对称性和对称性分析方法的应用

2017-11-13赵贤觉赵诗华

物理教师 2017年10期

关键词：点电荷场强对称性

赵贤觉赵诗华

(1. 北京大学附属中学,北京 100190; 2.中国矿业大学(北京)理学院,北京 100083)

对称性和对称性分析方法的应用

赵贤觉1赵诗华2

(1. 北京大学附属中学,北京 100190; 2.中国矿业大学(北京)理学院,北京 100083)

本文通过典型例题讨论了对称性方法在问题求解中的应用,指出对称性分析不仅可以提供解题思路并且还能够简化计算．

轴对称;面对称;球对称;左右对称

物理学有系统性、理论性、科学性的美,对称性是科学性的美的重要体现．很多物理现象都蕴含了对称性,如抛体运动、行星运动、简谐振动、交变电流、圆周运动、热机中活塞往复运动,等等．很多物理规律也体现了对称性,如电能生磁、磁能生电、库仑定律、开普勒三大定律、保守力做功、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律、光的折射定律和反射定律等等[1,2]．

应用对称性分析解决问题的能力隐含在物理高考要求考查的5种能力之中．有些问题的求解,对称性可用可不用,但应用对称性分析往往会简洁;还有些问题,如果不用对称性分析是难以解决的．有的问题并没有明显的对称性,设法填补对称性就能顺利求解[1,2]．下文我们通过一些典型例题来说明对称性分析的方法．

图1

例1.(2013年安徽高考题)如图1所示,xOy平面是无穷大导体的表面,该导体充满z< 0的空间,z> 0的空间为真空．将电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处,则在xOy平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为0,则在z轴上z=h/2处的场强大小为(k为静电力常量)

图2

解析:要求z=h/2点的场强,该场强是在点电荷q和导体表面感应电荷在该点产生的电场矢量和,但感应电荷分布未知,不能直接求其场强．然而稍加观察可知,此问题具有两种对称性．因为点电荷q位于z轴,在xOy平面上的感应电荷必定对称地分布于以原点为圆心的同心圆上,空间各点的电场也就关于z轴对称分布,z轴上的电场只有z分量,这是第一种对称性．第二种是面对称,由于感应电荷分布于xOy平面上,因此感应电荷激发的电场必定关于xOy平面对称,即在上半空间和下半空间对应点的感应电荷产生的电场大小相等方向相反．将上述对称性和电场强度叠加原理结合起来,可以求解空间任意一点的电场,特别是应用到z=h/2的P点和z=-h/2的P′点就能够得到本问题的解,如图2所示．P′点处的电场是z=h处的点电荷q与感应电荷产生电场的矢量和,由于导体内部场强处处为0,因此有

EqP′+EeP′=0.

(1)

其中下标q表示点电荷q的电场,下标e表示感应电荷的电场．点电荷q在该点的电场只有z分量,因此得到感应电荷在P′点的电场也只有z分量EeP′,由(1)式可得

(2)

又由于感应电荷的电场关于xOy平面对称,我们有

(3)

于是可知在z=h/2的P点处的场强为

(4)

P点的电场只有z分量,计算结果的正负也就表明了电场强度的方向．当q> 0时,(4)式表明电场沿z轴负方向,大小为40kq/9h2,因此本题正确选项为(D)．应当指出,由于电荷量可正可负,而场强大小只能是非负的,因此只有在题目中加上q> 0的条件才严谨．

图3

例2.用均匀电阻丝做成正方形网络如图3,由9个相同的小正方形组成．小正方形每边电阻均为r=8Ω．(1)A、B两点间接入电池,其电动势E=5.7V,内阻忽略,求流过电池的电流强度．(2) 若用导线连结C、D两点,求通过此导线的电流．

解析:这是一道复杂电路问题,由对称性分析可以简化成简单电路．将题图旋转45°,如图4,电路关于ABCD上下对称,因此FF′、HH′、GG′、OO′、PP′、QQ′为成对的等势点,可将各对应等势点短接,于是简化为简单电路如图5所示．易知RAB=5.7Ω,故流过电池的电流为1A．若用导线连结C、D两点,仍为简单的串并联电路,稍加计算可知流过导线CD的电流为0.267A．

图4

图5

例3.试求如图6所示电路中A、B间的等效电容CAB．已知C1=C2=C3=C9=1μF,C4=C5=C6=C7=2μF,C8=C10=3μF．

图6

图7

解析:易见电路中除C2和C9外,其他电容器呈左右对称分布．如果整个电路具有完全的左右对称性就好了,因而很自然地希望采取措施补足对称性．利用电容的串并联不难实现这一想法．为此,将电容器C2视为两个电容器C2′串联,C2′=2μF;将电容器C9视为两个电容器C9′并联,C9′=0.5μF．于是原电路转化为图7形式,成为左右对称电路．显然电容器C9′不起作用,可以拿掉,从而成为简单的电容器串并联电路,问题也就迎刃而解．计算结果为

(5)

图8

解析:所给带电体差一点就具有球对称性,和上一例题类似,在这种对称性稍有欠缺而对称方案又比较明显的情况下,我们的思路就是设法补充对称性．若将小球视为两个带相反电荷的均匀带电球体,且其中一个的电荷密度正好等于原来带电体的电荷密度,则问题转化为均匀带电的大球和小球在P点所产生的电场的叠加,于是可以利用球对称电场分布的结论求解．大球的电荷密度ρ和原带电体相等,为

(6)

小球电荷密度为-ρ,半径为R/2,球心位于O′点,P点在大球和小球之外,因而P点的电场为电荷位于球心的两个点电荷电场的叠加,于是可得

(7)

代入电荷密度ρ之后可得P点的电场强度大小为

图9

(8)

例5.由如图9所示的电路,其中E为内阻可以忽略的电源的电动势,R为电阻的阻值;S为开关;A、B右边是如图所标的8个完全相同的容量均为C的理想电容器组成的电路,问从合上S到各电容器充电完毕,电阻R上发热消耗的能量是多少?(在解题时,要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负)

解析:题中电容均相等,且电容器布置似乎呈现出某种对称性,启发我们发掘对称性．因此首先将题图画成更为对称的形式,如图10所示．现在电路中的对称性一目了然,D和D′点等电势,故可将导线DD′去掉,于是简化为电容串并联电路,如图11所示．根据电源的正负极的位置,从图11即可直接读出各个电容器极板的正负,这里为简洁起见将其省略．由图11可见,CAB为C、C/2、3C/8 3个电容并联,因此有