姚 磊

(深圳市盐田高级中学,广东 深圳 518000)

·高考命题研究·

用“裂项相消法”求解一道高考压轴题

姚 磊

(深圳市盐田高级中学,广东 深圳 518000)

原题.(2014年安徽卷第24题)在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物块B．物块与左右两边槽壁的距离如图1所示,L为1.0 m,凹槽与物块的质量均为m,两者之间的动摩擦因数μ为0.05．开始时物块静止,凹槽以v0=5 m/s初速度向右运动,设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失,且碰撞时间不计,g取10 m/s2．求:

(1) 物块与凹槽相对静止时的共同速度;

(2) 从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数;

(3) 从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小．

图1

本题所给的参考答案是利用v-t图像求解凹槽的位移．而v-t图像正是大纲要求,是所有高中学生必须掌握的．v-t图像法用在这里省去了大量的物理过程分析和书写,非常简洁、巧妙,但是此解法的v-t图像中,由于凹槽与物块的碰撞交换速度,凹槽的速度碰后发生突变,碰后就会有匀加速和匀减速的交替进行,为非常规v-t图像,考场中能画出这样的v-t图像的考生只有极少数,而能够利用v-t图像的面积准确快速解出凹槽位移的考生更是凤毛麟角了．这也是作为压轴题选拔功能的需要．

图2

除此之外,答案中对图像的解释说明也比较简洁, “等腰三角形面积共分13份,第一份面积为0.5L,其余每份面积均为L”,这句话大部分学生是不容易理解的,至于具体的过程如何,学生也很难搞清楚．

本文对题目最后一问的解法过程如下.

第1次碰撞前:A、B受力如图2所示,A匀减速,B匀加速,A、B质量相同,则加速度大小相等,

a=μg=0.5 m/s2.

图3

A、B第1次碰撞,交换速度,交换后,A匀加速,B匀减速,如图3所示.同理,第2次碰撞前:

同时,xA2=xB2-L，即

A、B第2次碰撞,交换速度,交换后,A匀减速,B匀加速,如图4所示.第3次碰撞前：

图4

以此类推,如图5所示，第13次(刚好接触,恰好不碰撞,共速)前:

同时,xA13=xB13+L，即

整个过程A的位移,

xA=xA1+xA2+xA3+…xA13.

为计算方便,A的奇数项位移可以用B的位移加相对位移进行交叉替换,即

代入数据得xA=12.75 m.

相比于原v-t图像法,此方法表面看起来显得有些“繁”,实际上这并不 “繁”,作为高考的压轴题,过程较复杂,要把中间过程显示出来并分析得十分详细,就必须如此了.本方法逐步分析了物体运动过程,画出了每一个过程的运动示意图,计算了每一个过程的位移,把一个复杂问题分解为若干较简单的问题,并找出它们之间的联系．但是并没有列出13次的全部过程,而是寻找规律,总结归纳推导出一般过程直接列出最后一次的位移表达式,这也算是繁中寻简了,并没有使过程变得拖沓啰嗦．在计算A的总位移时发现了新的规律,即用B的位移加上相对位移进行交叉替换A的奇数项位移,这相当于数学中的裂项相消法,最后使计算过程变得十分简洁,当然这也是不容易发现的,所以也存在一定的难度．此方法胜在思路十分明了、过程十分清晰、理解十分容易,只要基础过关的学生基本都能理解．这也正是此方法的目的和意义所在．

2017-04-12)