宋辉武 刘 博

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010； 2. 长春师范大学物理学院，吉林 长春 130032)

·复习与考试·

作图法巧解镜像电荷与零势能面
——兼谈圆的对称点在镜像法中的应用

宋辉武1刘 博2

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010； 2. 长春师范大学物理学院，吉林 长春 130032)

结合数学上关于圆的对称点的概念,利用几何作图的方式处理了和镜像法有关的典型的电学问题——接地导体球问题,第一,简洁准确地找到像电荷的位置,并计算其电荷量;第二,作出了两个不等量异号点电荷的零势面．

对称点; 作图; 像电荷; 零势面; 阿波罗尼斯圆

1 确定像电荷的位置和电荷量

镜像法,顾名思议就是镜子加上像的思想方法,众所周知,最简单也最典型的模型就是接地无限大平面导体板附近若有一个点电荷,则导体表面为零势面,这个零势面即相当于一个“镜子”,而关于这个镜子对称的地方便可以等效出一个像电荷,此种情况下像电荷到镜子的距离等于点电荷到镜子的距离,像电荷的电荷量与点电荷的电荷量等大且电性相反,可以看出像电荷和这个点电荷是关于镜子对称的,这是一类问题,常见的另一个典型的问题就是接地导体球的像电荷问题,如下所示.

图1

例1.如图1所示,真空中有一半径为R0的接地导体球,距球心为a(a>R0)处有一点电荷Q(正电荷),求空间各点的电势．

解析:此题是郭硕鸿教授主编的《电动力学》54页选取的一个问题,用于讲解镜像法,镜像法即用一个假想电荷Q′来代替球面上的感应电荷,最后把问题变为求解两个点电荷在空间各点产生的电势,对于这个问题,关键是如何找到像电荷的位置和像电荷的电荷量．郭教授给出的参考答案如下:

如图1所示,假设可以用球内一个假想点电荷Q′来代替球面上感应电荷对空间电场的作用,由对称性,Q′应在OQ连线上,关键是能否选择Q′的大小和位置使得球面上φ=0的条件得到满足?

考虑球面上任一点M,边界条件要求:

式中r为Q到M的距离,r′为Q′到M的距离,因此对球面上任一点,应有

由图1可以看出,只要选Q′的位置使△OQ′M∽△OMQ,即

探究:实际上如果我们懂得了镜像法的内涵,根本不用进行复杂的计算即可得出像电荷的位置和电荷量．

图2

下面笔者再介绍一种更简便的方法准确地找到像电荷的位置,那就是作图法,为了得出更加具有普遍意义的方法,我们考虑一种比较复杂的情况．假设现在有两个球形的零势面,即两个球形的镜子,如何找到两个同时关于这两个镜子对称的点呢?如图2所示,圆O1和圆O2的半径分别为R1和R2,圆心在同一条直线上,并且两个圆心之间的距离为L,下面我们通过作图的方式找到同时关于这两个圆对称的两点,首先过圆O1和圆O2的切线交两个圆于点A、B,以|AB|长为直径作一个圆O,与直线|O1O2|交于点M、N,则M、N两点既关于圆O1对称,又关于圆O2对称,证明如下:

图中∠O1AB=∠O2BA=∠AMB=∠ANB=90°,

又∠AMO1+∠BMO2=∠O1AN+∠BAN=90°,

根据同弦所对的圆周角相等,可知∠BMO2=∠BAN,

因此∠AMO1=∠O1AN,

因此△O1MA∽△O1AN,即可得R12=|O1M|·|O1N|,

所以M、N两点关于圆O1对称;

同理可得R22=|O2N|·|O2M|,

所以M、N两点也关于圆O2对称．

图3

下面我们再回过头来看例1就会感觉容易很多,此时我们可以将上述的圆O2进行无限压缩,最后缩小成一个点Q,即变为例1的模型,如图3所示,首先我们过点电荷Q作圆O的切线QA交圆O于点A,再以|OA|长为直径作圆O′,与线段OQ交于点Q′,这样一来我们便轻轻松松地找到了像电荷Q′的位置,并且此时满足∠OAQ=∠AQ′Q=90°,直角三角形中的射影定理在这里即表示为R02=|OQ′|·|OQ|=b·a．

必须强调的是,对于图2的问题来说,既然我们已经说M、N是同时关于这两个圆对称的两点,那么是否意味着在M、N两点的电荷Q、Q′能同时满足圆O1和圆O2是两个不同的零势面?答案是否定的,下面来看证明,

为了方便,我们设|O1M|=b,|O2N|=c,则|O1N|=L-c,|O2M|=L-b,

考虑M、N两点关于圆O1对称,则应该有

(1)

考虑M、N两点关于圆O2对称,则应该有

(2)

(1)(2)两式相乘,可得

R1·R2=(L-c)(L-b),

(3)

而实际上根据对称性,满足的是以下方程:

R12=b·(L-c),

(4)

R22=c·(L-b),

(5)

若(3)～(5)3个方程同时成立,则应该满足L=b+c,显然此时M、N两点将重合为一点,因此这是不可能的．也就是说如果有两个点电荷,那么它们的零势面只能是唯一的,这一点我们通过下面例2的讨论也将再一次得到证实．

2 确定两个不等量异号点电荷的零势能面

上面讲述的问题是已知零势面即已知镜子,然后寻找像电荷,下面我们来看一下相反的过程,即已知两个点电荷寻找零势面．

图4

例2.如图4所示,两个不等量异号点电荷-q和Q,相距为d,其中q

3 总结

“镜像法”是大学物理的必修内容,如果我们能够以数学理论为依据,结合几何作图的方式简单易懂地处理掉这些问题,相信会激起学生的研究热情,学生会好奇“为什么可以这样作图呢?这其中难道有什么更深层次的物理意义?”图文并茂始终是我们理科学习的一个重要手段,在强调培养学生核心素养的时代背景下,教师如果能够提出一些具有启发探究意义的物理问题作为课堂引入,相信会有利于引导学生的深入学习．利用作图的方法解决物理问题实际上有很多形式,笔者撰写此文,旨在抛砖引玉．

1 郭硕鸿.电动力学[M].北京:高等教育出版社,2008.6.

2 郑金.利用阿氏圆巧解物理题[J].物理教师,2017(4)： 64-66.

本文获吉林省教育学会“十三五”教育科学课题“高中物理与其他学科进行交叉教学的研究”(课题编号:13513148B)资助.

2017-05-12)