卢志军 蔡 钳

(广东仲元中学,广东 广州 511400)

从图式及变式的角度突破磁场的边界与动态问题

卢志军 蔡 钳

(广东仲元中学,广东 广州 511400)

带电粒子在磁场中的运动是高考常考的知识点,并且是高考的重点之一,磁场的边界问题更是这类问题的重要区分点之一．高中阶段常见的磁场的边界有两种:直线边界和圆形边界;而常见的运动轨迹的动态问题也有两种:速度方向不变但大小变化的问题和速度大小恒定但方向变化的问题．这类问题组合可谓千变万化,难度也各异． 如何突破这类问题,教给学生有效的解决问题的策略,是高中物理教师探索得较多的一个方向．

高中物理教师讨论得较多问题之一是:如何确定粒子在磁场中圆周运动的圆心?文献[1]一文中,已详尽地总结出确定圆心的10种方法,而本文主要采用比较常用的这3种方法: (1) 过入射点和出射点做两速度的垂线,垂线的交点即为圆心; (2) 过入射点的速度垂线和弦(入射点与出射点连线)垂直平分线的交点; (3) 过入射点的速度垂线与角(入射速度与出射速度夹角)平分线的交点[1]．以下简称“3种方法”．

在对该问题的多年的教学中,笔者经过探索、实践和总结,归纳出从图式及其变式的角度对该类问题进行教学． 试图用一个图式对一类问题进行归纳,并利用该图式的变式,进行拓展,进而迁移到其他类型问题的学习．

所谓图式,是人脑中已有知识经验的网络． 图式是各种记忆成分(命题、表象和态度)的组织,表征的是属于某一一般概念的一大块有意义的信息(Anderson,1985)．加涅在《教学设计原理》一书中提到“从新呈现的教学中进行学习时,学习者是带着他们记忆中已有的各种图式来面对学习任务的．”[2]

例如像“房子”这个概念图式,自然会让人们想到它的特征(房间、墙壁、屋顶和厨房等);又例如“进饭店”这样一个事件图式,人们自然会联想到“坐哪里、看菜单、点菜等”．那么怎样给带电粒子在磁场中运动的各类边界问题,创设各类基本的图式?笔者认为应该从一个最基本的边界问题开始．

一个基本的图式:带电粒子在有直线边界的磁场中,以某一速度做匀速圆周运动．

如图1所示,引导学生从半径较小的圆,逐步扩大圆的半径,最后画出与边界相切的圆．在上述两个轨迹圆中,粒子以某一速度出射,恰好从上边界射出(即与上边界相切),通过作入射点速度的垂线与两速度夹角角平分线的交点,即可确定圆心．利用几何关系,可以证明左图中出射速度与边界的夹角和入射速度与边界的夹角相等(即都是弦切角)．在所有直线边界问题中,这是一个基本问题,可以以这个问题为基本的图式,展开对这类问题的研究．

图1 直线边界的基本图式

在上述的基本图式中,运用常用的3种方法与学生讲解确定圆心的问题,让学生深刻体会这3种方法的运用规律,并感受到这3种方法就是该图式的属性,即学生看到上述的基本图式,就自然能想到这3种方法．这样便成功地在学生的知识储备中创建了解决问题的图式,接下来的工作便是应用这个图式解决复杂的问题,并力求可以迁移、形成更高层次的解题策略．

从上述的基本图式出发,进行各种复杂的变式,而在磁场边界问题的各种变式中,可以归纳出以下几类变式．

1 单方向的线段边界问题

利用一个带电粒子从有界磁场中的某点斜射向边界,找到能射出边界的最小速度问题,并进行拓展,从一个边界拓展到两个边界,进而拓展到多边界问题．

例1.如图2所示,一匀强磁场有一水平边界,磁感应强度为B,一带电粒子质量为m,带电荷量绝对值为q,不计重力,以一速度v0垂直射入磁场,方向与水平成θ=60°角,入射点离边界距离为d．若要使其不能从边界飞出,则带电粒子的速度应为多大?

