APP下载

不定积分的计算方法教学探析

2017-11-27黄国建

学周刊 2017年34期
关键词:不定积分数学思想计算方法

黄国建

摘 要:不定积分方法的教学是高数的一个重点与难点,在教学中,若能基于数学思想方法的视角,顺着积分方法产生的逻辑去组织教学,往往会事半功倍,使学生掌握得更好。从数学思想与方法的角度,组织不定积分教学,解释这些积分方法产生的原因,可以让学生不仅知其然,还知其所以然。

关键词:不定积分;计算方法;数学思想

中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1673-9132(2017)34-0021-02

DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.34.009

不定积分方法的教学是高数的一个重点与难点,一般教科书上是先讲第一换元法,也称凑微分;然后讲第二换元法,包括三角代换和根式代换,最后再讲分部积分。这种方式只是按部就班陈述各种积分的方法,却忽视了这些方法产生的背景,学生只知其然却不知其所以然。事实上,这些方法背后是有很强的逻辑关系的,揭示了很强的数学思想与方法,在教学中,若能基于数学思想方法的视角,顺着积分方法产生的逻辑去组织教学,往往会事半功倍,学生掌握得更好。

一、逆向思维推导出的基本积分公式,是不定积分计算的基石

定义:设F(x)是函数f (x)的一个原函数,则f (x)的全体原函数称为f (x)的不定积分,记作 f (x)dx,即

f (x)dx=F(x)+C。

从原函数与不定积分的定义可以看出,积分运算和微分运算是互为逆运算的,从常用函数的导数公式可以得到相应的积分公式,一般教材中都有。这些公式是进行积分运算的基础,必须熟记.不仅要记住右端结果,还要熟悉左端被积函数的形式。我们所能计算的不定积分,无一例外都要化简到以上基本积分公式才能做出来。

例1 求 dx.

解 将被积函数拆项为部分分式之和,就可利用基本公式来解 dx= dx= dx- dx=- -arctan x+C.

二、应用基本积分公式作整体换元,就是凑微分

在不定積分的计算过程中,并非所有不定积分经化简后都可以直接套用基本积分公式,例如计算不定积分 sin10xdx,想用 sin xdx=-cosx+c这个公式必须要保证等号左边两个x是一样的。

故我们尝试把原积分变形后计算:

sin10xdx= sin10xd(10x)

令u=10x sinudu=- cosu+C u回代 - cos10x+C

这种先“凑”微分,再作变量代换的方法,叫第一类换元积分法,也称凑微分法。实际操作时,对凑微分法有三句话的要求:1.被积函数的外函数很容易积分,一般都是基本积分公式中的;2.在微分算子后尝试凑成被积函数的内函数的微分;3.凑好的微分一定要去计算,计算后和原来的表达式至多相差一个常数。

例2 计算 dx

解: dx=- 1-x d1-x =- 21-x +c= +c

三、当被积函数中的根式无法化简到基本积分公式来处理时,就产生了根式代换

在基本积分公式中,有根式的只有两个,要么把根式当作幂函数来积分,例如 dx;要么把根式当作 dx来凑微分,例如 dx。如果遇到的题目中的根式都没法化简到这两种情况,那意味着根式保留在被积函数中就没法积分了。那只有想办法去掉根式,这就是第二换元法的基本思路。

例3 dx.

解:题中对根式化到基本积分公式中无法解决。为了消去根式,可令 =t,则x=t2+1,dx=2tdt,于是

dx= dt=2 dt=2 1- dt

=2(t-arctant)+C=2( -arctan )+C

四、根式下有平方项时,根式代换往往不能去掉根式,产生了三角代换

当被积函数含有被开方因式为二次多项式时,如果也做根式代换,会达不到去掉根式的目的,因为求出反函数时仍含有二次根式。例如令t= ,解出x=± ,代入后被积表达式中显然还有根式,没有达到通过换元去掉根式的目的。可以结合三角函数公式,通过适当换元将二次根式内化作某个表达式的平方,就可以去掉根式了。

例4 求 dx(a>0)

解:为了消除被积函数中的根式,可令x=a sin t(-

= (1+cos 2t)dt= (t+ sin 2t)+C= (t+sin t cos t)+C

如图,可利用t是锐角时作辅助直角三角形,有t=arcsin

,cos x= ,

因此 dx回代 (arcsin + )+C.

本文基于数学思想方法的角度,解释了不定积分各种方法产生的背景,让学生知道为什么会用这些方法。这样的教学组织形式,会比传统教科书按部就班讲述各种方法更易于接受也更好操作。

参考文献:

[1] 刘光,刘荣.不定积分教学方法探析[J].重庆科技学院学报(社会科学版),2005(1):121-122.

[2] 王怡.不定积分计算方法及教法探讨[J].资治文摘(管理版),2010(5):85.

[ 责任编辑 胡雅君]

猜你喜欢

不定积分数学思想计算方法
关于“不定积分概念”的教学设计
浅谈凑微分法的教学
随机振动试验包络计算方法
不定积分中凑微分的方法
不同应变率比值计算方法在甲状腺恶性肿瘤诊断中的应用
一种伺服机构刚度计算方法