杨彩虹，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)



一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性

杨彩虹，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

讨论了一类具有垂直传染与饱和发生率的SEIR模型的稳定性，考虑了接种免疫对传染病传播的影响。通过计算得到模型的基本再生数R0，证明了当R0≤1时，无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的。利用Hurwitz判据和第二加性复合矩阵证明了当R0>1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，且在一定条件下是全局渐近稳定的。

垂直传染；饱和发生率；SEIR；稳定性

0　引言

传染病严重威胁人类健康，所以对传染病模型的研究越来越得到人们的重视，而且近20年来的研究也取得了显著成果。比较简单的传染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康复者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潜伏者-患病者-康复者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等仓室模型。 文献[1-2]对具有饱和感染率、饱和治愈率以及垂直感染的SIR传染病模型进行了研究,这类模型将人口种群分为易感者S、患病者I和康复者R，简称SIR模型，研究发现：系统会出现后向分支和hopf分支，并分析了此类传染病的传播过程和预防治疗方向。然而现实生活中有些传染病是具有潜伏期的，一般将携带病毒但没有发病的人群记为潜伏者E，对这类传染病可建立SEIR仓室模型。文献[3]分别对SIR模型和SEIR模型进行了讨论，发现虽然SEIR模型比SIR模型复杂，但研究方法和结果有许多相似之处，而且当具有线性治愈率时，系统仅存在无病平衡点和一个地方病平衡点，当然也存在众多差异。文献[4-5]针对SEIR模型进行了详细研究，本文在其基础上建立了更加简单而且适用范围更广的SEIR模型。

1　模型的建立

考虑到接触传播、垂直传播、预防接种和有效治疗这几个因素的综合影响，建立模型并做如下假设和说明:

(Ⅰ)S、E、I和R分别为易感者、潜伏者、患病者和康复者。

(Ⅱ)人口总数记为N，N=S+E+I+R。

(Ⅲ)b为S、E和R的总出生率和死亡率；δ为I的出生率和死亡率；m′为对易感者、潜伏者和康复者的新生儿的预防接种比例(m+m′=1)；q为垂直感染率(p+q=1)；ω为潜伏者转变成患病者的概率；ε为潜伏者的恢复率；γ为患病者的恢复率。

模型为：

(1)

2　平衡点

(2)

将系统(2)的3个方程相加得：

可以证得：

(3)

显然Ω为系统(2)的正向不变集,下面仅在Ω内讨论系统(2)。

(4)

(5)

(6)

3　无病平衡点

3.1局部稳定性

定理1当基本再生数R0≤1时,无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0>1时，无病平衡点E0是不稳定的。

证明无病平衡点E0处的雅可比(Jacobian)矩阵为：

(7)

特征方程为：

(λ+b)(λ2+(pδ+γ+b+ω+ε)λ+(pδ+γ)(b+ω+ε)-βωm)=0;

λ1=-b；

λ2+λ3=-(pδ+γ+b+ω+ε)；

λ2λ3=(pδ+γ)(b+ω+ε)-βωm。

当R0>1时,有βωm>(b+ω+ε)(pδ+γ),所以λ2λ3<0,即λ2,λ3异号,无病平衡点E0是不稳定的。 当R0<1时,有βωm<(b+ω+ε)(pδ+γ),所以λ2λ3>0，又因为λ2+λ3<0,所以λ2,λ3<0,即无病平衡点E0是局部渐近稳定的。

3.2全局稳定性

定理2当R0≤1时,无病平衡点E0是全局渐近稳定的。

(8)

(9)

4　地方病平衡点

4.1局部稳定性

定理3当R0>1时,地方病平衡点E1是局部渐近稳定的。

证明地方病平衡点E1处的雅可比(Jacobian)矩阵为：

(10)

特征方程为：

a3λ3+a2λ2+a1λ+a0，

(11)

其中：

a3=1；

显然a3>0,a2>0,将式(4)带入a1和a0化简可得：

特征方程(11)的赫尔维茨(Hurwitz)行列式为：

由赫尔维茨(Hurwitz)判据得：特征方程(11)的所有根都具有负实部,所以当R0>1时，平衡点E1是局部渐近稳定的。

4.2全局稳定性

设开集D⊂Rn,对x∈D,x→f(x)∈Rn是C1函数,考虑微分方程

(12)

设x(t,x0)代表方程(12)满足条件x(0,x0)=x0的解,集合K称为方程(12)在D内的吸引集,若对每一个紧子集K1⊂D,当t充分大时,都有x(t,K1)⊂K,做如下基本假设：

(H1) 方程(12)在D内存在一个紧的吸引子集K⊂D。

定理4若bm-pδ<0,则当R0>1时,地方病平衡点E1在Ω内部是全局渐近稳定的。

系统(2)的雅可比矩阵为J，

(13)

由文献[9]知:矩阵J的第二加性复合矩阵为J[2]，

(14)

(15)

μ(B)≤sup{g1,g2},

(16)

下面计算μ1(B22)。把B22的每一列非对角线上的元素取绝对值,然后加到相应列的对角元素上得:

(17)

由系统(2)知:

(18)

定义1中提到的常数c可以经过调整后得到：存在T>0使得E(t)>c,I(t)>c(t>T),其中T与x(0)∈K无关。

5　结论

(1)当R0≤1时,无病平衡点E0是全局渐近稳定的；当R0>1时，无病平衡点E0是不稳定的。

(2)当R0>1时，地方病平衡点E1是局部渐近稳定的；当bm-pδ<0且R0>1时，地方病平衡点E1是全局渐近稳定的。

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国家自然科学基金项目(61174209,11471034)

杨彩虹(1991-)，女，山东滨州人，硕士生；胡志兴(1962-)，男，陕西汉中人，教授，博士，硕士生导师，主要从事非线性动力系统与混沌、生物数学等方面的研究.

2016-07-28

1672-6871(2017)01-0078-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.016

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