图2

带电粒子若带正电将向左偏转,带电粒子若带负电将向右偏转,轨迹如图3所示．

如果能够引导学生画出如图3所示的两个与边界相切的圆,那么该问题就解决了．问题是,如何能够让学生想到边界圆就是这样,这就需要从第一个基本的图式开始,如图4所示,引导学生从小到大画圆,逐步扩充到与边界相切．

图3

当学生完成图4的作图后,不难发现,图4实际上就是第一个图式的变式．当学生在第一个图式中得到足够的作图训练,并能够熟练地确定轨迹圆的圆心后,例1便顺利得到解决．下列例2将在例1的基础上增加两个线段边界,以增加问题的难度,从而也试图提高学生解决此类问题的能力,并在学生脑中建立一个稳固的解题策略的图式及其变式．

图4

图5

例2.一质量为m、带正电q的粒子(不计重力)从O点处沿+y方向以初速v0射入一个边界为矩形的匀强磁场中,磁场方向垂直于xy平面向里,磁场的边界分别为y=0、y=a、x=-1.5a,x=1.5a,如图5所示,改变磁感应强度B的大小,粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度θ会随之改变．试讨论粒子可以从哪几个边界面射出,从这几个边界面射出时磁感强度B的大小及偏转角度θ各在什么范围内?

图6

在经历了第一个图式的训练及例1的变式应用之后,学生遇到图5所示的边界问题,应该能够自发的想到作一个如图6所示的轨迹图,逐步地扩大轨迹圆,使得它和各个边界相切,并确定轨迹圆的圆心,如果能够做到这一步,那么这个问题便可以顺利地解决了．

直线边界问题,如果要再进一步提升,那便是带电粒子以不确定的速度方向射向直线边界,形成一系列动态变化的圆的问题．

2 多方向的直线边界问题

图7

如图7所示,一带正电的粒子从点S沿不同方向射出粒子,粒子速度大小相同,且粒子在磁场中运动的半径与点S到挡板的距离l相等．求粒子能够到达挡板ab的区域长度．

图8

在经历了上述一系列问题的解决过程,学生看到问题从大脑已储备的图式反馈回来的信息应该是作轨迹图．然而这个作图与之前问题的区别是速度的方向发生了变化,但轨迹圆的半径恒定,这种变式的跨度应该在学生可以接受的范围之内,若对前面讲述的方法能够掌握熟练的同学,自然地会琢磨着画一系列转动的圆,如图8所示．若能画出这一系列旋转的圆,利用轨迹2和轨迹4便可以求出打在挡板上的范围．

同样的方法,可以应用在解决例题3,如下题所示．

图9

例3.如图9,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的在磁场中做圆周运动的半径都是R=10cm.现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求挡板上被α粒子打中的区域的长度．

α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,以S点为圆心,以R=10cm为半径画一个圆,该圆即为所有粒子做圆周运动的圆心所在的曲线．于是,可以以该圆上某点为圆心,以R=10cm为半径画圆,如图10所示,让这些轨迹圆逆时针转动,不难发现图中圆P和Q分别是打在ab板上区域的左右临界圆．

图10

在解决了直线边界问题,如果要对这类问题往更高层次变式、拓展,提高学生解决问题的思维能力,让学生思维得到全面发展,那么把磁场边界改为圆形边界,便是教学的突破点．

3 圆形边界问题

3.1 粒子从圆形磁场外边界某点射入磁场的问题

如图11所示,带电粒子以某一速度入射到圆形边界的磁场中．

图11 圆形磁场边界的基本图式

图11展示的是圆形磁场中的两类基本问题: (1) 粒子速度沿着磁场圆的直径正对圆心入射; (2) 粒子从圆形磁场边界某点以任一方向速度入射．这两种情景确定圆心的方法都是一致的,过入射点作速度的垂线,在速度垂线上取一与入射点距离等于轨迹圆的半径的点,该点即为轨迹圆的圆心．可以利用几何关系证明沿直径方向入射的粒子,离开磁场时速度方向仍沿直径方向．在处理圆形磁场边界问题时,笔者以此为基本图式展开教学,关于作图的方法不再赘述,这里谈谈如何从上述图式进行变式,并迁移到解决具体问题的教学,如下例题4所述．

图12

例4.一半径为R的薄圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场方向与筒的中心轴线平行,筒的横截面如图12所示．图中直径MN的两端分别开有小孔,筒可绕其中心轴线转动,圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变．一不计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场,当筒以大小为ω0的角速度转过90°时,该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒．

(1) 若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞,求该粒子的荷质比和速率分别是多大?

