原理的一般方法是“假设法”。“假设法”的核心：要做极端最坏的打算

我示范一次，让学生充分和熟练掌握“假设法”的核心原理之后，尝试他们自己证明其中一题，并在小组里交流，最后让学生回头用“假设法”验证例题1，这样设计的目的是，要让学生充分感知，“假设法”是解决《抽屉原理》的一般方法。

（4）教学例2，变式引出“算术法”，发现规律

例题2和之前课堂上出示的题目不同类，是属于原理2的一道最基础的题目，学生要掌握也比较容易。之后我把例题2进行改变，这种改变并不是简单的像例题2那样，把“5”改成“7”和“9”，然后找规律。而是再一次的“因教选材”，我除了把“5”改成“7”和“9”，再把书本上直接给出的结论改成一个问句。我的目的是通过巧妙的处理，呈现出“假设法”的“缺点”，当题目没有直接告知“总有一个抽屉至少放进几本书”的时候，用“假设法”假设每个抽屉先放进几本书好吗？原来可以用的假设法（反证法），在这两道经过处理的特定的题目上，显得很不方便了，这样便可以激发学生求得新知的欲望。

（5）教学“算术法”

这时候进行“算术法”的教学自然是水到渠成了。

首先引导学生观察这三道题中，谁是物体，谁是抽屉，物体比抽屉多多少，这其实就是对原理2的知识点教学，三道题的共同点都是物体数比抽屉数的N倍多1，所得的结论就是（N+1）。

算术法：物体数÷抽屉数=商……余数的核心是“总有一个抽屉至少放进（商+1）本书”。

由于例题2及两道变式的余数恰好是“1”，学生在通过观察、比较和验证之后，似乎觉得一切都是合情合理，于是也许会有学生推断出“物体÷抽屉=商……余数总有一个抽屉至少放进（商+余数）本书”，这时候老师在此处卖一个关子，不加以评论，只是让他们猜测这个“商+余数”的结论是否正确。

（6）感悟算术法的核心所在

在大家都没有结论的时候，我继续“因教选材”。我先让学生区分“商+1”和“商+余数”的区别，然后再呈现两个“做一做”，但是都把结论去掉，改成一个问句：“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里，为什么？”；“8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里，为什么？”

这样的选材既来源于课本，又和课本有所不同，我把两个做一做进行巧妙的变化，并结合课件的直观演示和“假设法”间接推理，使学生充分感受到算术法的核心关键是：不管余数是多少，结论都必须是（商+1），而不是（商+余数）。最后，学生都学得了真理。

（7）巩固练习，触类旁通

教科书第73页的练习题中

第1题：“从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张是同花色。请说明理由。”

第2题：“张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？”

教材的用意和例题出示的顺序一样，第1题是“物体数”比“抽屉数”的1倍多1；第2题是“物体数”比“抽屉数”的N倍多1。可是唯独缺乏了“物体数”比“抽屉数”的N倍多几的情况。所以我再次对教材做了“因教选材”的处理，这次的处理是因为他们的“变式”而决定了它们出现的顺序。

①我先呈现第2题：“张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？”让学生用已学的方法“假设法”和“算术法”进行验证。起到“承上”的作用。

然后出变式：张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环。张叔叔至少有一镖不低于几环。为什么？

让学生先用“算术法”得出结论，再用“假设法”进行验证，既复习了“N倍多1”的验证方法，也复习了“N倍多几”的算术求证和假设验证方法。可谓一举多得！

②我再呈现第1题：“从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张是同花色。请说明理由。”

然后出变式：“从两副扑克牌中取出4张王牌，在剩下的104张中任意抽出5张，至少有几张是同花色。请说明理由。”

这个变式的价值在于，让学生感悟“52”和“104”都只是原来的扑克数，只起到“足够多”的作用，真正起作用的是抽出来的“5张”扑克牌。这个“足够多”的条件和下一节课的例题3里面的“4”有着异曲同工之妙，所以这道拓展题是为下一节课作铺垫，起到“启下”的作用！

最后，我设计了一个还文具盒给老师的游戏来结束这节课。

“任意五位同学还文具盒给钟老师，不管怎样还，总有2个文具盒同颜色。为什么？猜一猜，老师带来的文具盒有什么数学奥秘在里面？”

我这样设计的意图是：把课前发下去的文具盒还给老师，教学情景源于课堂，贴近学生的实际，并前后呼应。此题的设计是不知道抽屉数是多少，通过学生实际操作，让学生猜测，从而感悟出“物体数-1=抽屉数”，为下一节课将要学习的“抽屉数+1=物体数”作好铺垫。

这就是我对《抽屉原理》教材的点滴理解，以及对教材进行的若干处理，在研究教材的过程中，我还存在很多认知困惑以及处理得不恰当的地方，希望大家能够多提宝贵意见！谢谢！endprint