(2) 若粒子速率不变,入射方向在该截面内且与MN方向成30°角,则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒,圆筒角速度应为多大?

解析:很明显,该题的第(1)问,粒子沿着直径方向入射圆形磁场,且转过90°,出射时必沿直径方向,轨迹如图13中“1”所示,确定圆心后便可知粒子的轨迹半径与圆形磁场的半径相同,问题便迎刃而解．

图13

同样的,第(2)问中粒子以与直径方向成30°角入射,并且知道粒子做圆周运动的半径与磁场圆的半径相同,从基本的图式出发,可以这样画出轨迹:过入射点M作速度的垂线,在垂线上找到点O′,使得O′到M点的距离为R,以O′点为圆心,以R为半径便可作出粒子做圆周运动的轨迹,该轨迹交磁场圆边界于P点,如图13所示．连接O′P、OP,可以发现四边形OPO′M刚好是一个菱形．找到了菱形,得到∠MO′P=120°,该题便得到解决．

若对这个问题继续向高层次拓展,可以让粒子以不同的方向从M点射入磁场,这样粒子会从磁场边界不同的点射出,用同样的方法作图、找到菱形,便可发现粒子出射的方向如图14所示(这便是磁发散,逆过程就是磁聚焦．)．

图14

3.2 从圆形磁场内的某点以不同大小的速度出射问题

如图15所示,在圆形磁场内的某一点A,带电粒子以大小不同的速度射出,笔者与学生一起画圆,从半径较小一直扩大圆的半径,一直到轨迹圆与磁场圆的边界相切．左图是圆内充满匀强磁场,粒子在A点向上或向下射出,因此粒子会向左或向右偏转,与学生一起画出图示的两组轨迹圆,直到轨迹圆与磁场圆边界相切;右图是环形磁场,磁场内有一小圆内没有磁场,同样的,在A点有粒子向上以大小不同的速度射出,笔者与学生一起让圆的半径从小变大画圆,直到轨迹圆与圆环的两个边界相切．进行重复操作,直到学生能熟练画出两组圆,在脑中创设一个比较稳固的图式．这里均出现轨迹圆与磁场圆相切,有内切和外切,值得注意的是不管内切还是外切,所有圆的圆心和切点均在同一直线上．

图15

掌握了上述作图的方法,笔者尝试让学生完成以下例题．

图16

例5.如图所示,在半径为R的圆周内,有磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,有质量为m、带电量为q的相同粒子,在A处垂直磁场向各个方向射出,已知A是半径OC的中点．

(1) 要使所有粒子都不能射出磁场,求粒子速度的最大值v1;

(2) 要使所有粒子都能射出磁场,求粒子速度的最小值v2．

图17

学生看到题目后,第一反应就是尝试画图,由小到大画轨迹图,也尝试着将轨迹圆旋转,最终画出了如图17所示的两个轨迹圆． 很明显,左边的轨迹圆是解决第(1)问的钥匙,画出右边的轨迹圆便解决了第(2)问．

经过多次失误的过程后,学生成功画出如图19、20和21所示的轨迹圆,顺利地解决了问题．

图18

图19

图20

图21

纵观全文,解决带电粒子在磁场中做圆周运动的边界问题,从基本的图式出发,主要应用两种方法: (1) 相同方向出射的粒子,速度由小到大,画轨迹圆,直到轨迹圆与边界相切; (2) 速度大小相等,向不同方向出射的粒子,画旋转圆,直到找到旋转圆与边界“相交”或“相切”的临界圆．当学生对这两种方法应用非常熟练之后,遇到类似的情景,便自然地从脑中调出相应的图式:“逐步扩大的圆”或者“旋转的圆”来解决问题,并能够省略画其他圆的步骤,一步到位的画出需要的与边界相切的圆．

1 张江峰.浅谈磁场中圆心的确定[J].中学物理教学参考,2013(3):26-28.

2 加涅·韦杰.教学设计原理[M].王小明等，译.第1版.上海:华东师范大学出版社,2007(6)： 104-105.

3 童志红，李东丽.“动态圆法”解决带电粒子运动的临界问题[J].物理教师，2010(9)：15-16.

2017-03-24)